Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long – năm học 2008 2009 môn: Toán (đề nghị)53478

Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL – Năm học 2008 - 2009 Mơn: Tốn (Đề nghị) Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu 1: (3.0 điểm) ax  a   y  sin x Xác định a để hệ phương trình  có nghiệm t an x  y  Câu 2: (3.0 điểm) Cho ABC , M điểm thuộc miền tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ a  b2  c2 Dấu xảy nào? 2R a  BC ;b  AC ;c  AB ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC  M đến cạnh BC ,CA, AB Chứng minh x  y  z  Câu 3: (2.0 điểm)   Tìm tất cặp số x; y với x, y  ฀ cho x  y  2y  Câu 4: (3.0 điểm)   Cho dãy số un 0  un   thỏa mãn điều kiện  ; n  2, 3, 4, un  un 1     Tìm lim un n  Câu 5: (3.0 điểm) Tìm giá trị nhỏ số tự nhiên n cho n ! tận 1987 chữ số Câu 6: (3.0 điểm) Tìm hàm f : ฀  ฀ thỏa     f  2008, f    2009  2  f x  y  f x  y  2f x cosy, x, y  ฀         Câu : (3.0 điểm) Cho hình cầu tâm O , bán kính R Từ điểm S mặt cầu kẻ cát tuyến cắt mặt cầu A, B ,C đôi tạo với góc  Gọi V thể tích tứ diện SABC Định  để V lớn DeThiMau.vn Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Hệ phương trình) Tên giáo viên biên soạn: Phạm Quốc Cường Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu 1: (3.0 điểm) ax  a   y  sin x Xác định a để hệ phương trình  có nghiệm   x y t an  Hướng dẫn chấm     Nhận xét: Nếu x 0; y0 nghiệm hệ x 0; y0 nghiệm 0.5 điểm  Điều kiện cần để hệ có nghiệm có nghiệm x  a   y0 Thay x  vào hệ, ta  y0  a  Từ ta có  a  y  sin x  1 * Xét a  , hệ trở thành  2 t an x  y  1 0.5 điểm  2 2 có vơ số nghiệm x  k , y  1k  ฀  2x   y  sin x * Xét a  , hệ trở thành  2 t an x  y  0.5 điểm  3  4     Giả sử  x ; y  nghiệm  3 &  4 Khi đó: Dễ dàng & có nghiệm 0;1 0.5 điểm y   t an2 x1   y1  x  Mặt khác 2x12  y1   sin x1    y1      Vậy 0;1 nghiệm Đáp số: a  - DeThiMau.vn 0.5 điểm 0.5 điểm Tỉnh An Giang Trường THPT chun Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Hình học phẳng) Tên giáo viên biên soạn: Phan Phi Công Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu 2: (3.0 điểm) Cho ABC , M điểm thuộc miền tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ a  b2  c2 Dấu xảy nào? 2R a  BC ;b  AC ;c  AB ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC  M đến cạnh BC ,CA, AB Chứng minh x  y  z  Hướng dẫn chấm A z M hb y hc x B C Gọi , hb, hc đường cao ABC kẻ từ A, B ,C S1, S2, S3, S diện tích tam giác MBC , MCA, MAB , ABC Ta có: S1  S2  S3  S  S1 S2 S3 x y z   1   1 S S S hb hc x y z   hb  hc   hb  hc     h h hc  b  a      x y z 1.0 điểm   x  y  z   hb  hc  x  y  z  b sin C  c sin A  a sin B  b2  c2   a  c2 2R  a  b2 bc  ca  ab 2R a  b2  c2  2R  ha2 hb2 hc2    x  y  z Dấu xảy   x  M trọng tâm tam giác ABC y z  a bc a  b  c   DeThiMau.vn 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm Tỉnh An Giang Trường THPT chun Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Số học) Tên giáo viên biên soạn: Trần Xuân Danh Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu 3: (2.0 điểm)   Tìm tất cặp số x; y với x, y  ฀ cho x  y  2y  Hướng dẫn chấm Ta có x  y  2y   y  x  y     Mặt khác x  y   y  2y   y    0.5 điểm  y y    y  3 y  Vậy y  3 y  phương trình vơ nghiệm 0.5 điểm Với y  3  x  8  x  2 Với y  2  x   x  Với y   x      Vậy phương trình có ba nghiệm 2; 3 ; 1; 2 ; 1; - DeThiMau.vn 0.5 điểm 0.5 điểm Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Dãy số) Tên giáo viên biên soạn: Phạm Quốc Cường Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu 4: (3.0 điểm)   Cho dãy số un 0  un   thỏa mãn điều kiện  ; n  2, 3, 4,   u u  n n 1    Tìm lim un n  Hướng dẫn chấm Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương un ;1  un 1 , ta có un  1  un 1   un 1  un 1    1 0.5 điểm  un  un 1, n  ฀   Ngoài dãy số u  bị chặn 0.5 điểm  Tồn giới hạn lim un  a 0.5 điểm Như vậy, dãy số un dãy đơn điệu tăng 0.5 điểm n n    Mặt khác un  un 1   , n   lim un  un 1    n    a  a   0.5 điểm   1  a    2  a  0.5 điểm Vậy lim un  n  - DeThiMau.vn Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Tổ hợp) Tên giáo viên biên soạn: Đào Thiện Lân Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu 5: (3.0 điểm) Tìm giá trị nhỏ số tự nhiên n cho n ! tận 1987 chữ số Hướng dẫn chấm Giá trị n phải thỏa mãn việc phân tích n ! thừa số nguyên tố thừa số xuất 1987 lần Khi số chẵn nhân với cho thừa số 10 0.5 điểm Gọi x  phần nguyên x Ta có lũy thừa lớn chia hết n ! cho n   n   n  n  h n              k  0.5 điểm  5 5  5  5  Trong k số lớn mà 5k  n Số n nhỏ cho h n  1987 rõ ràng bội viết dạng   n k 5i  i 1    0;1;2; 3; 0.5 điểm    a h 5  Từ đó: h n  k i i 1 i   5  1 Thì h  5  1, h    6, h    31; h    156, h    781 Trong h 5n    52   5n 1  n 0.5 điểm 0.5 điểm Ta kết luận n  2.55  2.54  3.53  3.52  2.5  7960 thỏa mãn h n  1987   Vậy giá trị nhỏ n 7960 - DeThiMau.vn 0.5 điểm Tỉnh An Giang Trường THPT chun Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Phương trình hàm) Tên giáo viên biên soạn: Đào Thiện Lân Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu 6: (3.0 điểm) Tìm hàm f : ฀  ฀ thỏa     f  2008, f    2009  2  f x  y  f x  y  2f x cosy, x, y  ฀     Hướng dẫn chấm * Cho x    ;y  t      , ta có:       f t   f   t   2f    cos  t    2f   sin t 2 * Cho x  t    2 2    * Cho x  0, y  t   , ta có: f t     f   t   2f  0 cost     2f  0 cost  0.5 điểm 2 0.5 điểm  3 0.5 điểm  4 0.5 điểm  ;y  , ta có: f t  f t   1  Lấy cộng với :   2f t  f t    f   t  2f   sin t 2        Từ , ta có:   f t   f  0 cost  f   sin t   2 Suy ra: f x  2008 cosx  2009sin x - DeThiMau.vn 0.5 điểm 0.5 điểm Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Hình học khơng gian) Tên giáo viên biên soạn: Phan Phi Công Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu 7: (3.0 điểm) Cho hình cầu tâm O , bán kính R Từ điểm S mặt cầu kẻ cát tuyến cắt mặt cầu A, B ,C đôi tạo với góc  Gọi V thể tích tứ diện SABC Định  để V lớn Hướng dẫn chấm * Dễ dàng chứng minh ABC * Đặt SA  x ; H hình chiếu S ABC  Ta tính BC  2x sin AH  2x sin   0.5 điểm  ; SH  x  sin2  3 Mặt khác SH  1 x2 2R 0.5 điểm 2 2 sin  3  BC 3x V  SH  sin2 6R  4 1 ; 2 ta có : x  2R 1 3 2   Thay vào , ta : V  R sin   sin2  2 2 Áp dụng bất đẳng thức Côsi :  V  0.5 điểm  0.5 điểm 8R 3 8R 3   V max  sin2     600 27 27 0.5 điểm 0.5 điểm Đáp số :   600 DeThiMau.vn ... sin t   2 Suy ra: f x  2008 cosx  2009sin x - DeThiMau.vn 0.5 điểm 0.5 điểm Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Môn: Tốn (Hình học khơng gian) Tên giáo... a  b  c   DeThiMau.vn 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm Tỉnh An Giang Trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Số học) Tên giáo viên biên soạn: Trần Xuân Danh... Vậy lim un  n  - DeThiMau.vn Tỉnh An Giang Trường THPT chun Thoại Ngọc Hầu Mơn: Tốn (Tổ hợp) Tên giáo viên biên soạn: Đào Thi? ??n Lân Số mật mã Phần phách Số mật mã Câu