N v HIEP CAC CHUYEN DE ON HSG TOAN 8

 Các chun đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  PHẦN I: SỐ HỌC §1 LÝ THUYẾT CHIA HẾT Bài (Ninh Phước 2019) Cho B = 21 + 22 + 23 + + 229 + 230 Chứng minh B chia hết cho 21 Bài Chứng minh P = + 22 + 23 + + 22011 + 22012 chia hết cho Bài Chứng minh số 1110 − chia hết cho 100 Bài (Nguyễn Du 1996) Chứng minh số 2130 + 3921 chia hết cho 45 Bài (Nguyễn Du 1998) Chứng minh số 8351634 + 8241142 chia hết cho 26 Bài Chứng minh với số tự nhiên n số 5n+2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 Bài Chứng minh n3 − n chia hết cho với số nguyên n Bài Chứng minh với số nguyên a a3 + 5a chia hết cho Bài (Quận 10 – 2002) Chứng minh với a nguyên a3 + 11a − 6a2 − chia hết cho Bài 10 Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho Bài 11 (Sơn Dương 2016) Cho a1 , a2 , , a2016 số tự nhiên có tổng chia hết cho Chứng minh A = a13 + a23 + + a2016 chia hết cho Bài 12 (Quận – 2012) Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn a − b + c = 2012 Tìm số dư chia a3 − b3 + c3 cho Bài 13 (Quận – 2015) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a3 = b3 − c3 + d Chứng minh a − b + c − d chia hết cho Bài 14 (Đặng Trần Côn 2015) Chứng minh với số nguyên n n3 − 3n + chia hết cho Bài 15 (Quận – 1996) Chứng minh B = n3 + 6n2 −19n − 24 chia hết cho Bài 16 (Quận 10 – 2002) Chứng minh tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Bài 17 (Quận – 1998) Chứng minh với số nguyên n n3 + 20n chia hết cho 48 Bài 18 (Giao Thủy 2017) Chứng minh n3 + 2012n chia hết cho 48 với số tự nhiên n chẵn Bài 19 Chứng minh tổng lũy thừa bậc ba ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Bài 20 (Trần Đại Nghĩa 2013) Cho A = ( a + b )( b + c )( c + a ) − abc Chứng minh a, b, c số nguyên a + b + c chia hết cho A chia hết cho Bài 21 (Quận – 2014) Chứng minh với số nguyên tố a  a3 − a chia hết cho 24a Bài 22 (Trần Đại Nghĩa 2014) Cho số nguyên tố p  Chứng minh 73 p − chia hết cho 24 Bài 23 (Quận – 1991) Cho đa thức P ( x ) = x − x − x + 13 x + Trang  Các chuyên đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  a) Phân tích P(x) thành nhân tử b) Chứng minh P(x) chia hết cho với số nguyên x Bài 24 (Quận – 1993) Cho đa thức P ( x ) = x + x − 13x − 14 x + 24 a) Phân tích đa thức P(x) thành nhân tử b) Chứng minh với giá trị nguyên x P(x) chia hết cho Bài 25 (Quận – 1994) Cho P ( x ) = x − 3x + x − x + a) Chứng minh x nguyên dương P(x) chia hết cho b) Giải phương trình P(x) = Bài 26 Chứng minh n4 − 2n3 − n2 + 2n chia hết cho 24 với số nguyên n Bài 27 (Tân Bình 1998) Chứng minh A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 với số nguyên Bài 28 Cho a, b bình phương hai số lẻ liên tiếp Chứng minh ab − a − b + chia hết cho 48 Bài 29 (Tam Dương 2019) Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n − 6n5 − 26 B = + n3 − n Chứng minh với số nguyên n thương phép chia A cho B bội Bài 30 (Cẩm Giàng 2016) Chứng minh Q = n3 + ( n + 1) + ( n + ) chia hết cho với 3 n * Bài 31 (Hoa Lư 2009) Chứng minh n5 − n chia hết cho với số nguyên n Bài 32 (Hoài Nhơn 2016) Chứng minh chữ số tận hai số tự nhiên n n5 Bài 33 (Vĩnh Lộc 2017) Cho số nguyên a, b, c Chứng minh a + b5 + c5 − ( a + b + c ) chia hết cho 30 Bài 34 Chứng minh với số nguyên x, y ta có x5 y − xy chia hết cho 30 Bài 35 (Kinh Môn 2019) Cho đa thức f ( x ) = x − 3x + 3x − Với giá trị nguyên x giá trị đa thức f ( x ) chia hết cho giá trị đa thức x2 + Bài 36 (Thái Thụy 2017) Tìm a nguyên để a3 − 2a2 + 7a − chia hết cho a + Bài 37 (Nông Cống 2019)* Chứng minh n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 với số tự nhiên n Bài 38 (Bắc Giang 2019) Tìm tất số nguyên dương n cho n2 + ước n6 + 206 Bài 39 (Hoằng Hóa 2015) Cho số tự nhiên n > Chứng minh 2n = 10a + b ( a, b  ;0  b  10 ) tích ab chia hết cho Trang  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  §2 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Bài (Quận – 1996) Tìm giá trị nguyên x, y cho x + xy = Bài (Thạch Hà 2017) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình ( x + y ) = xy + 11 Bài (Mỹ Đức 2012) Tìm nghiệm nguyên phương trình ( x − 1) + y = xy Bài (Tam Dương 2017) Tìm x, y nguyên dương cho x2 − y + x − y − 10 = Bài (Mỹ Đức 2014) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x − 16 = y ( y + ) Bài Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x − 25 = y ( y + ) Bài (Ý Yên 2016) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) cho x + x + = y Bài (Hoằng Hóa 2015) Tìm giá trị x, y nguyên dương cho x2 = y + y + 13 Bài (Hậu Lộc 2019) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình x4 + y + = y − x2 Bài 10 (Nam Trực 2016) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + 3xy − y = Bài 11 (Mỹ Đức 2013) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) cho 5x + 30 = −3xy + y Bài 12 (Quận – 2013) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 − xy + 3x − y = Bài 13 (Mỹ Đức 2015) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x2 − xy + 3x − y = 59 Bài 14 (Hậu Lộc 2017) Tìm x, y nguyên thỏa mãn y + xy − 3x − = Bài 15 (Mỹ Đức 2013) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn 5x + 30 = −3xy + y Bài 16 (Bắc Giang 2018) Tìm tất số nguyên x; y cho 3x2 + 3xy − 17 = x − y Bài 17 Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + xy − 2012 x − 2013 y − 2014 = Bài 18 (Chí Linh 2018) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn ( y + ) x3 − y − y − = Bài 19 (Giao Thủy 2017) Tìm cặp số nguyên x; y thỏa mãn x + + x − = − ( y + ) Bài 20 Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − xy + y − 16 = Bài 21 (Mỹ Đức 2017) Tìm cặp số nguyên dương ( x; y ) cho x2 + x + y − y = 24 Bài 22 (Triệu Sơn 2016) Tìm x, y nguyên thỏa mãn 5x2 + xy + y − x − 40 = Bài 23 (Giao Thủy 2017) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 5x2 + y = 17 + xy Bài 24 (Vĩnh Lộc 2017) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + y + 3xy + 3x + y = 15 Bài 25 (Kinh Mơn 2019) Tìm số ngun x; y thỏa mãn x + xy + ( x + y ) + y + 10 = Bài 26 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn 10 x2 + 20 y + 8x − 24 y + 51  Bài 27 (Hồi Nhơn 2016) Tìm tất cặp số nguyên x; y thỏa mãn 10 x2 + 50 y + 42 xy + 14 x − y + 57  Bài 28 (Thanh Trì 2019) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn x2 + y + 5x2 y + 60 = 37 xy Trang  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  Bài 29 (Thạch Hà 2017) Giải phương trình nghiệm nguyên: x + y = x + y + 2017 3 Bài 30 (Trần Đại Nghĩa 2009) Tìm số nguyên dương x, y cho x3 + y3 = 3xy − Bài 31 (Quảng Xương 2019) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x3 + y3 − 3xy = Bài 32 (Thanh Oai 2016) Tìm số nguyên dương x, y cho x3 + y + ( x + y ) + ( x + y ) = 16 xy Bài 33 (Sơng Lơ 2016) Tìm số ngun x, y cho x3 + x2 + 3x + = y3 Bài 34 (Hoa Lư – 2011) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn + x + x2 + x3 = y3 Bài 35 (Hải Phòng 2014) Giải phương trình nghiệm nguyên x3 − y3 + 5xy + = Bài 36 (Sơn Dương 2016).Tìm số nguyên x; y; z cho x2 + y + z − xy − y − z + = Bài 37 (Mỹ Đức 2019) Tìm cặp số tự ( x; y ) nhiên cho ( x + 15 y + 1) ( x + x + x + y ) = 305 Bài 38 (Chí Linh 2017) Giải phương trình nghiệm ngun dương 3y = x2 − 5x + Bài 39 Tìm nghiệm nguyên phương trình 3x + 4x = 5x Bài 40 (Thanh Trì 2019) Tìm số nguyên dương n cho n3 + 2018n = 20202019 + Bài 41 (Thái Thụy 2017) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 2016 x y 2015 + + + = x + y 2015 4031 x + 2016 §3 MỘT SỐ BÀI TỐN SỐ HỌC KHÁC Bài (Nguyễn Du 1997) Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, biết tích chúng 57120 Bài Cho số nguyên a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh A = (1 + a )(1 + b )(1 + c ) số phương Bài (Quận – 1996) Chứng minh với x, y nguyên số A = ( x + y )( x + y )( x + y )( x + y ) + y số phương Bài (Kim Thành 2015) Cho N = x − 12 x + 47 x − 60 ( x  ) Chứng tỏ N tích số nguyên liên tiếp Bài Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng với số phương Bài (Hồi Nhơn 2016) Tìm tất số nguyên x thỏa mãn x + x − p = , với p số nguyên tố Bài (Thanh Oai 2016) Tìm số tự nhiên n cho 12n2 − 5n − 25 số nguyên tố Bài Tìm số tự nhiên n để ( n − ) + 36 số nguyên tố Bài (Quận – 2011) Tìm tất số tự nhiên n để B = n4 − 3n2 + số nguyên tố Bài 10 (Quận – 2010) Tìm số nguyên dương n để p = n4 − 27n2 + 121 số nguyên tố Bài 11 (Quận – 1996) Tìm số nguyên dương n để n1998 + n1997 + số nguyên tố Trang  Các chun đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  Bài 12 (Hải Phòng 2014) Cho số nguyên a, b, c, d khác thỏa mãn ab = cd Chứng minh số a2014 + b2014 + c2014 + d 2014 hợp số Bài 13 (Thạch Hà 2017) Tìm số hạng thứ dãy 1;3;5;10;17 Bài 14 (Quảng Trạch 2019) Cho an = + + + + n Chứng minh an + an +1 số phương Bài 15 (Mỹ Đức 2018) Tìm số nguyên x để x2 + x số phương Bài 16 Chứng minh với số nguyên dương n A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + khơng phải số phương Bài 17 (Triệu Sơn 2016) Với số tự nhiên n, đặt an = 3n + 6n + 13 a) Chứng minh hai số , a j không chia hết cho có số dư khác chia cho + a j chia hết cho b) Tìm tất số tự nhiên n lẻ cho an số phương Bài 18 (Thanh Trì 2019) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Bài 19 (Vĩnh Bảo 2018) Tìm số tự nhiên n để n + 18 n − 41 hai số phương Bài 20 Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta số phương Bài 21 (Mỹ Đức 2019) Cho n + 2n + (với n ) số phương Chứng minh n chia hết cho 24 Bài 22 Chứng minh 2n + 3n + ( n ) số phương n chia hết cho 40 Bài 23 (Mỹ Đức 2016) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi Bài 24 (Hậu Lộc 2019) Chia 12 bánh mỳ cho 12 người Thanh niên người chiếc; người già hai người em bé bốn em Hỏi có niên, người già, em bé? Biết theo cách chia số bánh mỳ chia vừa đủ với số người Bài 25 (Quận – 1993) Cho a, b hai số nguyên a) Chứng minh a chia 13 dư b chia 13 dư a + b2 chia hết cho 13 b) Chứng minh 10a2 + 5b2 + 12ab + 4a − 6b + 13  Dấu xảy nào? Bài 26 (Nguyễn Du 1997) Tìm số có hai chữ số mà bình phương lập phương tổng chữ số Bài 27 (Yên Lạc 2003) Tổng số tự nhiên chữ số 2359 Tìm số tự nhiên Bài 28 Chứng minh khơng thể tìm hai số lẻ mà tổng bình phương chúng bình phương số nguyên Trang  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  Bài 29 (Nguyễn Du 1997) Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn điều kiện a2 − b2 = c2 − d Chứng minh a + b + c + d số phương Bài 30 (Quận – 2015) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a + b = c + d Chứng minh a + b2 + c2 + d ln tổng ba số phương Bài 31 (Nguyễn Du 1996) Cho biết tích hai số tự nhiên 19851986 Hỏi tổng chúng có bội 1986 khơng? Bài 32 Số tự nhiên A = + 23 2012 số ngun tố hay hợp số? Giải thích sao? Bài 33 Chứng số A = 11 11122 2225 (có 2005 chữ số 2006 chữ số 2) số phương Bài 34 Chứng minh số 444 4488 89 viết dạng bình phương số tự nhiên n _ so n −1so Bài 35 (Nguyễn Du 1998) Cho A = 11 + 11 + 66 + Chứng minh A số 1998 so1 1000 999 phương Bài 36 (Thạch Hà 2017) Ký hiệu S ( a ) tổng chữ số số tự nhiên a Tìm a biết S ( a − ) + a = 122 Bài 37 (Chí Linh 2019) Cho số nguyên tố x  y  z liên tiếp thỏa mãn x2 + y + z số nguyên tố Chứng minh ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) số nguyên tố 2 Bài 38 (Bắc Giang 2019) Cho a, b, c  , a, b, c  a  c cho a + b2 a = Chứng minh b2 + c c a2 + b2 + c2 số nguyên tố Bài 39 (Mỹ Đức 2017) Tìm số nguyên dương x y cho x2 − chia hết cho xy + Bài 40 (Kim Thành 2018) a) Xác định đa thức bậc ba f ( x ) khơng có hạng tử tự cho f ( x ) − f ( x − 1) = x b) Chứng tỏ 12 + 22 + + ( n − 1) + n = n ( n + 1)( 2n + 1) Bài 41 (Sông Lô 2016) Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + + k ( k + 1)( k + ) , với k  * Chứng minh 4S + bình phương số tự nhiên Bài 42 (Trần Đại Nghĩa 2009) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn a b c d + + + = Chứng minh A = abcd số phương a+b b+c c+d d +a Bài 43 (Thái Thụy 2017) Cho số a, b, c, d nguyên dương đôi khác thỏa mãn 2a + b 2b + c 2c + d 2d + a + + + = Chứng minh A = abcd số phương a+b b+c c+d d +a Bài 44 (Nguyễn Du 1998) Tìm ước chung lớn hai số A = 263 −1 B = 277 −1 Trang  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  PHẦN II: ĐẠI SỐ CHƯƠNG I: NHÂN, CHIA ĐA THỨC §1 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ Bài (HSG Tân Bình 1991 – 1992) Cho biểu thức A = x2 + x + 15 Bài Bài Bài Bài a Chứng minh A dương với x b Với giá trị x A có giá trị nhỏ hay lớn nhất, tìm giá trị nhỏ hay lớn Tìm giá trị nhỏ A = x2 − 5x + Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 - 4x + Tìm giá trị nhỏ A = 4x2 − 4x + (Hoàng Văn Thụ 2002) Tìm giá trị nhỏ y = x2 + x + x ( x − ) + 74 Bài (Đồng Khởi 2015) Tìm giá trị nhỏ A = 13 Bài (Quận 10 – 2001) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ a) A = 3x2 + x + b) B = x − x2 Bài (Lê Q Đơn 2000) Tìm giá trị nhỏ A = x − x + Bài (Quận – 2003) Tìm giá trị nhỏ A = ( x − 1) + ( x − 3) 2 Bài 10 Chứng minh khơng có giá trị x thỏa mãn x − x + 15 = Bài 12 Tìm giá trị lớn M = − x + x − Bài 11 Chứng minh biểu thức A = − x + x − nhận giá trị âm với x 2 Bài 13 Cho x + y = Chứng minh x + y  Bài 14 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x − x + y − y + 2 Bài 15 (Thạnh Mỹ Tây) CMR có cặp x, y: x − x + y − y + 13 = Bài 16 (Hoàng Văn Thụ 2002) Chứng minh x2 + y + z + 14  x + 12 y + z , với x, y, z Bài 17 (Nguyễn Du Gò Vấp 2000 – 2001) Tìm x, y, z cho x + y + z = x + 12 y − z − 14 2 Bài 18 Tìm giá trị nhỏ M = x + xy + y − y − 2 Bài 19 Cho số x, y thỏa mãn 3x + y + xy + x − y + = Tính giá trị M = ( x + y) 2016 + ( x + 2) 2017 + ( y − 1) 2018 Bài 20 (HSG Nguyễn Du 1999 – 2000) Tìm x, y, z để 5x + y + 8xy + y − x + = 2 Bài 21 (Ý Yên 2016) Tìm a, b, c biết a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca a8 + b8 + c8 = Bài 22 Tìm x, y thỏa mãn x + y + xy + x + 32 y + 46 = 2 Bài 23 Tìm x, y, z biết x2 + y + z − 18x + z − y + 20 = Bài 24 Tìm x, y, z biết 10 x2 + y + z + x − y − xz + = Bài 25 Tìm x, y biết y + x2 + xy + x + y + = Trang  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  Bài 26 Cho ba số x, y, z thỏa mãn x + y + z − xy − xz + yz − y − 10 z + 34 = Tính giá trị S = ( x − ) 2017 + ( y − 4) 2 + ( z − 4) 2017 2017 Bài 27 (Hoa Lư 2000 – 2001) Tìm ba số x, y, z cho x2 + y − xy + 10 x − 22 y+ | x + y + z | +26 = ( )( ) Bài 28 (Quận – 2015) Tìm x, y, z cho x − x + 11 y + y + = + z − z Bài 29 Cho số x, y thỏa mãn x + y + xy + 3x − y + = Tính giá trị biểu thức Q = ( x + y + 1) 2017 + ( x + 2) 2018 Bài 30 Tìm giá trị nhỏ A = x + y − xy + x − y + 12 2 Bài 31 Tìm giá trị nhỏ A = x2 − xy + y − y + Bài 32 Tìm giá trị nhỏ B = x2 + y + xy − 8x + 2028 Bài 33 (Củ Chi 2016) Tìm giá trị nhỏ x2 + y + xy − x − y + 2015 Bài 34 (Phú Nhuận 2001) Tìm giá trị a, b để biểu thức A = a − 4ab + 5b2 − 2b + đạt giá trị nhỏ Bài 35 Tìm giá trị nhỏ A = x2 + y + xy + x + 12 Bài 36 (HSG Mỹ Đức 2015).Tìm giá trị lớn biểu thức M = − x2 + xy − y − x + y + 11 Bài 37 (Tam Đảo 2015 + Quận - 2000) Tìm giá trị nhỏ A = 5x2 + y + xy − x + y + 2015 Bài 38 (Ngơ Quyền 2015) Tìm giá trị nhỏ A = x2 + y − xy + x + y + 2 Bài 39 Cho số x, y thỏa mãn x + y = 13 Tìm giá trị nhỏ Q = x + y Bài 40 Cho hai số a, b thỏa mãn a + 2ab + b2 − 2a − 2b + = Tính a + b Bài 41 Tính giá trị biểu thức A = x6 − x4 + x3 + x2 − x , biết x3 − x = Bài 42 (Hoa Lư 2002)* Tìm giá trị nhỏ P = x4 + x3 + 3x2 + x + Bài 43 (Kiểm tra) Tính nhanh 502 − 492 + 482 − 472 + + 22 −12 Bài 44 (HSG Nguyễn Du 1998 – 1999) Tính S = 12 − 22 + 32 − 42 + + 992 − 1002 + 1012 Bài 45 (Nguyễn Du 2013) Tính 20122 − 20112 + 20102 − 20092 + + 22 −12 ( ) ( ) Bài 46 Tính B = 502 + 482 + 462 + 22 − 492 + 47 + + 32 + 12 Bài 47 (HSG Tân Bình 1992 – 1993) Thực phép tính cách ngắn gọn   x −  −1 x3 −    Bài 48 Chứng minh a ( b − c )( b + c − a )2 + c ( a − b )( a + b − c )2 = b ( a − c )( a + c − b )2 Bài 49 (Hoài Nhơn 2016) Tìm giá trị nhỏ A = x4 − x3 + 3x2 − x + 2015 Bài 50 Xét xem biểu thức A = (4 y − 3x + 1)(3x + y − 1) + (3x −1) có phụ thuộc vào biến x, y 4 hay không? Bài 51 (HSG Quận 1997 – 1998) Tìm x cho (2x2 + x −1998)2 + 4( x2 − 3x − 950)2 = 4(2 x2 + x −1998)( x2 − 3x − 950) Bài 52 (HSG Quận 1997 -1998) Chứng minh ( x −1)( x − 3)( x − 4)( x − 6) + 10  với x Bài 53 (HSG Ninh Phước 2019) Cho A = ( x − 1)( x + )( x + 3)( x + ) Tìm giá trị x để biểu thức A đạt giá trị nhỏ Trang  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  Bài 54 (HSG Quận 1995-1996) Chứng minh với x, y nguyên A = ( x + y)( x + y)( x + y)( x + y) + y số phương Bài 55 (Đồng Khởi 2015) a) Tính nhanh B = 123 (123 + 154 ) + 77 b) Cho M = 24 ( 52 + 1) ( 54 + 1) ( 516 + 1) N = 532 Hãy so sánh M N Bài 56 (Hà tây chuyên 2004 – 2005) Rút gọn (1 + x)(1 + x )(1 + x ) (1 + x )( x −1) +   Bài 57 (HSG Quận – 1997 – 1998) Thực phép tính 1 − 16  1   −  1 −      19982  y2 + = Tìm giá trị lớn nhỏ Bài 58 Cho x, y khác thỏa mãn x + x2 A = 2016 + xy §2 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (T) Bài (Nguyễn Du 2013) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y: M = ( x + y − 1) − ( x + y + 1) + ( x + y ) 3 ( ) ( ) Bài (Kim Thành 2015) Cho a + b = Tính giá trị M = a + b3 − a + b 2 3 Bài Cho x + y = x + y = 10 Tính giá trị A = x + y Bài Cho x − y = x + y = 29 , khơng tính giá trị x, y , tìm giá trị A = x − y 2 ( Bài (Quảng Xương 2019) Tính giá trị biểu thức B = x + y + 34 ) 2019 , biết x + y = −5 xy = Bài (Chí Linh 2017) Cho hai số x, y thỏa mãn x + y = x + y = 10 Tính giá trị M = x3 + y ( ) ( ) Bài Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ A = a a + 2b + b b − a 2 Bài (Quận – 2009) Cho A = x ( x + 1) − 3xy ( x − y + 1) − y ( y − 1) + xy Biết y − x = 11 Tính giá trị biểu thức A Bài (Tam Dương 2017) Cho hai số a, b thỏa mãn a + b = Tính giá trị biểu thức B = a3 + b3 + 3ab Bài 10 Cho ba số a, b, c thỏa mãn a + b + c = Hãy tính P = a ( a + 3b ) + b ( b + 3a ) + a ( a + c ) − b ( b + c ) + c Bài 11 (HSG Quận 1995 -1996) Rút gọn A = 75(4 + 41992 + + 42 + 5) + 25 Bài 12 (Quận – 2012 – Ninh Phước – Ninh Thuận 2019) Cho a + b + c = Chứng minh a3 + b3 + c3 = 3abc 1993 Bài 13 Cho a + b + c = 3abc a + b + c  Tính giá trị N = 3 a + b2 + c2 (a + b + c) Bài 14 Chứng minh ( a + b + c ) = a + b3 + c + ( a + b )( b + c )( c + a ) Bài 15 (Nga Sơn 2017) Cho x + y + z = x3 + y3 + z = Tính giá trị biểu thức A = x2015 + y 2015 + z 2015 Trang  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  Bài 16 (Thạch Hà 2017) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn x + y + z = ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) P = ( x − 1) 2017 + ( y − 2) 2017 = Tính giá trị biểu thức + ( z − 3) 2017 §3 ÔN TẬP TỔNG HỢP VỀ NHÂN, CHIA ĐA THỨC – HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (HSG Quận 1999 -2000) Cho đa thức bậc hai P( x) = ax2 + bx + c Tìm a, b, c biết P(0) = Bài 26; P(1) = 3, P(2) = 2000 Bài (Chí Linh 2018) Cho đa thức P ( x ) bậc có hệ số bậc cao Biết P (1) = 0; P ( 3) = 0; P ( ) = Hãy tính giá trị Q = P ( −2 ) + P ( ) Bài Tìm a, b để f ( x ) = x + ax + b chia hết cho đa thức x2 + x − Bài (Quảng Xương 2019 + Nga Sơn 2017) Tìm a b cho đa thức f ( x ) = ax + bx + 10 x − chia hết cho đa thức g ( x ) = x + x − Bài (Quận – 2003) Tìm dư phép chia P ( x ) = ( x + 1)( x + 3)( x + )( x + ) + 2002 cho đa thức Q ( x ) = x + x + 12 Bài (Bắc Giang 2018) Tìm số dư phép chia đa thức P ( x ) = ( x + 3)( x + )( x + )( x + ) cho đa thức x2 + 12 x + 30 Bài (Tam Dương 2017) Tìm số dư phép chia đa thức ( x + )( x + )( x + )( x + ) + 2017 cho đa thức x2 + 10 x + 21 Bài Tìm số a, b cho x3 + ax + b chia cho x + dư 7, chia cho x − dư −5 Bài Cho đa thức f ( x ) = ax + bx + cx + d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức f(x) cho ( x − 1) ; ( x − ) ; ( x − 3) có số dư x = −1 đa thức nhận giá trị −18 Bài 10 (Việt Yên 2013 + Cẩm Giàng 2016) Tìm đa thức f ( x ) , biết ( x + ) dư 10, f ( x ) chia cho x − dư 26 f ( x ) chia cho x2 − thương −5x dư Bài 11 (Thanh Trì 2019) Cho đa thức F ( x ) = x + ax + bx + c Biết đa thức F ( x ) chia cho x + dư – đa thức F ( x ) chia cho x − dư Hãy tính giá trị A = ( a 2019 + b 2019 )( b 2020 − c 2020 )( c 2021 + a 2021 ) Bài 12 (Nguyễn Du 1996 – 1997 + Hoa Lư 2002 - 2003) Cho ba số x, y, z: x + y + z = 0; xy + yz + zx = Tìm giá trị biểu thức S = ( x −1)1995 + y1996 + ( z + 1)1997 Bài 13 (Nguyễn Du 1998 – 1999) Cho a + b + c = 9; a + b + c = 53 Tính ab + bc + ca ( Bài 14 Chứng minh x + y + z = x + y + z 2 ) = ( x4 + y + z ) Bài 15 (Quận – 2014) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 2014 Tính giá trị M = a4 + b4 + c4 a + b + c = Bài 16 (Hoa Lư 2000 – 2001) Cho a, b, c thỏa mãn  2 a + b + c = 14 Hãy tính giá trị A = + a + b4 + c Bài 17 (Đồng Khởi 2015) Cho a3 − 3ab2 = b3 − 3a 2b = −11 Tính giá trị a + b2 Trang 10  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  Bài Cho số dương x, y thỏa mãn x + y =1 Tìm giá trị nhỏ P= + + 4xy x + y xy Bài (Thanh Oai 2016) Cho a, b, c dương thỏa mãn điều kiện abc = Tìm giá trị lớn P= 1 + + 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + Bài 10 Cho x  1; y  x + y = Tìm giá trị nhỏ S = 3x + y + + x −1 y −1 IV MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Bài (Hồng Văn Thụ 2001 – 2002) Tìm giá trị lớn y = − || x | −1| +5 Bài (Giao Thủy 2017) Tìm giá trị lớn B = x +1 , với x số nguyên x−2 + 2014 , với x  4x Bài (HSG Quận 1994 – 1995 + Ninh Phước 2019) Với giá trị x A = ( x −1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) đạt giá trị nhỏ Bài Tìm giá trị nhỏ P = 3x − x − Bài (HSG Quận 2002 – 2003) Tìm giá trị nhỏ P = x + (3 − x)2 Bài (Quận 2003 – 2004) Tìm giá trị nhỏ A = xy( x − 2)( y + 6) + 12 x2 − 24 x + y + 18 y + 36 Bài Cho x  Tìm giá trị nhỏ S = x − x + Bài + 10 9x (Tam Dương 2017) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ 1 + + x +x y +y z +z Bài (HSG Nguyễn Du 1996 – 1997) Cho a, b, c ba cạnh tam giác Xác định dạng a b c + + tam giác ABC để P = đạt giá trị nhỏ b+c −a a +c −b b+ a −c P = x2 y2 z2 + + x + yz y + zx z + xy Bài 11 (Hải Phòng 2014)* Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ ab + bc + ca P = a + b + c + a b + b 2c + c a Bài 12 (Quận – 2014) Cho  x  2;0  y  2;0  z  Tìm giá trị lớn Bài 10 Cho x, y, z  Tìm giá trị nhỏ P = A= x y z + + + y + zx + z + xy + x + yz Bài 13 (Vĩnh Lộc 2017) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn 1 + + = Tìm giá trị 1+ a 1+ b 1+ c lớn biểu thức Q = abc Bài 14 (Nga Sơn 2017) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2016 Tìm giá trị nhỏ 2a + 3b + 3c + 3a + 2b + 3c 3a + 3b + 2c − + + 2015 + a 2016 + b 2017 + c Bài 15 (Bắc Ninh 2019) Cho x, y, z số thực thỏa mãn xy + ( yz + zx ) = Tìm giá trị nhỏ P = S = ( x + y ) + z Trang 46  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  a + b2 Bài 16 Cho số dương a, b thỏa mãn a + b + = 8ab Tìm giá trị nhỏ A = 2 ab Bài 17 (Bắc Giang 2018) Cho x, y  thỏa mãn x + y  Tìm giá trị nhỏ H = x2 + y + 24 + x y + 9 x y Bài 19 (Chí Linh 2017)* Cho  b  a  2ab  3a + 4b Tìm giá trị lớn biểu thức P = a + b2 Bài 20 (Triệu Sơn 2016) Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy z + x2 z + y = 3z Hãy tìm giá Bài 18 (Nam Trực 2016) Cho x, y dương thỏa mãn trị lớn P = z4 + z ( x4 + y ) Bài 21 (Trần Đại Nghĩa 2013) Cho  a, b, c  thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn M = a3 + b3 + c3 Bài 22 (Trần Đại Nghĩa 2013) Cho  a, b, c  a + b + c = Tìm giá trị lớn N = a3 + b3 + c3 + 4abc §7 BẤT PHƯƠNG TRÌNH x −1  x −3 Bài (HSG Quận 2001 – 2002) Giải bất pt m2 x +  m − x Bài Tìm m để hai bất pt sau có tập nghiệm x ( x − )  − x mx −  x − 2m Bài (HSG Quận 2002 – 2003) Giải bpt x−3  x+2 4x +  (HSG Quận 2000 – 2001) Giải bất pt 2x −1 3x −  (HSG Quận 2002 – 2003) Giải bất pt 9x +1 (HSG Tân Bình 1994 – 1995) Chứng minh bất phương trình sau nghiệm với −4 −5  x: x − 2x + ( x − 1)( x − 3)  (Hoàng Văn Thụ 2001 – 2002) Giải bất pt x + 2x + (Quận 2003 – 2004) Giải bất pt ( x + 2)2 ( x + 4)( x −1)  Bài (Nguyễn Gia Thiều 2000 – 2001) Giải bất pt Bài Bài Bài Bài Bài y2 − +  Bài 10 (Chí Linh 2017) Giải bất phương trình 1+ y + y2 1− y y −1 x − ab x − bc x − ac + +  a+b+c Bài 11 (HSG Quận 2002 – 2003) Giải bất pt a+b b+c c+a Bài 12 (HSG Quận 1997 1998) Với giá trị a bất phương trình ( x − a)( x − 5)  có nghiệm Bài 13 (HSG Quận 1998-1999) Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm (m2 − 3m + 2) x  − 2m Trang 47  Các chun đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  PHẦN III: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: TỨ GIÁC §1 ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC – CỦA HÌNH THANG Bài [Quan trọng – Nguyễn Du 1998] Cho tam giác ABC cân A Gọi H trung điểm BC, K hình chiếu H AC Gọi I trung điểm HK CMR AI vng góc với BK Bài (HSG Quận 1995 – 1996) Chứng minh tam giác, tổng độ dài ba đường trung tuyến lớn chu vi tam giác nhỏ chu vi tam giác Bài (chọn đội tuyển Trần Đại Nghĩa 2008 – 2009) Cho tam giác ABC có A  900 Dựng phía ngồi tam giác ABD vng cân D tam giác ACE vuông cân E Gọi M trung điểm BC a CMR tam giác DME vuông cân b CMR DE  ( AB + AC ) §2 HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH CHỮ NHẬT Bài (HSG Lớp – Chương Mỹ 2013 – 2014) Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E điểm đối xứng với B qua C Vẽ BH vng góc với AE H Gọi I trung điểm HE a CMR tứ giác ACED hình bình hành b Gọi K trực tâm tam giác ABI CMR K trung điểm HB c CMR tứ giác BCIK hình bình hành d CMR ba đường thẳng AC, BD đường trung trực CI đồng quy Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB < BC Kẻ BH vng góc với AC (H thuộc AC) Gọi M trung điểm AH, N trung điểm BH, K trung điểm CD a Cho AB = 8cm, tính MN b CMR tứ giác MNCK hình bình hành c Tính số đo góc BMK d CMR AB2 = AH AC Bài (HSG Quận 1994 – 1995) Cho tam giác ABC Gọi O điểm nằm tam giác ABC Gọi M, N, P, Q trung điểm OB, OC, AC, AB a CMR tứ giác MNPQ hình bình hành b Để tứ giác MNPQ hình chữ nhật điểm O nằm đường đặc biệt tam giác ABC? Giải thích sao? Bài (n Lạc 2003) Cho tam giác ABC vuông A điểm H di chuyển BC Gọi E, F điểm đối xứng H qua AB, AC a) Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BEFC hình thang Có thể tìm vị trí H để tứ giác BEFC hình thang vng, hình bình hành, hình chữ nhật khơng? c) Xác định vị trí H để diện tích tam giác EHF lớn §3 HÌNH THOI, HÌNH VNG Bài (Tân Bình 1997) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, BC Các đường thẳng DN CM cắt I a) Chứng minh tam giác CIN vng b) Tính diện tích tam giác CIN Trang 48  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  c) Chứng minh tam giác AID cân Bài (HSG Quận 1994 – 1995) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M tùy ý Đường thẳng qua M vng góc với AM M cắt CD E cắt AB F CME AM = EF Bài (HSG Tân Bình 1989 – 1990) Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF a CMR tam giác DEF vuông cân b Gọi O giao điểm AC BD Gọi I trung điểm EF CMR ba điểm O, C, I thẳng hàng Bài (HSG Tân Bình 1994 – 1995) Cho tam giác ABC vng A có AC>AB, đường cao AH Trong nửa mp bờ AH có chứa điểm C vẽ hình vng AHKE a CMR B  450 b Gọi P giao điểm EK AC CMR tam giác ABP vuông cân c Gọi Q đỉnh thứ tư hình vng APQB Gọi I giao điểm BP AQ CMR ba điểm H, I, E thẳng hàng d CMR HE//QK Bài (HSG Sơn Dương 2016) Cho điểm M di động đoạn AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AMCD BMEF a) Chứng minh AE vng góc với BC b) Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định điểm M di động đoạn thẳng AB Bài (HSG Bắc Giang 2019) Cho hình vng ABCD, gọi M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E Đường thẳng AH cắt AD F a) Chứng minh BM = ND b) Tứ giác EMFN hình gì? c) Chứng minh chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi cạnh BC Bài (HSG Quận I 1994 – 1995) Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh CD F thuộc cạnh BC Biết EAF = 450 CMR chu vi tam giác CEF nửa chu vi hình vng ABCD Bài (Nguyễn Du 1994 – 1995) Cho hình vng ABCD có cạnh 1, Trên cạnh AB, AC lấy điểm M, N cho chu vi tam giác AMN Tính MCN Bài (HSG Quận 1992 – 1993) Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành hình vng ABEF ADGH a CMR AC = FH AC vng góc với FH b CMR tam giác CEG vuông cân Bài 10 (HSG Tân Bình 1995 – 1996) Cho đoạn AB, gọi O trung điểm AB Vẽ phía AB tia Ax, By vng góc với AB Lấy Ax điểm C By điểm D cho COD = 900 a CMR tứ giác ABDC hình thang vng b CMR CD = AC + BD §4 TỐN TỔNG HỢP Bài (Ngơ Quyền 2015) Cho hình vng ABCD, lấy điểm E cạnh BC Trên tia đối tia CD lấy điểm F cho CF = CE K giao điểm EF BD, O giao điểm AC BD, DE cắt BF H, M trung điểm EF Chứng minh rằng: a) DH vng góc với BF Trang 49  Các chun đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  b) Tứ giác OKMC hình chữ nhật c) A, H, K thẳng hàng Bài Cho điểm I di động đoạn AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AICD BICF Gọi O, O’ tâm hai hình vng Gọi K giao điểm AC BE a) Tứ giác OKO’I hình gì? b) Gọi M trung điểm OO’ Chứng minh ba điểm K, M, I thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm I để tứ giác OKO’I hình vng Bài (Nguyễn Gia Thiều 2015) Cho tam giác ABC (AB < AC), có AH đường cao Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa điểm C, vẽ hình vng AHKE a) Chứng minh C  450 b) Gọi P giao điểm AC KE Chứng minh AB = AP c) Gọi Q đỉnh thứ tư hình bình hành APQB, gọi I giao điểm BP AQ Chứng minh ba điểm H, I, E thẳng hàng d) Chứng minh HE // QK Bài (Nguyễn Du 1997) Cho hình vng ABCD Trên tia đối CB DC lấy điểm M, N cho DN = BM Các đường thẳng song song kẻ từ M với AN từ N với AM cắt F Chứng minh a) Tứ giác ANFM hình vng b) Điểm F nằm tia phân giác MCN ACF = 900 c) Ba điểm B, O, D thẳng hàng tứ giác BOFC hình thang (O trung điểm AF) Bài Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E Qua M dựng đường thẳng song song với NE cắt DC F a) Chứng minh BM = ND b) Chứng minh ba điểm N, D,C thẳng hàng c) Tứ giác EMFN hình gì? d) Chứng minh DF + BM = FM chu vi tam giác MFC không đổi M thay đổi cạnh BC Bài (HSG Mỹ Đức 2012) Cho tam giác ABC Có O giao điểm đường trung trực tam giác; H trực tâm tam giác Gọi P, R, M theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC Q trung điểm đoạn thẳng AH a) Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải có điều kiện để tứ giác OPQR hình thoi b) Chứng minh AQ = OM c) Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE, ACFL Gọi I trung điểm EL Chứng minh AI = BC d) Nếu diện tích tam giác ABC khơng đổi BC cố định I di chuyển đường nào? Trang 50  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  CHƯƠNG II: DIỆN TÍCH ĐA GIÁC Bài Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AM, BN, CE đồng quy H Chứng minh HM HN HE + + số AM BN CE Bài (Kim Thành 2018) Cho tam giác ABC, O điểm thuộc miền tam giác, tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, CA, AB D, E, F Chứng minh OA OB OC + + = AD BE CF Trang 51  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  CHƯƠNG III: ĐỊNH LÝ TA LÉT – TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG §1 ĐỊNH LÝ TALET, TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC Bài Bài Bài (Thạch Hà 2017) Cho hình thang ABCD có AB//CD Gọi O giao điểm hai đường chéo Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD BC theo thứ tự M N Biết AB = 6cm, CD = 10cm Tính độ dài đoạn MN (Quận – 2000) Cho tam giác ABC, qua điểm O tùy ý nằm tam giác, ta kẻ đường AO, BO, CO cắt BC, CA, AB M, N, P Chứng minh hệ thức OM ON OP + + = AM BN CP (Tân Phú 2004) Cho hình thang ABCD có AB đáy nhỏ Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Đường thẳng qua O song song với CD cắt AD BC E F a) Chứng minh S AOD = S BOC OC OD = AC BD c) Chứng minh OE = OF d) Cho S AOB = a ; SCOD = b Tính diện tích hình thang ABCD theo a b b) Chứng minh Bài (Quận – 2014) Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N a) Chứng minh OM = ON 1 + = b) Chứng minh AB CD MN c) Biết S AOB = ( cm ) ; SCOD = 16 ( cm ) Tính diện tích hình thang ABCD Bài Bài Bài Bài (Quận – 2015) Cho tam giác ABC, điểm M nằm tam giác, AM, BM, CM cắt BC, AC, AB I, J, K Đường thẳng qua M song song với BC cắt IK, IJ E, F Chứng minh ME = MF (Ý Yên 2016) Cho tam giác ABC (AB < AC) có trọng tâm G Qua G vẽ đường thẳng d cắt AB AC + cạnh AB, AC theo thứ tự D E Tính giá trị biểu thức AD AE (Giao Thủy 2017) Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M BD cho MB khác MD Đường thẳng qua M song song với AB cắt AD BC E F Đường thẳng qua M song song với AD cắt AB CD H K a) Chứng minh KF//EH b) Chứng minh đường EK, HF, BD đồng quy c) Chứng minh SMKAE = SMHCF (Quận – 2013) Gọi M điểm nằm cạnh BC tam giác ABC cho BM = BC I trung điểm AM IN a) Đường thẳng BI cắt AC N Tính tỉ số IB b) Đường thẳng qua I cắt cạnh AB AC D E Chứng minh AB AC + =6 AD AE Trang 52  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Bài Số Học – Đại số Hình học  (Ninh Phước 2019) Cho tam giác ABC vng A có AD phân giác, biết 14 BD = cm , CD = cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác 17 17 §2 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài (Tân Bình 2002) Cho tam giác ABC vng A có đường phân giác BD cắt AH I a) Chứng minh tam giác ADI cân b) Chứng minh AD.BD = BI.DC c) Từ D kẻ DK vng góc với BC K Tứ giác ADKI hình gì? Vì sao? Bài (Quận – 2011) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi E, F hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh AE AB = AF.AC b) Chứng minh BC = AH + BE + CF AB3 BE = AC CF Bài (Quận – 2011) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), kẻ đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB, AC Đường thẳng qua A vng góc với DE cắt BC O a) Chứng minh O trung điểm BC b) Kẻ đường thẳng vng góc với AO A cắt đường thẳng BC K Chứng minh AB phân giác góc KAH c) Chứng minh AB2 = BH BC AD.BD + AE.EC  OA2 Bài (Mỹ Đức 2018) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH M điểm thuộc cạnh BC Gọi D, E hình chiếu M AB, AC a) Chứng minh DE = AM b) Chứng minh tam giác DHE vuông c) Từ B kẻ BK vng góc với CD cắt CA F Chứng minh BK.BF + CACF = BC d) Tìm vị trí M BC để DE có độ dài nhỏ Bài (Mỹ Đức 2019) Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC, đường cao AH Gọi M, N hình chiếu H cạnh AB AC a) Chứng minh AM AB = AN AC = AH c) Chứng minh b) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh KB.KC = KH c) Gọi O trung điểm BC I giao điểm MN AH Chứng minh OI vng góc với AK AH 40 AB = d) Giả sử Tính tỉ số OA 41 AC Bài (Mỹ Đức 2013) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh EA.EB = ED.EC EAD = ECB b) Cho BMC = 1200 S AED = 36cm Tính S EBC c) Kẻ DH vng góc với BC (H thuộc BC) Gọi P, Q trung điểm đoạn BH, DH Chứng minh CQ vng góc với PD d) Chứng minh M di chuyển cạnh AC tổng BM BD + CM CA có giá trị khơng đổi Bài (Chí Linh 2017) Cho tam giác ABC vng A (AB > AC) Kẻ đường cao AH Trang 53  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  AB BH = AC CH b) Kẻ AD tia phân giác góc BAH (D thuộc BH) Chứng minh DH DC = BD.HC c) Gọi M trung điểm AB, E giao điểm MD AH Chứng minh CE // AD (Mỹ Đức 2017) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh Bài a) Chứng minh EA.EB = ED.EC góc EAD = ECB Bài b) Cho BMC = 1200 diện tích tam giác AED 36cm2 Tính diện tích tam giác EBC c) Chứng minh điểm M di chuyển cạnh AC tổng BM BD + MC.CA có giá trị khơng đổi d) Khi M thuộc cạnh AC M không trùng với C, kẻ DH vng góc với BC H 1 + = Chứng minh 2 DB DC HB.HC (Nông Cống 2019) Cho tam giác MNP vuông M, MN lấy điểm K, vẽ qua N đường thẳng d vng góc với PK R cắt đường thẳng PM I a) Chứng minh IR.IN = IM IP b) Chứng minh NR.NI + PM PI = NP2 c) Tính góc IRM? Vẽ tia phân giác góc IMR cắt IR T Chứng minh MT  MI MR Bài 10 (Nam Trực 2016) Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M cạnh AC Từ C vẽ đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng cắt tia BM D, cắt tia BA E a) Chứng minh EA.EB = ED.EC b) Chứng minh M di chuyển cạnh AC tổng BM BD + CM CA có giá trị khơng đổi c) Kẻ DH vng góc với BC H Gọi P, Q trung điểm đoạn BH, DH Chứng minh CQ vng góc với PD Bài 11 (Quận – 2013) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Kẻ đường cao AH a) Chứng minh AB2 = BH BC b) Trên cạnh BC lấy điểm M cho BM = AB Chứng minh HM BM = BH MC c) Giả sử BH = 8cm, AM = 10 cm Tính diện tích tam giác ABC Bài 12 (Quảng Xương 2019) Cho hai điểm B, C cố định điểm A di động cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE CF cắt H Gọi K giao điểm AH EF a) Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF, tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b) Chứng minh AD.HK = AK.HD c) Tìm giá trị lớn tích AD.HD Bài 13 (Quận – 2010) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Hai đường cao BE CF cắt H Chứng minh a) AB.AF = AC.AE b) Hai tam giác AEF ABC đồng dạng với Trang 54  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  c) BH BE + CH CF = BC Bài 14 (Quận – 2011) Cho tam giác ABC có AB < AC Hai đường cao BD CE cắt H a) So sánh góc BAH CAH b) So sánh đoạn BD CE Bài 15 Bài 16 Bài 17 Bài 18 c) Chứng minh ADE = BAC (Hậu Lộc 2017) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh tam giác ABD tam giác ACE đồng dạng b) Chứng minh BH.HD = CH.HE c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn DE theo a (Quận – 2014) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh tam giác AEF tam giác ABC đồng dạng b) Chứng minh AE.BF.CD = AF.BD.CE = DE.EF.FD (Quận – 2015) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE CF cắt H a) Chứng minh tam giác AEF tam giác ABC đồng dạng b) Gọi I giao điểm AD EF Chứng minh IH AD = AI HD c) Cho AB = 10cm , AC = 17cm , BC = 21cm Tính diện tích tam giác ABC (Quận 10 – 2002) Cho tam giác ABC nhọn, kẻ ba đường cao AD, BE, CF Chứng minh a) AEF = ABC b) EB phân giác góc FED Bài 19 (Lê Q Đơn 2002) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BD CE hai đường cao cắt H Chứng minh 1) HD.HB = HE.HC 2) Tam giác HDE đồng dạng với tam giác HCB 3) BH BD + CH CE = BC Bài 20 (Thạch Hà 2017) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi D, E theo thứ tự chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC b) Chứng minh BE AB + CD AC = BC Bài 21 (Kim Thành 2015) Cho tam giác ABC (AB > AC) 1) Kẻ đường cao BM; CN tam giác ABC Chứng minh a) Tam giác ABM tam giác ACN đồng dạng b) AMN = ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC, F trung điểm AK Chứng minh EF song song với tia phân giác Ax góc BAC Bài 22 (Mỹ Đức 2015) Cho tam giác ABC nhọn Đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh AE.AC = AF.AB = AH AD AEF = ABC HD HE HF + + b) Tính tổng AD BE CF c) Chứng minh DA phân giác góc EDF d) Gọi M, N, P, Q hình chiếu D AB, BE, CF, AC Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng Bài 23 (Nguyễn Gia Thiều 2001) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh Trang 55  Các chun đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  a) Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC b) H giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF Bài 24 (Hoằng Hóa 2014) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H a) Chứng minh BD.DC = DH DA HD HE HF + + = b) Chứng minh rằng: AD BE CF c) Chứng minh H giao điểm đường phân giác tam giác DEF d) Gọi M, N, P, Q trung điểm đoạn thẳng BC, CA, AB, EF, DE Chứng minh ba đường thẳng MQ, NI, PK đồng quy Bài 25 (Mỹ Đức 2012) Cho tam giác ABC Có O giao điểm đường trung trực tam giác; H trực tâm tam giác Gọi P, R, M theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC Q trung điểm đoạn thẳng AH a) Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải có điều kiện để tứ giác OPQR hình thoi b) Chứng minh AQ = OM c) Vẽ phía ngồi tam giác ABC hình vng ABDE, ACFL Gọi I trung điểm EL Chứng minh AI = BC d) Nếu diện tích tam giác ABC khơng đổi BC cố định I di chuyển đường nào? Bài 26 (Kim Thành 2019) Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA ' HB ' HC ' + + a) Tính AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự phân giác góc AIC, AIB Chứng minh AI BI CM = BN.IC AM ( AB + BC + CA) 4 AA '2 + BB '2 + CC '2 Bài 27 (Vĩnh Bảo 2018) Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AA’, BB’, CC’ H trực tâm c) Chứng minh a) Chứng minh BC '.BA + CB '.CA = BC HB.HC HA.HB HC.HA + + =1 b) Chứng minh AB AC BC AC BC AB c) Gọi D trung điểm BC Qua H kẻ đường thẳng vng góc với DH cắt AB, AC M N Chứng minh H trung điểm MN Bài 28 (Tân Bình + Quận - 2004) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, HD HE HF DB EC FA + + = CD cắt H Chứng minh AD BE CF DC EA FB Bài 29 (Củ Chi 2016) Cho tam giác ABC nhọn có ba đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm HA ' HB ' HC ' + + a) Tính tổng AA ' BB ' CC ' b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh AN.BI CM = BN.IC.AM c) Chứng minh đường thẳng DF qua điểm cố định M di động đoạn AB Trang 56  Các chun đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  Bài 30 (Cẩm Giàng 2016) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) Các đường cao AE, BF, CG cắt H Gọi M trung điểm BC, qua H kẻ đường thẳng a vng góc với HM, a cắt AB, AC H, K a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự N D Chứng minh NC = ND HI = HK AH BH CH + +  c) Chứng minh HE HF HG Bài 31 (Thái Thụy 2017) Cho O trung điểm AB Trên nửa mặt phẳng có bờ cạnh AB vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB2 = AC.BD b) Kẻ OM vng góc với CD M Chứng minh AC = CM c) Từ M kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh BC qua trung điểm MH d) Tìm vị trí C tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ Bài 32 (Thanh Trì 2019) Cho điểm O trung điểm đoạn AB Trên nửa mặt phẳng bờ chứa cạnh AB, vẽ tia Ax, By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (C khác A), qua O kẻ đường vng góc với OC cắt tia By D a) Chứng minh AB2 = AC.BD b) Kẻ OM vng góc với CD M Chứng minh CO tia phân giác góc ACD AC = MC c) Tia BM cắt Ax N Chứng minh C trung điểm AN d) Kẻ MH vng góc với AB H Chứng minh đường thẳng AD, BC, MH đồng quy Bài 33 (Quận I – 2003) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đường cao AH Trên tia đối tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E a) Chứng minh AE = AB b) Gọi M trung điểm BE Tính AHM Bài 34 (Quận – 2010) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường cao AH Gọi M điểm đối xứng với A qua H Trên đoạn thẳng HM lấy điểm E bất kỳ, qua điểm D kẻ đường vng góc với tia BE C cắt AH F a) Chứng minh AH = BH HD = HE.HF AF MF = b) Chứng minh AE ME Bài 35 (Sông Lô 2016) Cho tam giác ABC cạnh 2a, M trung điểm BC, góc xMy = 600 quay quanh M cố định cho hai tia Mx, My cắt AB, AC D E a) Chứng minh tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME tích BD.CE khơng phụ thuộc vào vị trí góc xMy b) Chứng minh DM phân giác góc BDE c) Chứng minh BD.ME + CE.MD  a.DE d) Chứng minh chu vi tam giác ADE khơng đổi góc xMy quay quanh M Bài 36 (Kinh Mơn 2018) Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt O Qua O vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC M, N Chứng minh a) OM = ON 1 + = b) AB CD MN c) S AOD SBOC = S AOB SCOD Trang 57  Các chun đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  Bài 37 (Mỹ Đức 2014) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC Tia Dx cắt AC, BC, AB I, M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh a) IM IN = ID2 b) AB AE + AD.AF = AC KM DM = c) KN DN AI CM BN =1 d) IC MB NA Bài 38 (Tân Bình 2001) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC 1) Tứ giác BEDF hình gì? Chứng minh điều 2) Gọi CH CK đường cao tam giác ACB ACD CH CK = a) Chứng minh CB CD b) Chứng minh hai tam giác CHK ABC đồng dạng c) Chứng minh AB AH + AD AK = AC Bài 39 (Kim Thành 2018) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh: a) Tứ giác BEDF hình bình hành b) CH CD = CB.CK c) AB AH + AD AK = AC Bài 40 (Ninh Phước 2019) Cho hình bình hành ABCD có CD = AD , từ trung điểm I CD vẽ HI vng góc với AB (H thuộc AB) Gọi E giao điểm AI DH Chứng minh DE DA = a) HE HA 1 = 2+ b) IH IA IB Bài 41 (Quận – 1999) Cho hình thoi ABCD có A = 600 Gọi M điểm thuộc cạnh AD Đường thẳng CM cắt đường thẳng AB N a) Chứng minh AB2 = DM BN b) BM cắt DN P Tính BPD Bài 42 (Chí Linh 2018) Cho hình thoi ABCD cạnh a có ABC = 600 Hai đường chéo AC BD cắt O, E điểm thuộc tia BC cho BE = BC , AE cắt CD F Trên hai đoạn AB AD lấy hai điểm G H cho CG song song với FH a) Tính diện tích hình thoi ABCD theo a b) Chứng minh 4BG.DH = 3a c) Tính số đo góc GOH Bài 43 (Việt n 2013+ Quảng Trạch 2019) Cho hình vng ABCD, cạnh AB lấy điểm E cạnh AD lấy điểm F cho AE = AF Vẽ AH vng góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC BC M, N a) chứng minh tứ giác AEMD hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh AC = 2EF Trang 58  Các chun đề Ơn thi Học sinh giỏi Tốn Số Học – Đại số Hình học  1 = + 2 AD AM AN Bài 44 (Ý n 2016) Cho hình vng ABCD có cạnh a, hai đường chéo cắt O Lấy c) Chứng minh điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC cho IOM = 900 (I M khơng trùng với đỉnh hình vuông) Gọi N giao điểm AM CD, K giao điểm OM BN a) Chứng minh tam giác BIO tam giác CMO tính diện tích tứ giác BIOM theo a b) Chứng minh BKM = BCO 1 = + c) Chứng minh 2 CD AM AN Bài 45 (Tân Bình 2000) Cho hình vng ABCD cạnh a E điểm BC (E khác B C) Hai đường thẳng AE DC cắt F Tia Ax vng góc với AE A cắt đường thẳng CD I a) Chứng minh AEI = 450 1 = + b) Chứng minh 2 AB AE AF 2 a Bài 46 (Hậu Lộc 2019) Cho hình vng ABCD, tia đối tia CD lấy điểm M (CM < CD), vẽ hình vng CMNP (P nằm B C), DP cắt BM H, MP cắt BD K a) Chứng minh DH vng góc với BM PC PH KP + + b) Tính Q = BC DH MK c) Chứng minh diện tích tam giác AEI khơng nhỏ c) Chứng minh MP.MK + DK BD = DM Bài 47 (Nga Sơn 2017) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O, M điểm thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh tam giác OEM vuông cân b) Chứng minh ME // BN c) Từ C kẻ CH vng góc với BN H Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Bài 48 (Bắc Giang 2018) Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Trên cạnh AB lấy điểm M cho (  MB  MA ) cạnh BC lấy điểm N cho MON = 900 Gọi E giao điểm AN với DC, gọi K giao điểm ON với BE a) Chứng minh tam giác MON vuông cân b) Chứng minh MN//BE c) Chứng minh CK vng góc với BE d) Qua K vẽ đường thẳng song song với OM cắt BC H Chứng minh KC KN CN + + = KB KH BH Bài 49 (Mỹ Đức 2016) Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B, C) Trên cạnh CD lấy điểm N cho MAN = 450 Đường chéo BD cắt AM AN theo thứ tự E, F Chứng minh: a) Tam giác ABE đồng dạng với tam giác CAN b) AEN = AFM = 900 c) Diện tích tam giác AEF diện tích tứ giác MNFE Trang 59  Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán Số Học – Đại số Hình học  d) Chu vi tam giác CMN không đổi M di động cạnh BC Bài 50 (Thanh Oai 2016) Cho tam giác ABC Gọi P giao điểm ba đường phân giác tam giác Đường thẳng qua P vng góc với CP, cắt CA CB theo thứ tự M N a) Chứng minh tam giác AMP tam giác APB đồng dạng AM  AP  b) Chứng minh =  BN  BP  c) Chứng minh BC AP2 + AC.BP2 + AB.CP2 = AB AC.BC Bài 51 (Vĩnh Lộc 2017) Cho tam giác ABC có phân giác AD Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Cx cho BCx = BAC , Cx cắt AD E, I trung điểm DE a) Chứng minh tam giác ABD tam giác CED đồng dạng b) Chứng minh AE  AB.AC c) Chứng minh AB AC = AI − DE d) Chứng minh trung trực BC qua E Bài 52 (Tam Dương 2017) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Qua D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB, AC E, F a) Chứng minh DE + DF = AM b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF N Chứng minh N trung điểm EF  16 S AMC S FNA c) Chứng minh S FDC Trang 60 ... phương trình P(x) = Bài 26 Chứng minh n4 − 2n3 − n2 + 2n chia hết cho 24 v? ??i số nguy? ?n n Bài 27 (T? ?n Bình 19 98) Chứng minh A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 v? ??i số nguy? ?n Bài 28 Cho... BOFC hình thang (O trung điểm AF) Bài Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC Trong n? ??a mặt phẳng bờ AB chứa C dựng hình vng AMHN Qua M dựng đường thẳng d song song v? ??i AB, d cắt AH E Qua M dựng đường... v? ?o chữ số hàng ngh? ?n, thêm đ? ?n v? ?? v? ?o chữ số hàng trăm, thêm đ? ?n v? ?? v? ?o chữ số hàng chục, thêm đ? ?n v? ?? v? ?o chữ số hàng đ? ?n v? ?? ta số phương Bài 21 (Mỹ Đức 2019) Cho n + 2n + (v? ??i n? ?? ) số phương