CHUYÊN đề CHIA hết TOÁN 8

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Tính chất: - Nếu a chia hết cho m n, m, n hai số nguyên tố a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, (b; c) = a chia hết cho c - Với p số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p - Khi chia n + số nguyên dương liên tiếp cho n  n  1 nhận hai số dư - Trong n  n  1 số nguyên liên tiếp, ln có số chia hết cho n - Nếu  a; b   d tồn hai số nguyên x, y cho: ax  by  d   a  b a    a - Ta có: a n  b n   a  b  a n1   bn1  a n  b n  a  b  - Ta có: a n  b n n 1   b n1 n  b n  a  b  với n số tự nhiên lẻ B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp : Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: n3  5n HD: Ta có: n3  5n  n3  n  6n , ta cần chứng minh n3  n  n  n  1 n  1   Do n  n  1 n  1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Bài 2: Chứng minh : n3  11n 6, n  Z HD : Ta có: n3  11n  n3  n  12n  n n2   12n  n  n  1 n  1  12n   Vì n  n  1 n  1 ba số nguyên liên tiếp  n  n  1 n  1 12 n  n3  11n Bài 3: Chứng minh rằng: A  n  n  1 2n  1 6, n  N HD: Ta có: A  n  n  1  n  1   n      n  1 n  n  1  n  n  1 n   Bài 4: Chứng minh rằng: m3  3m2  m  48, m lẻ HD: Vì m số lẻ, Đặt m  2k  1,  k  N    Khi ta có : A  m  3m  m    m  3 m    m  1 m  1 m  3 Thay m  2k  vào A ta : A   k   k  1 k Vì k  k  1 k   tích ba số tự nhiên liên tiếp nên Vậy A 48 Bài 5: Chứng minh rằng: n4  4n3  4n2  16n 384, n chẵn HD: Vì n chẵn, Đặt n  2k ,  k  N  , Khi ta có:   A  n  4n3  4n2  16n  n  n   n  , Thay n  2k vào A ta được: A  16  k   k  1 k  k  1 , Vì  k   k  1 k  k  1 tích số tự nhiên liên tiếp Nên chia hết cho Bài 6: Chứng minh rằng: B  n5  5n3  4n 120,  n  N  HD:      Ta có: B  n n  5n2   n n  n   n  n  1 n  1 n   n   120 Bài 7: Cho n số nguyên, Chứng minh A  n  14n3  71n2  154n  120 24 HD: Ta cần chứng minh A A , ta có : A  n  14n3  71n2  154n  120  n3  n    12n2  n    47n  n    60  n   A   n    n2  n  3  9n  n  3  20  n  3    n   n  3  n  n  3   n    A   n   n  3 n   n  5 , Vì A tích số tự nhiên liên tiếp => A Ngoài số nguyên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, số số Vậy A Bài 8: Chứng minh rằng: n  6n3  11n2  6n 24 HD: Ta có: A  n  6n3  11n2  6n  n  n  1 n   n  3 tích số nguyên liên tiếp nên A Và A tích số nguyên liên tiếp, nên có số chẵn, số chia hết cho số chia hết cho 4, Nên A Bài 2: CMR: n4  2n3  n2  2n chia hết cho 24 với n  Z HD : 2 Ta có: n  2n  n  2n  n n  n     n     n  n  1 n  1 n   tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho a a2 a3 Bài 9: Chứng minh rằng:   số nguyên với a nguyên HD: a a a3 a  a  1 a   Ta có:    Vì a  a  1 a   tích số nguyên liên tiếp => 6 Bài 10: Chứng minh rằng: n5  n 30, n HD: Ta có: A  n5  n   n  1 n  n  1 n  , tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho   Mặt khác: A  n5  n   n  1 n  n  1 n     n   n  1 n  n  1 n     n  1 n  n  1   Thấy  n   n  1 n  n  1 n   tích số nguyên liên tiếp nên A Bài 11: Chứng minh rằng: n3  1964n 48,  n chẵn HD: Vì n số chẵn, Đặt n  2k ,  k  N  Khi ta có : n3  1964n   k  1 k  k  1  3888k Vì  k  1 k  k  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho   Bài 12: Chứng minh rằng: n  7  n3 64, n lẻ HD:    Vì n lẻ, Đặt n  2k  1,  k  N  , Khi ta có: A  n4  7  2n2  n2   Thay n  2k  vào ta được: A  16 k  k    k2  k     , , Vì k  k   k  k  1  2  A 64 Bài 13: Chứng minh rằng: n4  6n2  64, n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt: n  2k  1,  k  N  , Khi đó: A  n  6n2   n2  n2  ,  Thay n  2k  vào ta được: A  16k  k  1 k  k      Bài 14: Chứng minh rằng: A  n2  4n  8, n lẻ HD: Ta có: A   n  1 n  3 , Vì n số lẻ, Đặt n  2k  1,  k  N   A   2k   2k   Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho HD: Gọi số nguyên liên tiếp là: n  1; n; n  1,  n  Z    Gọi A   n  1  n3   n  1  3n3  3n  18n  9n    n  1 n  n  1  n   18n 3 Thấy:  n  1 n  n  1   n  1 n  n  1 Vậy A Bài 16: Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : a3  b  c a  b  c HD : Xét A  a3  b3  c  a  b  c  a3  a  b  b  c  c       Mà a3  a  a  a  1 a  1 tích số nguyên liên tiếp nên a  a  1 a  1 Như A => a3  b  c  a  b  c Bài 17: Chứng minh rằng: n12  n8  n4  512, n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt n  2k  1,  k  N  , Khi đó:         A  n12  n8  n   n  n8    n2  n2   n      n Thay n  2k  vào A ta được: A  64  k  k  1  2k  2k  Bài 18: Tìm số tự nhiên n cho:  n  5 n   6n HD:  1 Ta có: A   n  5 n    n2  11n  30  12n  n2  n  30  n2  n  n  n  1   Vì 12 n 6n cần chứng minh n2  n  30 6n   30 n 30 6n Từ (1)  n  3k n  3k  1,  k  N  (1) (2) Từ (2)  n  1;2;3;5;6;10;15;30  n  1;3;10;30 thỏa mãn Bài 20: Chứng minh 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HD: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n, n  1, n  2, , n  1989 (1) Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n, n  1, n  2, , n  999 phải có số chia hết cho 1000, giả sử n0 , Khi n0 có tận chữ số Giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0 , n0  9, n0  19, , n0  899 Có tổng chữ số là: s, s  1, s  2, , s  26 , có số chia hết cho 27 Bài 3: Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab  a  b  chia hết cho 48 ta có: ab  a  b    a  1 b  1 , HD : Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: 2 a   2n  1 ; b   2n  3 với n  Z 2 Nên ab  a  b   (a  1)(b  1)   2n  1  1  2n    1  16n  n  1  n      Nên chia hết cho 16 chia hết chia hết cho 48 Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta có : A  n  2n  7 7n  7 HD : Ta có : n 7n  số chẵn với số tự nhiên n nên A Lấy n chia cho ta : n  3k  r  k  N ,0  r   Với r   n  3k  A Với r   n  3k   2n   6k   A Với r   n  3k   7n   21k  15  A Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 3, Chứng minh : A  4a2  3a  HD : Vì a khơng chia hết cho nên a có dạng : a  6m  1,  m  Z   Với a  6m   A   6m  1   6m  1    24 m  Với a  6m   A   6m  1   6m  1   24 m  11m  2   5m  Bài 3: Tìm tất số nguyên dương n cho: n  9n  11 HD: Ta có: n2  9n  11  n2  2n  11  n2  2n  11  4n2  8n  11    2n  1 2n  3 11 ,  Khi đó: 2n  11 n  11  n  11m  n  11m  7,  m  N  Bài 4: Chứng minh có vơ số tự nhiên n cho n2  chia hết cho 13 HD: Đặt n  65k  r,  k  N ,0  r  64  Chọn r cho 4r   65  r  4 , Vậy với số n  65k  thỏa mãn Bài 5: Chứng minh n  A  32 n  3n  13,  n  N HD: Vì n   n  3k  r,  k  N ,1  r   2 k  r  Khi đó: A    Thấy: 36 k   33      33k r   32r 36 k   3r 33k   32r  3r  2k       33  M  26 M 13 33k   33  N  26 N 13 Với r   32 r  3r   32   13  A 13 Với r   32 r  3n   34  32   91 13  A 13 Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để n  HD: Lấy n chia cho ta có: n  3k  r,  k  N ,0  r   Với r   n  3k  n   23k   8k   8  1 M  7M   Với r   n  3k   n   28k 1   2.23k   2 3k   , Mà k   2n  chia dư   Với r   n  3k   n   23k 2   23k   Mà 23k   n  chia dư Vậy với n  3k ,  k  N  n     Bài 7: Chứng minh rằng: A  n n  n  5,  n  Z  HD: Lấy n chia cho ta được: n  5q  r,  q, r  Z ,0  r   Với r   n  A Với r  1,4  n2   A Với r  2,3  n2   A Bài 8: Cho A  a1  a2   an B  a15  a25   an5 , Chứng minh rằng: A  B 30 HD: Ta có: B  A  a15  a1   an5  an Xét a15   a  a a 1     1  a  a  1 a  1  a 1 1   30 Bài 9: Chứng minh  n;6   n  24, n  Z HD: Vì  n;6    n  6k  r,  k , r  N , r  1 Với r  1  n  24 Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: 2 n  n  HD: Xét n  3k  r,  k , r  N ,0  r       Ta có: 22 n  n   2 r k   2r 23k   2 n  n  Xét TH cụ thể ta được: 2 n  n  Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24 m   n , Chứng minh rằng: mn HD: Ta có: 24m   n2  25m  m   25m   m  1 m  1 m      Nếu m  mn  ĐPCM Nếu m    m;5  => m  m  m m   m  m  1 m  1 m         m  m  1 m  1 m     m   m  1 m  m  1 m    5m  m  1 m  1 Nên m   n  n  mn , ĐPCM Bài 12: Tìm tất số nguyên x cho : x  x  x x  HD : Ta có : x  8x  x  x x   x   x  x   x  x      Nếu x    x  8 thỏa mãn Nếu x   x   x   x  0  1; 2  x  0;2 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a2  15ab  b 49  3a  b HD: Ta có: 5a2  15ab  b2 49  5a2  15ab  b2  9a2  6ab  b2   3a  b   3a  b Mặt khác: 3a  b  3a  b  7k  k  Z   b  7k  3a  5a  15ab  b    5a2  15a  7k  3a    7k  3a   49 3ak  a 49 Bài 15: Cho a, b số nguyên dương cho a  b chia hết cho tích a.b a2  b A  Tính giá trị biểu thức: ab HD:   a  da1 Gọi d   a; b    ,  a1; b1   , ta có: a2  b  d  a1  b1  ab  d a1b1  b  db1 Vì a2  b2 ab  a12  b12 a1b1  a12  b12 a1 b1  a12 b1 b12 a1 Vì  a1; b1    a1 b1 b1 a1  a1  b1   d a12  b12   2.d a 2 2 2 d a1b1 d a Bài 16: Cho m, n hai số nguyên tố Hãy tìm ước số chung lớn hai số A  m  n B  m  n HD : Gọi d  UCLN  A; B  , Vì  m; n    A, B tính chẵn lẻ : Vậy A  2mn  A  B d mn  n  nA d  n d Nếu A, B chẵn m, n lẻ d chẵn, Từ (1) => d  d  Nếu A, B lẻ d lẻ, Từ 1  n2 d , tương tự : m d (1) Vì  m; n    d  Bài 17: Cho số tự nhiên n  , Chứng minh rằng: n  10a  b,   b  10  ab HD: Ta có: n  10 a  b  b  ab , ta cần chứng minh ab Mặt khác : n  10 a  b  n có chữ số tận b Đặt n  4k  r,  k , r  N ,0  r  3  n  16k.2r Nếu r   n  16k có tận  b   ab Nếu  r   n  x  2r 16k  10  n tận 2r  b  2r  10a  n  x    16  1  a  ab r k Bài 18: Cho số tự nhiên n  , Chứng minh rằng: S  15  25  35   n5 1     n  HD: Đặt: A  1     n   n  n  1 Mặt khác, với n lẻ ta có: an  bn a  b,(a, b  N * )     Nên 2S  15  n5  25   n  1   n5  n    5  2S   15   n  1  25   n      n  1    2n5 n   Mà  n; n  1   2S n  n  1  A  S A  Bài 19: Cho     p 1      ,  p, q  Z  Chứng minh p 1979 q 1319 HD: Ta có: 1 p  1              q  1319  1318  2 1  1   1                  1319   659  660 1319   p  1   1   1979 A             B q  660 1319   661 1318   1319 660  Mà B  1979  p 1979   q  p.B 1979 A  Bài 20: Cho a1 , a2 , a3 , an  1; 1, n  N * , thỏa mãn: a1a2  a2a3  a3a4   ana1  , Chứng minh rằng: n HD: Đặt x1  a1a2 , x2  a2 a3 , , xn  ana1  x1 , x2 , x3  1; 1 , Hơn x1  x2   xn  Thì số -1 Giả sử có m số m số -1 (m  N * )  n  2m x1x2 x3 xn   1 m x1 x2 x3 xn   a1a2 an   Từ ta m số chẵn => n chia hết cho Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b cho: ab  a  b    a  b   a7  b 77 HD:  Ta có:  a  b   a7  b  7ab  a  b  a2  ab  b Vì ab  a  b    a2  ab  b 73  Chọn b   a  a   73  a Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Bài 1: Chứng minh : S  n2  3n  38  49, n  N HD: Giả sử tồn số tự nhiên n để S  n2  3n  38 49 Khi đó: S  n2  3n  38   n    n2  4n  , Mà S 49  S   n    n   n  7t  , thay vào S ta được:   S  49 t  t  28  S  49 trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với số tự nhiên n Bài 2: Chứng minh: n2  n   15, n  Z HD: Giả sử: n2  n  15  n2  n   n  n  1  (1)  n  3k  ,k  Z Từ (1)  n     n  3k   n2    n  1 n  1 Lại có: n2  n   n2   n   mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n2  n   15 Bài 3: Chứng minh rằng: n2  3n   121, n  N HD: Giả sử: n2  3n  121  n2  3n  11  4n2  12n  20 11  4n2  12n   11 11   2n  3  11 11 Nhưng A  n2  3n  11 A  121 11  121 n2  Bài 4: Xét phân số A  Hỏi có phân số tự nhiên n khoảng từ đến 2002 cho n5 phân số A chưa tối giản HD: Giả sử A chưa tối giản Đặt d  n  4; n   d      Ta có:  n  5  n2  d  10 n  21 d  10  n  5  29 d  29 d  d  29 Ngược lại:     Nếu n  29  n   29k , k  N *  n   29 29m  5k  29  A tối giản   Do đó, ta cần tìm n cho n   29k , k  N *   n  2002   m  69 Vậy có tất 69 giá trị m n có 69 giá trị để A chưa tối giản Bài 5: Chứng minh rằng: 9n3  9n2  3n  16  343, n  N HD: Bài 6: Có tồn số tự nhiên n cho n2  n  49 không HD: Giả sử tông số tự nhiên n để n2  n  49  4n2  4n  49   2n  1  49   2n  1 2 Vì số nguyên tố  2n    2n  1  49 từ  49 ( vơ lý) Bài 7: Chứng minh rằng: n2  n  9, n  N * HD: Giả sử tồn số tự nhiên n cho n2  n    n   n  1  9 Vì số nguyên tố nên  n    n  1 Nếu  n     n   n  1  3 không chia hết cho Nếu  n  1   n   n  1 không chia hết cho Bài 8: Chứng minh rằng: 4n2  4n  18 289, n  N HD: Giả sử tồn số tự nhiên n để 4n2  4n  18 289   2n  1  17 172   2n  1 17 Vì 17 số nguyên tố nên  2n  1 17   2n  1 289 Khi đó:  2n  1  17  289 2  Bài 9: Tìm tất cặp số nguyên dương  a; b  cho: a  b HD:    a b  1   Gỉả sử a  b a2b   k  N * : a  b  k a 2b   a  k  b ka  b  Đặt m  ka2  b,  m  Z   a  k  mb , Do a, b, k  N *  m  N * , ta có:  m  1 b  1  mb  m  b   a  k  ka    a  1 k  ka  1 , Vì m, b  N   m  1 b  1    k  a  1 , Do k , a  N  a   ta có : TH1 : k  a  1   a  thay vào đẳng thức ta :  m  1 b  1   a  1 k  ka  1 * * m   m  Ta được:  m  1 b  1      b   b  TH2: k  a  1   k  a    k  a  , Thay k  1, a  vào đẳng thức ta được:  m  1 b  1   a  1 k  ka  1 ta được:  m  1 b  1   m  b  Nếu m  từ a  k  mb  b  Vậy cặp số  a; b   1;2  , 1;3 ,  2;1 ,  2;3 10 Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: A n  B n  A  B  , n LẺ Bài 1: Chứng minh A  2005n  60n  1897n  168n 2004, n  N HD: Ta có: 2004  12.167 , ta cần chứng minh A 12, A 167    Ta có : A  2005n  1897n  168n  60 n  Áp dụng tính chất : a n  b n  a  b  , với n tự nhiên a  b  Khi : 2005n  1897n  2005  1897 168n  60 n 168  60  => Vậy A 12    Bài 2: Cho n  N , CMR : A    1   Tương tự : A  2005n  168n  1897n  60 n n HD: n n n  Khi A 167   n 91 Ta cần chứng minh A A 13 Ta có : A  25n  5n  18n  12 n  25n  18n  12 n  5n  Áp dụng tính chất : a n  b n  a  b   A        Tương tự : A  25n  12 n  18n  5n  A 13 Bài 3: Cho n  N , Chứng minh rằng:  19n  n1 17 HD: Ta có: A  62 n  19n  n1  36n  19n  2.2 n  36n  n  19n  n 2n  Vì 36n  n  36   34  19n  n 17    Bài 4: Chứng minh rằng: 13  33  53  73 23 HD : Ta có: A  13  33  53  73  13  73  33  53  8N  8M     Bài 5: Chứng minh rằng: 28n.56 n  1980n  441n  1979, n  N HD: Ta có: A  28n.56 n  1980 n  441   46 n  441n  1980 n  1n     Vì 46 n  441n  4000000 n  441n 3999559 1980 n  1n 1979 Bài 6: Chứng minh rằng: 36 n  26 n 35, n  N HD:    2   3 Ta có: 36 n  26 n  36 n n      26 M  33  23 33  23 M  35.19 M 35 Bài 7: CMR với số tự nhiên n ta có : 5n2  26.5n  82n1 59 HD : Ta có: 5n2  26.5n  82n1 59 = 51.5n  8.64n   59   5n  8.64n  59.5n   64n  5n  Vì  64n  52   64   nên ta có đpcm Bài 8: Chứng minh rằng: 92 n  14 15 HD: Ta có: 92 n  14  92 n   15  81n   15  80 n  15   11 Bài 9: Chứng minh rằng: A  20n  16n  3n  232, n  N HD: Tách 232  17.19 Khi đó: A  20 n  3n  16n      Lại có: 20n  3n   20  3 M  17M 17 , 16n   16  1 N  17N 17 Khi đó: A 17 Mặt khác: A  20 n   16n  3n     , Mà 20n    20  1 P  19.P 19 16n  3n  16  3 Q  19.Q 19  A 19 Bài 10: Chứng minh rằng: nn  n2  n   n  1 , n  HD: Với n   nn  n2  n    n  1     n  n  1   n  1  n  n  1  n  n   1   n  1   n  1  n  n   n  1   n  1  n  1    n  1   n  1    n  1 M  n  1   Với n   A  n n  n  n   n n  n   n  1 n2 n 1 n2 n 3 n4 n 1 2 Bài 11: Chứng minh rằng: 32 n1  22 n2 7, n  N HD: Ta có: 32 n1  22 n2  3.32 n  2.2n  3.9n  4.2n      4.2 n  7.M  7.2 n n   Bài 12: Chứng minh rằng: mn m  n 30, m, n  N HD:         Ta có: mn m  n  mn m  m   mn n  n  30 Bài 13: Chứng minh rằng: A  3n  63 72, n  N , n  n số chẵn HD: Đặt n  2k ,  k  N   3n  63  32 k  63  32 k   64  9k   64 hay A     Mặt khác: n   3n 63  A Bài 14: Tìm giá trị n để: A  20 n  16 n  3n  323 HD: Ta có: 323  17.19 Bài 15: Tìm số tự nhiên n để A  32 n3  n1 25 HD: Ta có: A  32 n3  n1  32 n.27  n.2  32 n.25  32 n.2  n.2  32 n.25  9n  16n  Bài 16: Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a  a  1 b  1 192  HD: Đặt a   2k  1 , b   2k  1 ,  k  N  , Khi ta có: 2  a  1 b  1  16k  k  1 k  1 64 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c , Chứng minh rằng: abc 60 HD : Ta có : 60=3.4.5, đặt M  abc Nếu a, b, c không chia hết cho  a2 , b2 , c2 chia hết cho dư 12  a  b  c , Do có số chia hết cho Vậy M Nếu a, b, c không chia hết cho  a2 , b2 , c2 chia dư  b  c chia dư hoặc  a  b  c , Do có số chia hết cho => M Nếu a, b, c số lẻ  b2 , c2 chia dư  b  c   mod   a2  b  c Do hai số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn: + Nếu c số chẵn =>M + Nếu c số lẻ, mà a2  b  c  a số lẻ  b   a  c  a  b   b   a  c  a  c  b chẵn  b  M               Vậy M  abc 3.4.5 Bài 18: Chứng minh rằng: 36n2  60 n  24 24 HD : Ta có:  36n2  60n  24  12n  3n  5  24 , Thấy n;3n  không đồng thời chẵn lẻ  n  3n  5 => ĐPCM 13 Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Bài 1: Chứng minh A  16n  15n  225, n  N * HD: Với n   A  225 Giả sử n  k  A  16k  15k  225 Ta cần chứng minh với n  k  16k 1  15  k  1  225   Thật vậy: 16k 1  15  k  1   16.16 k  15k  16  16 k  15k   15.16 k  15  16 k  15k   15.15.M  A  225.M 225 Vậy A  16n  15n  225, n  N * Bài 2: Chứng minh rằng: 33n3  26n  27 29, n  HD: Bài 3: Chứng minh rằng: 42 n2  15, n  N * HD: 14 ... Nếu a, b, c không chia hết cho  a2 , b2 , c2 chia hết cho dư 12  a  b  c , Do có số chia hết cho Vậy M Nếu a, b, c không chia hết cho  a2 , b2 , c2 chia dư  b  c chia dư hoặc  a...  1  3 không chia hết cho Nếu  n  1   n   n  1 không chia hết cho Bài 8: Chứng minh rằng: 4n2  4n  18 289 , n  N HD: Giả sử tồn số tự nhiên n để 4n2  4n  18 289   2n  1... n     n  n  1 n  1 n   tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho a a2 a3 Bài 9: Chứng minh rằng:   số nguyên với a nguyên HD: a a