Đề thi học sinh giỏi Đồng bằng sông Cửu Long năm học 2005 2006 (Hậu Giang) môn: Toán51412

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG ĐỀ THI ĐBSCL MÔN TOÁN BÀI (số học ) Cho a, b  Z Chứng minh : Nếu 24a2 + = b2 số a b chia hết cho BÀI (Đại số) Tìm giá trị nhỏ hàm số : f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006, xIR BAØI (Hình học phẳng) Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm M di động, cạnh AC lấy điểm N di động cho 1   (không đổi) AM AN l Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định BÀI (Hình học không gian) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC nhọn Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) A lấy điểm S di động, gọi K H hình chiếu vuông góc B lên AC SC, đường thẳng l qua K H cắt đường thẳng d N Định điểm S d cho đoạn SN ngắn BÀI (dãy số) f (1) f (3) f (2n  1) , n  1; 2;3; f (2) f (4) f (2n) Trong : f(n) = (n2 + n + 1)2 + Chứng minh : lim n un  n  Cho dãy un nN * un  DeThiMau.vn ĐÁP ÁN Bài : a  Nếu  , b  từ đẳng thức : 24a2 + = b2  = b2 - 24a2 chia heát cho => chia heát cho 5, vô lý a  (a,5)    Neáu  b  (b,5)   a4  (mod 5) (Định lý Fermat) b4  (mod 5) => a4 - b4  (mod 5)  a  b  (mod 5)  2  a  b  (mod 5) - Xeùt a2 + b2  (mod 5) Từ đẳng thức 24a + = b Û 25a + = (a + b ) Þ (25a + 1)  vô lý - Xét a2 - b2  (mod 5) Từ đẳng thức 24a + = b Û 23a + = (b - a ) Þ (23a + 1)   23a +  (mod5) , vô lý (Vì (a,5)=1 => a  ± ; ± (mod 5)  a2  ; (mod 5) => 23a2 +  (mod 5) Vậy Nếu a,b  Z thỏa đẳng thức 24a2 + = b2 số a b chia hết cho  Khi : BÀI f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006 = 2.x144 + 2.x144 + +2.x144 + 1 + 16 - x120 + 2006 - 16 16 12 12 12 10 số hạng 12 số haïng 1   f ( x)  1212 210.x10.144 10 12  x120   2006   12 12     f ( x)  x120  x120   2006    2006  12  12  DeThiMau.vn (Cosi)  f ( x)  2006  126 126  x144  24  x   24 (do x  R) 24 BÀI :  2.x144  Kẻ đường phân giác BÂC At Do A,B,C cố định => At cố định Gọi I giao điểm At với MN Ta có : SAMN = SAMI + SANI 1 A A  AM AN sin A  AM AIsin  AN AI sin 2 2 A 1 1     cos     (không đổi)  AI AM AN l  A  AI  2l cos (không đổi) => I cố định I  MN Vậy đường thẳng MN qua điểûm cố định I DeThiMau.vn BÀI : Trong SCN có AC đường cao thứ SC  BK  Mặt khác ta có :   SC  ( BHK ) SC  BH   SC  KH  NH đường cao thứ hai => K trực tâm SCN AN AK Ta có D ANK ฀ D ACS Þ = Û AS AN = AK AC (khoâng đổi) AC AS Vì SN  SA  AN  SA AN  AK AC (không đổi)  SN  AK AC  SA  AN  AK AC Vậy điểm S nằm d (cố định) cách A (cố định) : SA  AK AC DeThiMau.vn BAØI : Ta coù : f (n)  (n  n  1)   (n  1)  n     n  1  2n  n  1  n    n  1 n  2n   2 f (2i - 1) (4i - 4i + 2)(4i + 1) (2i - 1) + = = Khi : f (2i ) (4i + 4i + 2)(4i + 1) (2i + 1)2 +  un  f (1) f (3) f (2n  1) f (2) f (4) f (2n) 1  3  1 32  1 52  1  2n  1  1     un 2  1 52  1  1  2n  1  1  2n  1     un  2n  2n   lim n un  lim n n  n  n2  lim  2 2n  2n  n 2n  2n  - DeThiMau.vn ... 10 12  x120   2006   12 12     f ( x)  x120  x120   2006    2006  12  12  DeThiMau.vn (Cosi)  f ( x)  2006  126 126  x144  24  x   24 (do x  R) 24 BÀI :  2.x144... f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006 = 2.x144 + 2.x144 + +2.x144 + 1 + 16 - x120 + 2006 - 16 16 12 12 12 10 số hạng 12 số hạng 1   f ( x)  1212 210.x10.144 10 12  x120   2006   12 12    ... AN l  A  AI  2l cos (không đổi) => I cố định I  MN Vậy đường thẳng MN qua điểûm cố định I DeThiMau.vn BÀI : Trong SCN có AC đường cao thứ SC  BK  Mặt khác ta có :   SC  ( BHK ) SC 