SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO LONG AN TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG NĂM HỌC : 2005 – 2006 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN Thời gian : 180 phút _ Bài : (Đại số) Cho số thực x, y thỏa phương trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức x2 + y2 + xy Bài : (Lượng giác) Cho ABC tam giác có ba góc nhọn Chứng minh raèng : tgA tgB tgC 1 tg B tg C tg A Baøi : (Giải tích) Dãy số x n xác định sau : x1 ; x n xn x n2 ( n = 1, 2, 3, ….) Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn hữu hạn n tìm giới hạn Bài : (Hình học phẳng) Cho tam giác ABC M trung điểm BC , đường tròn qua A cắt tia AB, AC, AM theo thứ tự E, F, K Chứng minh : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM Bài : (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD có BAC CAD DAB 60 Chứng minh raèng : AB AC AD 8R R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( Kí hiệu BAC góc BAC ) DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO LONG AN TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG Năm học : 2005 – 2006 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN Bài : (Đại số) Cho số thực x, y thỏa phương trình x(x-1) + y(y-1) = xy Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức x2 + y2 + xy -2 Đặt a = x + y + xy Từ điều kiện x, y ta suy ra: x + y + 2xy = a ( 0,5 điểm) x y xy a Gọi a giá trị biểu thức x2 + y2 + xy hệ pt: phải có nghiệm x y xy a ( 0,5 điểm) S P a Đặt: S = x+ y, P = xy (S2 4P) , hệ phương trình trở thành : S P a S 2P a 2 4 P (4a 1) P a a ( 0,5 điểm) ( 0,5 điểm) Hệ pt có nghiệmkhi phương trình : f(P) = 4P2 -(4a+1)P+a2-a= có nghiệm thỏa P a 0 a a Điều tương đương với : f f 3 3 4a a 24a a 12a a 12a 4a a a 12 Kết luận : Max (x2 + y2 + xy ) = 12 vaø Min (x2 + y2 + xy ) = ( 0,5 điểm) ( 0,5 điểm) ( 0,5 điểm) ( 0,5 điểm) Bài : (Lượng giác) Cho ABC tam giác có ba góc nhọn Chứng minh : tgA tgB tgC 1 tg B tg C tg A -Do tam giaùc ABC nhọn nên tgA > ,tgB > , tgC > Viết lại bất đẳng thức : cot g B cot g C cot g A 1 ( 0,5 điểm ) cot gA cot gB cot gC DeThiMau.vn p dụng bất đẳng thức Coâsi : cot g B cot gA cot gB cot g B cot gA ( 0,5 điểm ) cot g C cot gB cot gC cot g C cot gB cot g A cot gC cot gA cot g A cot gC ( 0,5 điểm ) Suy : cot g B cot g C cot g A cot g A cot g B cot g C cot gC cot gA cot gB (cot gA cot gB) (cot gB cot gC ) (cot gC cot gA) 2 ( 0,5 điểm ) 3 cot g B cot g C cot g A cot g A cot g B cot g C cot gA cot gB cot gC cot gA cot gB cot gC ( 0,5 điểm ) Mặt khác : (cot gA cot gB cot gC ) , bất đẳng thức tương đương với: cotg2A+cotg2B+cotg2C +2(cotgA.cotgB+cotgB.cotgC+cotgC.cotgA) ( 0,5 điểm ) (cot gA cot gB) (cot gB cot gC ) (cot gC cot gA) ( 0,5 điểm ) Từ suy : cot g B cot g C cot g A 1 cot gA cot gB cot gC ( 0,5 điểm ) Bài : (Giải tích) Dãy số x n xác định sau : x1 ; x n xn x n2 ( n = 1, 2, 3, ….) Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn hữu hạn n tìm giới hạn Từ cách xác định dăy số, suy x n , n Giả sử dãy có giới hạn a a nghiệm phương trình : x x x2 1 (1) ( x ) (0,5 ñieåm) , phương trình (1) trở thành : sin cos sin cos 2 (0,5 điểm) Đặt : t sin cos ( t ) , ta phương trình : 3t 2t t Đặt : sin x (0,5 điểm) DeThiMau.vn sin sin 3.( 1) 3 Suy : Vaäy : a 3.(1 ) sin sin cos x Xét hàm số f ( x) x 1 ( x ) coù f ' ( x) 1 (0,5 điểm) x 1 (0,5 điểm) p dụng định lí Lagrange : xn 1 a f ( xn ) f (a ) f ' (c) x a Vì c f ' (c) c 1 với c nằmgiữa xn a 2 Do : x n 1 a xn a 4 n 1 2 2 x1 a , vaø lim Suy : x n a 3.( ) Do ñoù : lim x n a 0,5 ñieåm) n 1 x1 a 0,5 điểm) (0,5 điểm) Bài : (Hình học phẳng) Cho tam giác ABC M trung điểm BC , đường tròn qua A cắt tia AB, AC, AM theo thứ tự E, F, K Chứng minh : AB.AE + AC.AF = 2AK.AM -A Gọi AD đường kính đường tròn : AE ED , AF FD , AK KD (0,5 điểm) Ta có : AB AC AM (0,5 điểm) AD ( AB AC ) AM AD (0,5 điểm) AD AB AD AC AM AD (0,5 điểm) AE AB AF AC AM AK (0,5 điểm) (Công thức chiếu) AE AB cos AF AC cos AK AM cos (0,5 điểm) AE AB cos AF AC cos AK AM cos (0,5 điểm) AE AB AF AC AK AM (0,5 điểm) E K B M Bài : (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD coù BAC CAD DAB 60 Chứng minh : AB AC AD 8R R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( Kí hiệu BAC góc BAC ) DeThiMau.vn F C Goïi G trọng tâm O tâm mặt cầu ngoại tếp tứ diện ABCD : GA GB GC GD OA OB OC OD 4OG ( 0,5 điểm ) OA OB OC OD OA.OB OA.OC OA.OD OB.OC OB.OD OC.OD 16OG (0,5ñ) AB AC AD BC CD DB 16 R 16OG ( 0,5 điểm ) 2 2 2 Mặt khác : BC CD DB AB AC AD AB AC AC AD AD AB ( Định lí hàm số cosin ) ( 0,5 điểm ) 2 2 2 AB AC AD AB AC AC AD AD AB 16 R 16OG 16 R ( 0,5 điểm ) 2 2 2 AB AC AD AB AC AD AB AC AC AD AD AB 16 R (0,5 điểm) 2 2 2 AB AC AD 16 R ( Vì AB AC AD AB AC AC AD AD AB (0,5 điểm) 2 2 (0,5 điểm) AB AC AD 8R DeThiMau.vn ...SỞ GIÁO DỤC–ĐÀO TẠO LONG AN TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN KỲ THI HỌC SINH GIỎI ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG Năm học : 2005 – 2006 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN Bài : (Đại số) Cho số thực x, y thỏa... M Bài : (Hình học không gian) Cho tứ diện ABCD có BAC CAD DAB 60 Chứng minh : AB AC AD 8R R bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( Kí hiệu BAC góc BAC ) DeThiMau.vn F C ... t sin cos ( t ) , ta phương trình : 3t 2t t Đặt : sin x (0,5 điểm) DeThiMau.vn sin sin 3.( 1) 3 Suy : Vaäy : a 3.(1 ) sin sin