Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 2006 (Cần Thơ) môn: Toán Đề 147841

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CẦN THƠ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG NĂM HỌC : 2005 – 2006 *********** ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN Thời gian làm : 180 phút Bài 1.(Đại số – điểm) ฀ ,a i { 1, 2, , 2006},i 1, n Cho hai đa thức P(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an, với a i  Q(x) = x2006 – 2007x2005 – 2006 Chứng minh P(x) không chia hết cho Q(x) Bài 2.(Lượng giác – điểm) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: 1 3 3 2 tg B.tg C  tg B.tg C tg C.tg A tg 2C.tg A Chứng minh tam giác ABC 3 2 tg A.tg B tg A.tg B Bài 3.(Giải tích – điểm) Dãy số (an) xác định bởi: a   an  1 ,n  a n 1  4  Chứng minh dãy (an) hội tụ tìm lim a n ฀* n  Bài 4.(Hình học phẳng – điểm) Cho tam giác nhọn ABC có M, N trung điểm AB, AC H hình chiếu C ฀ cạnh AB Đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc HNM cắt AB kéo dài P Cho ฀ biết AC + BC = 2HP HNM = 30o Tính số đo góc tam giác ABC Bài 5.(Hình học không gian – điểm) Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện biết tam giác ABC bán kính Ra, Rb, Rc, Rd mặt cầu bàng tiếp tứ diện theo thứ tự thuộc R 2b R c2 R d2 16r góc tam diện đỉnh A, B, C, D thỏa hệ thức: R a2  -HEÁT - DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CẦN THƠ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG NĂM HỌC : 2005 – 2006 *********** ĐÁP ÁN MÔN TOÁN Bài 1.(Đại số – điểm) Cho hai đa thức P(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an, với a i  ฀ ,a i { 1, 2, , 2006},i 1, n vaø Q(x) = x2006 – 2007x2005 – 2006 Chứng minh P(x) không chia hết cho Q(x) Đáp án: Trước hết ta chứng minh đa thức f(x)= aoxn+a1xn-1+…+an (ao 0) có nghiệm xo : a x o  max k , k 1, n a0 Thật vậy: + Nếu x o  hiển nhiên x o 1 max  a1 + Nếu x o  f (x o )  a x on 1  a x o max  ak a0 ak a0 an a x on   x o  xo 1 max  (0,5 ñ) xo ak a0 xo  xo n a1  a0 xo a2 a x o2 x Mặt khác : Q(x)  2007x 2005 an a x on xo n ak a0 xo 1 (1,5ñ) max xo max Aùp dụng vào toán cho ta có: xo nghiệm P(x) x  2006 2006 ak a0 2007 (0,5đ) 2006 có Q(2007).Q(2008) < nên Q(x) có nghiệm x(2007;2008) (1đ) Vậy P(x) không chia hết cho Q(x) (đpcm) (0,5đ) DeThiMau.vn Bài 2.(Lượng giác – điểm) Tam giác nhọn ABC thỏa hệ thức: 1 3 3 2 tg B.tg C  tg B.tg C tg C.tg A tg 2C.tg A Chứng minh tam giác ABC 3 2 tg A.tg B tg A.tg B Đáp án: Trong tam giác nhọn ta coù : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC 1  (1) (1ñ) tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB 1 Đặt x  từ (1) ta có: x + y + z = (2) ,y ,z tgB.tgC tgC.tgA tgA.tgB x3 x3 tg B.tg 3C Mặt khác:  tg B.tg 3C  tg B.tg 2C  x y z tgB.tgC y z3   Tương tự: vaø tg C.tg 3A tg 2C.tg A z x tg 3A.tg 3B tg A.tg B x y x3 y3 z3 Giả thiết toán trở thành P  (1đ) y  z z x x y Theo bất đẳng thức Cauchy: x3 yz 1 x  yz 12 18 y3 zx 1 (1ñ) y  zx 12 18 z3 xy 1 z  xy 12 18 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được: do(2) 1 1 P  (x y z) (x y z) P 6 Dấu đẳng thức xảy x  y z Khi tgA = tgB = tgC hay ABC (đpcm) DeThiMau.vn (1đ) Bài 3.(Giải tích – điểm) Dãy số (an) xác định bởi: a   an  1 ,n  a n 1  4  Chứng minh dãy (an) hội tụ tìm lim a n ฀* n  Đáp án: x 1 + Nhận thấy x  nghiệm phương trình:  4 Thật vậy: + Từ cách cho dãy ta có  a n n ฀ , n (1) x 1 1 + Xét hàm số f (x)   với x   ,1 ta có: 4 4 x 1 2ln  f '(x)   ln 4 4x  2ln 4x f '(x) x 2.ln x 4 ,1 (2) 1   + Mặt khác với i  2, n hàm số f (x)   liên tục đoạn a i , hay 4       hàm khoảng  , hay ,a i , nên tồn taïi ci  a i , hay ci       x 1 f (a i )  f  f '(ci )    1 f (a i ) f  2 1 Do (1) (2) nên từ (3) ta suy f (a i )  f  2 f '(ci ) a i ln a i 1 + Với cách cho dãy ta lại có a i 1  f (a i ) f  2 1 + Từ (4) (5) suy a n 1  ( 2.ln 2) n 1 a 2 (i 2, n) 1 ,a i  2 ,a i (1đ) có đạo cho: (3) (i 2, n) (4) (5) ( 2.ln 2) n  + Vì  2.ln neân lim ( 2.ln 2) n 1  lim a n 1 hay lim a n n  n n  Vậy dãy (an) hội tụ có giới hạn (1đ) DeThiMau.vn (1ñ) 2ln Ta c/m dãy (an) hội tụ (1đ) Bài 4.(Hình học phẳng – điểm) Cho tam giác nhọn ABC có M, N trung điểm AB, AC H hình chiếu C ฀ cạnh AB Đường thẳng vuông góc với đường phân giác góc HNM cắt AB kéo dài P Cho ฀ o biết AC + BC = 2HP HNM = 30 Tính số đo góc tam giác ABC Đáp án: Có hai trường hợp +Trường hợp 1: M H P P ฀ Đặt  MHN kéo dài HN đoạn NK=MN A Khi ta có : HN = NA = NC = AC NK = MN = BC M N  HK HN NK (AC BC) HP  H Vậy tam giác HKP cân H  B C ฀ PKN 90o  (1ñ) ฀ ฀ ฀ Từ gt ta có PN phân giác MNK  PNM = PNK (c.g.c)  PMN PKN  K 90o  ฀ Maø AMN 30o 90o 30o 40o  o ฀ ฀ ฀ AMN 70 vaø MAN  40o MNA 70o ฀ C ฀ 70o B MAN cân ABC cân  (1đ) o ฀ A  40  + Trường hợp 2: H M P Lập luận tương tự ta có :  ฀ ฀ PMN  PKN 30o 180o 100o 2 (1,5ñ)  o o o o o ฀ ฀ ฀  AHN HAN 180 80 ANM 180 80 50 ฀  80o A MAN cân A ABC cân A  (0,5đ) A o ฀ ฀ B  C 50  H M   P N K B DeThiMau.vn C Bài 5.(Hình học không gian – điểm) Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo bán kính r mặt cầu nội tiếp tứ diện biết tam giác ABC bán kính Ra, Rb, Rc, Rd mặt cầu bàng tiếp tứ diện theo thứ tự thuộc R 2b R c2 R d2 16r góc tam diện đỉnh A, B, C, D thỏa hệ thức: R a2  Đáp án: A Gọi: V thể tích khối tứ diện ABCD; Sa, Sb, Sc, Sd diện tích tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Oa tâm mặt cầu bàng tiếp tứ diện thuộc góc tam diện đỉnh A Ta có: VABCDOa  VABCD VOa BCD VOa ACD VOa ABD VOa ABC B D 1 C  r(Sa Sb Sc Sd ) R a Sa R a (Sb Sc Sd ) Oa 3 3V  3V R a (Sb Sc Sd Sa ) Sb Sc Sd Sa Ra 3V 3V 3V Tương tự: Sc  (1đ) Sd Sa Sb , Sd Sa Sb Sc , Sa Sb Sc Sd Sb Sc Sd Cộng vế theo vế đẳng thức ta được:  1 1 2(Sa  Sb Sc Sd ) 3V  R a R b R c R d 3V 1 1 r  Ra Rb Rc Rd 3V r Maët khác theo bất đẳng thức Cauchy:  1 ฀ (R a  R b R c R d )  R a R b R c (1ñ)  Ra Rb Rc Rd Rd 16 8r (R a R b R c R d )  R a2 R 2b R c2 R d2 (8r) 16r Dấu đẳng thức xảy Ra = Rb = Rc = Rd = 2r  Sa = Sb = Sc = Sd hay tứ diện ABCD tứ diện gần (1đ) Kết hợp với giả thiết tam giác ABC ta tứ diện ABCD tứ diện Từ đó: (1đ) V  8r 3 (ñvtt) ฀ R a2  R 2b R c2 R d2 DeThiMau.vn ... GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO CẦN THƠ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG KỲ THI HSG ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG NĂM HỌC : 2005 – 2006 *********** ĐÁP ÁN MÔN TOÁN Bài 1.(Đại số – điểm) Cho hai đa thức P(x)= xn + a1xn-1... o2 x Mặt khác : Q(x)  2007x 2005 an a x on xo n ak a0 xo 1 (1,5ñ) max xo max p dụng vào toán cho ta có: xo nghiệm P(x) x  2006 2006 ak a0 2007 (0,5đ) 2006 có Q(2007).Q(2008) < nên Q(x)... P(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …+ an-1x + an, với a i  ฀ ,a i { 1, 2, , 2006} ,i 1, n vaø Q(x) = x2006 – 2007x2005 – 2006 Chứng minh P(x) không chia hết cho Q(x) Đáp án: Trước hết ta chứng minh