Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 11 Đề 2152632

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: Tốn ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 27 tháng năm 2013) SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(3.0 điểm) x     10 x  y y a) Giải hệ phương trình:   x   x  12  y2 b) Giải phương trình:  cos x  cos x    2sin x Câu 2:(2.5 điểm) a) Tính giới hạn dãy số: lim  n  n   n6   u1  2013 b) Cho dãy số  un  xác định sau:  n (n  1) un 1  n 1 un  2013n  Tìm cơng thức số hạng tổng qt giới hạn dãy số  un  ? Câu 3:(2.5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang cân (AD//BC) BC=2a, AB=AD=DC=a (a>0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC a) Tính SD b) Mặt phẳng (  ) qua điểm M thuộc đoạn OD (M khác O, D) song song với hai đường thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (  ) Biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn Câu 4:(2.0 điểm) Cho phương trình: x  ax3  bx  cx  d  a) Với d  2013 , chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Với d  , giả sử phương trình có nghiệm, chứng minh a  b  c  HẾT DeThiMau.vn SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn (Khóa ngày 27 tháng năm 2013) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn cú trang) yêu cầu chung * ỏp ỏn ch trình bày lời giải cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai cho điểm * Điểm thành phần nói chung phân chia đến 0,25 điểm Đối với điểm thành phần 0,5 điểm tuỳ tổ giám khảo thống để chiết thành 0,25 điểm * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm * Điểm tồn tổng (khơng làm tròn số) điểm tất Nội dung Câu a) ĐK: y  Đặt a  x  1; b  y Ta có hệ phương trình trở thành a  b  ab  11 a  b  a  b  7 a  a  ( ) VN         18 ab ab b    13 a b      b   a   1 TH1:   ( x; y )  1;   3 b  a   1 TH2:   ( x; y )   2;   2 b  Điểm 1,5 điểm 0,25 0,75 0,25 0,25 1,5 điểm b)  cos x  cos x    2sin x  4sin x sin x   2sin x  4(1  sin x sin x)  2(1  sin x)  0,5  sin x(1  sin x)  cos x   2(1  sin x)   4(sin x cos x  cos x)  2(1  sin x)  0,5 sin x  1 sin x  1    sin x cos x     x   k 2 (k  Z ) cos x  cos x   0,5 Trang: - Đáp án Toán 11 DeThiMau.vn a) lim   n  n   n6   lim  n  n   n  ( n6   n )  1,0 điểm 0,25 Ta có:        n 1 n2     lim n  n   n  lim  lim  2 1      n n n    1  1 n n   lim( n6   n )  lim 0 23 (n  1)  n (n  1)  n Do lim n  n   n6       b) un  0, n  N * 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm 0,25 1  unn11  unn  n 2013 2013n Do đó: u22  u11  20131 u33  u22  20132 unn11  unn  unn  unn11  Suy ra: unn  u11  2013n 1 0,5 1    2013 2013 2013n 1   1   n 2013  un  2013   2012   1   2013    2012 n 1 n 1 0,25 n 1   1   n     2014 2013 2013    n 2014   1  un  2013  (Cô si) n n 2012 2013  Mặt khác lim 1    Vậy lim un  n   Trang: - Đáp án Toán 11 DeThiMau.vn 0,25 0,25 2,5 điểm S K Q B C J T 0,25 P O M A D N a) Dễ thấy đáy ABCD hình lục giác cạnh a Kẻ DT//AC (T thuộc BC) Suy CT=AD=a DT vng góc SD Ta có: DT=AC= a Xét tam giác SCT có SC=2a, CT=a, SCT  1200  ST  a Xét tam giác vng SDT có DT= a , ST  a  SD  2a b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, DC N,P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với SD cắt SB, SA, SC K, J, Q Thiết diện ngũ giác NPQKJ Ta có: NJ, MK, PQ vng góc với NP 2 0,25 0,25 0,25 0,25 dt(NPQKJ)=dt(NMKJ)+dt(MPQK)= ( NJ  MK ) MN  ( MK  PQ) MP  ( NJ  MK ).NP (do NJ=PQ) NP MD AC.MD x.a   NP    3x Ta có: a AC OD OD  a  2a   x NJ AN OM SD.OM    2(a  x 3)    NJ   a SD AD OD OD   KM BM SD.BM 2a a  x   KM    (a  x) SD BD BD a 3 1  Suy ra: dt(NPQKJ)=  2(a  x 3)  (a  x)  3x  2(3a  3x) x 2   1    3 a2 (3a  x)2 x  (3 a  x )  x  4 3 Diện tích NPQKJ lớn 3 a x  a 4 Trang: - Đáp án Toán 11 DeThiMau.vn 0,25 0,5 0,25 0,25 1.0 điểm a) d= -2013 Đặt f ( x)  x  ax3  bx  cx  2013 liên tục R Ta có: f    2013  Mặt khác lim f ( x)   , nên tồn số   0;   cho 0,25 x  f ( )  0; f (  )  Do f (0) f ( )  0; f (0) f (  )  Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc hai khoảng ( , 0) (0,  ) b) d=1: Gọi x0 nghiệm phương trình ( x0  ) 1 x04  ax03  bx02  cx0    b   x02   ax0  c x0 x0 0,5 0,25 1.0 điểm 0,25   1 1  2 Ta có:  a  b  c  ( x   1)   a  c    x0   ax0  c   ( x0   1) x0 x0 x0   x0    2 2  1 1     ax0  c  x02   ax0  c    x02   x0 x0 x0   x0   0,25    x0   x0  t2 2  Suy ra:  a  b  c    với t  x02   x0 x02   t  x0 t2   3t  4t    (t  2)(3t  2)  (đúng t  ) t 1 Vậy a  b  c  Dấu xảy a  b  c   (ứng với x0  ) 2 a  c  , b   (ứng với x0  1 ) 3 Mặt khác: Trang: - Đáp án Toán 11 DeThiMau.vn 0,25 0,25 ...SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn (Khóa ngày 27 tháng năm 2013) HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án,... cho Trong làm học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết rõ ràng * Trong bài, học sinh giải sai bước giải trước cho điểm bước giải sau có liên quan Ở câu học sinh khơng vẽ... 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm 0,25 1  unn? ?11  unn  n 2013 2013n Do đó: u22  u11  20131 u33  u22  20132 unn? ?11  unn  unn  unn? ?11  Suy ra: unn  u11  2013n 1 0,5 1    2013 2013 2013n