SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KIÊN GIANG Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC ĐBSCL NĂM HỌC 2005_2006 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN ( Thời gian: 180 phút ) BÀI 1: (4 điểm) Cho số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = vaø m + n + p = Tìm giá trị lớn : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m BÀI 2: (4 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 2x + 3y = z2 BÀI 3: (4 điểm) x0 m m Cho dãy số xn : Tìm lim xn xn 12 20062 n x , n N , n n x n 1 BÀI 4: (4 điểm) Cho đường thẳng (d) hai điểm A, B không thuộc (d); AB không vuông góc với (d) Bằng thước compa dựng M nằm (d) cho: a MA đạt giá trị nhỏ MB b MA đạt giá trị lớn MB BÀI 5: (4 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I tâm mặt BCC’B’ đường thẳng qua D I Đoạn MN thay đổi có trung điểm K thuộc đường thẳng , M ( BCC ' B '), N ( A ' B ' C ' D ') Tìm giá trị bé đoạn MN HẾT DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KIÊN GIANG Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC ĐBSCL NĂM HỌC 2005_2006 ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN BÀI 1: Cho số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = m + n + p = Tìm giá trị lớn : A = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m Caùch 1: Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu (C) tâm O bán kính R = 1: x2+ y2 + z2 = mặt phẳng (P): x + y +z – 5= ( (P) không cắt ( C ) Xét M(a ; b ; c) N(m ; n ; p) Từ giả thiết ta có M (C) , N (P) (0.5ñ) M I MN m a n b p c 2 a b c m n p am bn cp 2 2 H P m n p mn np pm am bn cp N (0.5đ) Nên MN 26 A (0.25đ) Qua O dựng đường thẳng (d) vuông góc với (P) Đường thẳng cắt mặt cầu I,J cắt (P) H (I nằm O H) Dễ thấy: I ( Ta có MN IH = OH – OI = dO/(P) – = Suy MN IH 26 A 1 2A 26 - ( 1)2 = 3 ; ; 5 3 ) vaø H ( ; ; ) 1 (0.5ñ) (0.5ñ) 50 10 25 25 A 3 3 (0.5ñ) abc M I Dấu “=” đạt hay N H m n p Vậy Max A = 25 3 (0.5đ) (0.5đ) (0.25đ) Cách 2: p dụng BĐT Bunhiacopxki ta có : a.m + b.n + c.p (a2 b c2 )(m n p ) m n p A = a.m + b.n + c.p + m.n + m.p + n.p m.n + m.p + n.p + Đặt : m.n + n.p + p.m = t DeThiMau.vn m n p2 Ta coù : m.n + m.p + n.p (m n p)2 = 25 25 hay t 3 m2 + n2 + p2 = (m + n + p)2 – 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t Vaäy A 25 2t t = f(t) Ta coù : f’(t) = - , t 25 Suy f(t) hàm tăng 25 2t 25 25 25 A f (t ) f ( ) 3 3 m n p 25 Dấu “=” xảy Vaäy Max A = a b c 25 ; 3 Cách 3: Ta có 2A=2(am+bn+cp) + 2mn +2 np +2 pm = ( am+bn+cp)+m(n+p)+n(m+p)+p(n+m) = ( am+bn+cp)+m(5-m)+n(5-n)+p(5-p) = ( am+bn+cp) + 5.5 – ( m2 +n2 +p2) Do 2A = ( am+bn+cp) + 25 - ( m2 +n2 +p2) (1 ) Mặt khác Theo bất đẳng thức BCS ta coù : ( am+bn+cp) (a b c )(m n p ) (m n p ) Thay vaøo ( ) : A (m n p ) 25 (m n p ) (2 ) a b c dấu “=” xẩy (*) m n p Đặt t (m n p ) theo BCS ta có t Dấu xẩy m=n=p (**) Thay vào (2) ta : A f (t ) t 2t 25 (3 ) Xét hàm f (t ) t 2t 25 treân ; ta có f(t) giảm 50 10 vaäy f(t) f ( ) 3 Thay vaøo (3) suy A f ( Dấu xẩy t 50 10 25 ) A 3 (***) Kết hợp (*) , (**) , (***) ta có dấu xẩy a b c Vaäy Max A = vaø m=n=p = 3 25 5 a b c vaø m=n=p = 3 Cách 4: Không tính tổng quát già sử : a b c vaø m n p Theo bất đẳng thức trêbưsép ta có : am bn cp a b c m n p (a b c) ( 1) 3 3 DeThiMau.vn Mà theo BCS ta có a b c a b c Thay vào (1) ta có am bn cp (2) Mặt khác ta coù : 2(mn np pm) (m n p) (m n p ) 25 (m n p ) ( 3) Dễ thấy (m n p ) (m n p) 25 Thay vào (3) ta có : 25 25 mn np pm (25 ) ( 4) 3 25 25 Từ (2 ) ( ) Ta có A Dấu xẩy 3 25 abc vaø m n p Vaäy Max A = 3 DeThiMau.vn 3 BÀI 2: (4 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên sau : 2x + 3y = z2 (1) LỜI GIẢI: + x,y x, y không đồng thời + (x0 ; y0 ; z0) nghiệm (1) (x0 ; y0; - z0) nghiệm (1) Do ta cần giải (1) với điều kiện z > (0.25đ) * Nếu x = 0, ñoù y (1) + 3y = z2 3y = (z – 1).(z + 1) (2) (0.25ñ) ((z - 1) , (z + 1)) = Ta có mà 3y số lẻ nên UCLN[(z – 1) , (z + 1)] = ((z 1) , (z + 1)) = z y z z Vậy (2) (0.25đ) (0.5đ) y * Nếu y = 0, x (1) 2x + = z2 2x = (z – 1).(z + 1) (0.25đ) Mặt khác (z – 1), (z + 1) hai số nguyên tính chẵn lẻ ((z - 1) , (z + 1)) = neân : ((z - 1) , (z + 1)) = (0.25đ) z x (3) z 2x 1 z x (0.5đ) * Cả hai số x, y , từ (1) suy ra: (z ; 2) = (z ; 3) = Từ (1) suy : 2x z 1(mod 3) x 2k , k N* 4k 3y z2 z 1(mod 3) z 1(mod 4) (0.25đ) Lúc (1) trở thành : + = Suy : z 1(mod 4) y 2q, q N* (0.25ñ) (1) 4k + 9q = z2 9q = z2 – 4k 9q = (z – 2k)(z + 2k) (4) Vì (z ; 2) = nên ((z – 2k) ; (z + 2k)) = Từ điều ta có : y z k 2.2 k 9q (*) k q k z z (4) Ta coù (*) 2.2k = (3q – 1).(3q + 1) Ta cuõng coù : ((3q – 1) ; (3q + 1)) = (0.5ñ) (**) 3q 2 k k x neân (**) q q hay k k 3 3 q y (x;y;z) (4 ; ; 5) Vậy (1) có nghiệm nguyên : (x;y;z) (3 ; ; 3) (x;y;z) (0 ; ; 2) DeThiMau.vn (0.5đ) (0.25đ) BÀI 3: (4 điểm) x0 m m Cho dãy số xn : Tìm lim xn xn 12 20062 n x ,n N,n n x n 1 Caùch 1: 1 20062 +Từ giả thiết ta có : xn xn 1 (0.25ñ) xn 1 2 +Ta coù : 1 20062 x0 2006 21 x0 2006 x0 x02 2.2006.x0 20062 x1 2006 m 2006 = m 2006 x1 2006 x0 2.2006.x0 20062 20062 x0 2006 x0 2006 2 x0 +Dự đoán : xn 2006 m 2006 = xn 2006 m 2006 (0.5ñ) 2n (0.25ñ) +Chứng minh quy nạp : n=1 , mệnh đề (0.25đ) Giả sử mệnh đề với n=k Ta coù : m 2006 m 2006 xk 2006 = xk 2006 2k (0.25đ) Cần chứng minh mệnh đề với n=k+1 1 20062 x k 2 xk 2006 xk2 2.2006.xk 20062 xk 1 2006 Thaät vaäy, = = xk 1 2006 xk 2.2006.xk 20062 20062 x 2006 k 2 xk xk 2006 xk 2006 x 2006 k xk 2006 2k m 2006 = m 2006 x 2006 m 2006 + Vậy ta có : n = xn 2006 m 2006 (0.5d) 2k 1 = m 2006 (0.5ñ) m 2006 2n m 2006 maø lim n m 2006 m>0) 2n =0 ( (0.5đ) Nên lim n xn 2006 =0 (0.25đ) xn 2006 Đặt yn 2006 1 yn xn 2006 xn xn 2006 yn DeThiMau.vn (0.25ñ) mà lim yn=0 => lim xn=2006 n n (0.5d) Cách 2: x n 1 20062 Nhận xét x0 > xn (*) nên xn> n Vậy (xn) dãy bị xn 1 chặn dưới.(1) Xét xn 2006 Ta coù : xn x 2006 2006 n 1 n , n xn 2006 (n , n 1) xn 1 20062 x n 1 Xeùt xn xn 1 Ta coù xn xn 1 0 xn 1 n , n xn 2006 (n , n 1) Vaäy xn xn 1 (n , n 2) Ta coù : n , n (xn) dãy giảm.(2) Từ (1) (2) dãy số có giới hạn Gọi lim xn =y , y xn dương , lấy giới n hạn hai vế (*)ta có : y y 2006 y 2006 2y 2 DeThiMau.vn BÀI 4: (4 điểm) A * Gọi O giao điểm (d) đường thẳng trung trực AB (vì (d) không vuông góc với AB nên O tồn tại) Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA Đường tròn cắt (d) I J I O IA JA M Không tổng quát giả sử : ( IB JB IA.JB JA.IB (1) ) Ta chứng minh : IA MA JA (0.5ñ) IB MB JB AI k.AJ k AI AJ (0.25đ) Đặt MI k.MJ AM 1 k 1 k 1 k k Tương tự : BM .BI .BJ (0.25đ) Đặt Khi : AM .AI .AJ k k B J Ta coù: AM2 = ( .AI .AJ )2= AI 2 AJ 2AI.AJ AI 2 AJ (Vì AI AJ AI.AJ =0) Tương tự : BM2 = BI BJ 2 (0.5ñ) MA AI 2 AJ (*) (0.5ñ) MB2 BI 2 BJ IA MA IA2 MA2 Ta coù ù IA2 ( IB 2 JB ) IB ( IA2 2 JA2 ) IB MB IB MB 2 IA JB2 2 JA IB2 (đúng (1)) 2 IA MA Vậy (*) hay Dấu “=” xảy IA JA IB MB2 IB2 JB2 (0.75ñ) Ta coù: * 0 MI * IA JA kết hợp với IA2 + JA2 = IJ2 = IB2+ JB2 suy IA = IB vaø JA = JB (vô lý IB2 JB2 lúc (d) trung trực AB) (0.5đ) MA Vậy đạt giá trị lớn M I MB MA Tương tự đạt giá trị nhỏ M J MB * Dựng I, J: + Dựng BL (d) , AK (d) (0.25đ) + I giao điểm đường tròn tâm O, bán kính OA với (d) cho L nằm I K; J giao điểm lại DeThiMau.vn A I L B K J IA2 IK IJ IK IK IL IB IL.IJ IL ( ) (0.5ñ) JA JI JK JK JK JL JB JL.IJ JL BÀI 5: (4 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I tâm mặt BCC’B’ đường thẳng qua D I Đoạn MN thay đổi có trung điểm K thuộc đường thẳng , M ( BCC ' B '), N ( A ' B ' C ' D ') Tìm giá trị bé đoạn MN LỜI GIẢI: MN (0.5đ) Nên MN bé M’K bé M’K đoạn vuông góc chung B’C’ (0.75đ) * Goïi J = DI A’B’ B’C’ // (JAD) ( B’C’ // AD) Do khoảng cách B’C’ khoảng cách B’C’ và(JAD) (0.5đ) Gọi P = JA BB’ Ta có (PB’J) (JAD) theo giao tuyến PJ Gọi H hình chiếu vuông góc B’ lên PJ B’H (JAD) B’H làø khoảng cách B’C’ và(JAD) (0.5đ) * Gọi M’ hình chiếu M lên B’C’ MM ' N vuông M’ M’K = * Mặt khác: B’I đường trung bình JA ' D B’ trung điểm A’J vàB’P đường a trung bình JA ' A B’J= a B’P = (0.75đ) 1 * Trong JB ' P vuoâng B’ ta có: 2 B'H B'P B'J2 a M’K = B’H = (0.5ñ) 2a Vậy giá trị bé MN = (0.5đ) HẾT DeThiMau.vn ... : 1 20062 x0 2006 21 x0 2006 x0 x02 2 .2006. x0 20062 x1 2006 m 2006 = m 2006 x1 2006 x0 2 .2006. x0 20062 20062 x0 2006 x0 2006 ... ĐÀO TẠO KIÊN GIANG Trường THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC ĐBSCL NĂM HỌC 2005_ 2006 ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN : TOÁN BÀI 1: Cho số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn : a2 +... = xk 2006 2k (0.25ñ) Cần chứng minh mệnh đề với n=k+1 1 20062 x k 2 xk 2006 xk2 2 .2006. xk 20062 xk 1 2006 Thaät vaäy, = = xk 1 2006 xk 2 .2006. xk 20062 20062