Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 2006 (Cần Thơ) môn: Toán Đề 253476

Sở Giáo dục Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG ( Môn Toán - 180 Phút ) BÀI : Số học Cho n số tự nhiên cho 2006! chia hết cho 6n Chứng minh n  999 BÀI : Đại số lượng giác Giải phương trình : 2005  2006 = 2004x  2005x BAØI : Giải tích tổ hợp Cho cấp số cộng  ao; a1; a2; a3 với an = a + n.d ; a > 0, d > , n  N Tìm điều kiện cần đủ a d để có dãy cấp số cộng cấp số nhân BÀI : Hình học phẳng Bên đường tròn đường kính AB = 2006 có đoạn thẳng đoạn có độ dài 1003 Chứng minh tồn đường thẳng vuông góc song song với AB, giao với đoạn thẳng cho BÀI : Hình học không gian Cho tứ diện ABCD, có cạnh AD, AC, BD, BC tiếp xúc với mặt cầu (S1) bán kính R1 , tâm I1 nằm cạnh AB; cạnh CA, CB, DA, DB tiếp xúc với mặt cầu (S2) bán kính R2 , tâm I2 nằm cạnh CD Chứng minh : AB4(CD2 – 4R ) = CD4(AB2 – 4R DeThiMau.vn ) Sở Giáo dục Đào tạo thành phố Cần Thơ Trường Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG Môn Toán BÀI : 2006!  6n  2006!  2n 2006!  3n Số bội dãy 1; 2; 2006 = 1003 số Số bội 22 dãy 1; 2; 2006 = 501 số Tương tự số bội 23 , 24 , 210 daõy 1; 2; 2006 250; 125; 62; 31; 15; 7; 3; số Như phân tích 2006! thành tích thừa số nguyên tố số mũ 1003 + 501 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + + + =1998 Cũng làm trên, ta nhận thấy phân tích 2006! thành tích thừa số nguyên tố số mũ 668 + 222 + 74 + 24 + + + = 999 Do 2006! = 21998.3999.p với (p; 2) = 1; (p; 3) = dễ thấy 2006!  2n n  1998 2006!  3n n  999 Vậy n  999 BAØI : 2005  2006 = 2004x  2005x  2004x + 2006 = 2005x + 2005 (*) Đặt 2004 = a, 2006 = b, 2005 = (a + b)/2 = c Nhận xét : (*) có nghiệm x = 0; x = Nhận xét : Xét hàm số f(x) = x  x f’(x) = 2 x  x - = x - 1(x  1)  < hoaëc  > f’(x) > với x  (1; +), <  < f’(x) < với x  (1; +) f(x) đồng biến (1; +) với   [0; 1], nghịch biến (1; +) với   (0; 1) Nhận xét : Xét hàm số g(x) = x có g’(x) = x - 1, g”(x) = (  1)x -  <  > g”(x) > với x  (1; +) , <  < g”(x) < với x  (1; +) , g(x) lõm (1; +) với   [0; 1], lồi (1; +) với   (0; 1) Theo nhận xét , với x  [0; 1] ta có : ax + b = ( a x + bx ) + (a  a x) DeThiMau.vn +b )+ (b  bx)  (a > cx + c với x  (0; 1)ta coù : ax + b = ( a x + bx ) + (a +b )+ (b  bx)  (a  a x) < cx + c Vaäy phương trình cho có nghiệm x = 0; x = BÀI : Điều kiện cần : Giả sử có dãy dãy cho cấp số nhân , aj , ak (i, j, k  N, i < j < k) laø ba số hạng liên tiếp cấp số nhân  a = ai.ak  (a + j.d)2 = (a + i.d)(a + k.d)  a.d( 2j  i  k ) = d2( i.k  j2 )  = Q Điều kiện đủ : giả sử  Q Q = với n  N* , m  N*  a.n = d.m Xeùt bo = ao = a b1 = (n + 1).bo , b1 = (n + 1)a = n.a + a = a + m.d = am ; b2 = (n + 1).b1 = (n + 1).am ; b2 = (n + 1).(a + m.d) = n.a + a + (n + 1)m.d = m.d + a + (n + 1)m.d = a + (n + 2)m.d = am(n + 2); b3 = (n + 1).b2 = (n + 1).am(n + 2), b3 = (n + 1).[a + m(n + 2).d] = n.a + a + (n + 1)(n + 2).m.d = m.d + a + (n + 1)(n + 2)m.d = a + [(n + 1)(n + 2) + 1]m.d = am[(n + 1)(n + 2) + 1]; Rõ ràng trình kéo dài vô hạn  dãy cho có dãy cấp số nhân Vậy điều kiện cần đủ để cấp số cộng cho có dãy cấp số nhân  Q BÀI : Kẻ đường kính CD  AB Xét EF đoạn cho, gọi độ dài hình chiếu EF AB, CD x1 ; y1, dễ thấy x1 + y1  EF = 1003 Tương tự, độ dài hình chiếu đoạn lại AB, CD lượt là x2 ; y2, x3 ; y3, x4 ; y4 Rõ ràng ( x1 + x2 + x3 + x4 ) + ( y1 + y2 + y3 + y4 )  2.2006, hai tổng ( x1 + x2 + x3 + x4 );( y1 + y2 + y3 + y4 ) có tổng lớn 2006, giả sử ( x1 + x2 + x3 + x4 ), suy AB có điểm M thuộc DeThiMau.vn hình chiếu đoạn nói Đường thẳng qua M vuông góc AB đường thẳng cần tìm BÀI : AD, AC tiếp tuyến mặt cầu tâm I1, dễ thấy I1AD = I1AC BD, BC tiếp tuyến mặt cầu tâm I1, dễ thấy I1BD = I1BC Do tam giác ABD = tam giác ABC suy AD = AC; BD = BC Tương tự với tiếp tuyến mặt cầu tâm I2, ta có AD = BD; AC = BC Đặt AC = AD = BC = BD = a > 0, dễ thấy I1 trung điểm AB, I2 trung điểm CD, đặt AB = 2m, CD = 2n Ta coù dtABD = 2.dtADI1 = a.R1 = m.DI1 = m a2 ­ m2 R1 = a2 ­ m2 Tương tự R2 = a2 ­ m2 Như : CD2 – 4R = 4(n2 – R Tương tự : AB2 – 4R = Suy : AB4(CD2 – 4R ) = 4n2 ) vaø CD4(AB2 – 4R DeThiMau.vn =4 = ) ... Trung học Phổ thông Châu Văn Liêm ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG CỬU LONG Môn Toán BAØI : 2006!  6n  2006!  2n 2006!  3n Số bội dãy 1; 2; 2006 = 1003 số Số bội 22 dãy 1; 2; 2006. .. Do 2006! = 21998.3999.p với (p; 2) = 1; (p; 3) = dễ thấy 2006!  2n n  1998 2006!  3n n  999 Vậy n  999 BÀI : 2005  2006 = 2004x  2005x  2004x + 2006 = 2005x + 2005 (*) Đặt 2004 = a, 2006. .. 2; 2006 250; 125; 62; 31; 15; 7; 3; số Như phân tích 2006! thành tích thừa số nguyên tố số mũ laø 1003 + 501 + 250 + 125 + 62 + 31 + 15 + + + =1998 Cũng làm trên, ta nhận thấy phân tích 2006!