IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC
§2 TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1. (Tân Bình 2002). Cho tam giác ABC vng tại A có đường phân giác BD cắt AH tại I. a) Chứng minh tam giác ADI cân
b) Chứng minh AD.BD = BI.DC
c) Từ D kẻ DK vng góc với BC tại K. Tứ giác ADKI là hình gì? Vì sao?
Bài 2. (Quận 9 – 2011). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.
a) Chứng minh AE AB. =AF AC. . b) Chứng minh BC2=3AH2+BE2+CF2. c) Chứng minh 3 3 AB BE AC =CF .
Bài 3. (Quận 9 – 2011). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ đường cao AH. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Đường thẳng qua A và vng góc với DE cắt BC tại O.
a) Chứng minh O là trung điểm của BC.
b) Kẻ đường thẳng vng góc với AO tại A cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh AB là phân giác góc KAH.
c) Chứng minh AB2 =BH BC. và AD BD. +AE EC. OA2.
Bài 4. (Mỹ Đức 2018). Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. M là một điểm bất kỳ thuộc cạnh BC. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC.
a) Chứng minh rằng DE = AM
b) Chứng minh rằng tam giác DHE vuông
c) Từ B kẻ BK vng góc với CD cắt CA tại F. Chứng minh rằng BK BF CACF. + . =BC2. d) Tìm vị trí của M trên BC để DE có độ dài nhỏ nhất.
Bài 5. (Mỹ Đức 2019). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC, đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H trên các cạnh AB và AC.
a) Chứng minh rằng AM AB. = AN AC. =AH2.
b) Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh rằng KB KC. =KH2.
c) Gọi O là trung điểm của BC và I là giao điểm của MN và AH. Chứng minh rằng OI vng góc với AK. d) Giả sử 40 41 AH OA = . Tính tỉ số AB AC .
Bài 6. (Mỹ Đức 2013). Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh EA EB. =ED EC. và EAD=ECB. b) Cho BMC=1200 và SAED =36cm2. Tính SEBC.
c) Kẻ DH vng góc với BC (H thuộc BC). Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH, DH. Chứng minh CQ vng góc với PD.
d) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM BD CM CA. + . có giá trị khơng đổi.
a) Chứng minh rằng 2 2
AB BH
AC =CH .
b) Kẻ AD là tia phân giác của góc BAH (D thuộc BH). Chứng minh rằng
. .
DH DC=BD HC.
c) Gọi M là trung điểm của AB, E là giao điểm của MD và AH. Chứng minh rằng CE // AD.
Bài 8. (Mỹ Đức 2017). Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh EA EB. =ED EC. và góc EAD=ECB.
b) Cho BMC=1200 và diện tích tam giác AED bằng 36cm2. Tính diện tích tam giác
EBC.
c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM BD MC CA. + . có giá trị khơng đổi.
d) Khi M thuộc cạnh AC và M không trùng với C, kẻ DH vng góc với BC tại H. Chứng minh rằng 12 12 1
.
DB +DC = HB HC.
Bài 9. (Nông Cống 2019). Cho tam giác MNP vuông tại M, trên MN lấy điểm K, vẽ qua N đường thẳng d vng góc với PK tại R và cắt đường thẳng PM tại I.
a) Chứng minh IR IN. =IM IP.
b) Chứng minh NR NI. +PM PI. =NP2.
c) Tính góc IRM? Vẽ tia phân giác của góc IMR cắt IR tại T. Chứng minh 2
.
MT MI MR.
Bài 10. (Nam Trực 2016). Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vng góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E.
a) Chứng minh EA.EB = ED.EC
b) Chứng minh khi M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM BD CM CA. + . có giá trị khơng đổi.
c) Kẻ DH vng góc với BC tại H. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn BH, DH. Chứng minh CQ vng góc với PD.
Bài 11. (Quận 9 – 2013). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ đường cao AH. a) Chứng minh AB2 =BH BC. .
b) Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = AB. Chứng minh rằng HM BM. =BH MC. . c) Giả sử BH =8cm AM, =2 10cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 12. (Quảng Xương 2019). Cho hai điểm B, C cố định và điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Gọi K là giao điểm của AH và EF.
a) Chứng minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACF, tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.
b) Chứng minh AD HK. =AK HD. . c) Tìm giá trị lớn nhất của tích AD HD. .
Bài 13. (Quận 6 – 2010). Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh
a) AB AF. =AC AE. .
Các chuyên đề Ôn thi Học sinh giỏi Toán 8 Số Học – Đại số và Hình học
c) 2
. .
BH BE CH CF+ =BC .
Bài 14. (Quận 6 – 2011). Cho tam giác ABC có AB < AC. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.
a) So sánh góc BAH và CAH. b) So sánh đoạn BD và CE. c) Chứng minh ADE=BAC.
Bài 15. (Hậu Lộc 2017). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tam giác ABD và tam giác ACE đồng dạng b) Chứng minh BH.HD = CH.HE
c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn DE theo a.
Bài 16. (Quận 1 – 2014). Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng
b) Chứng minh AE BF CD. . =AF BD CE. . =DE EF FD. . .
Bài 17. (Quận 9 – 2015). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tam giác AEF và tam giác ABC đồng dạng
b) Gọi I là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng IH AD. =AI HD. . c) Cho AB=10cm, AC=17cm, BC=21cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 18. (Quận 10 – 2002). Cho tam giác ABC nhọn, kẻ ba đường cao AD, BE, CF. Chứng minh a) AEF =ABC.
b) EB là phân giác góc FED
Bài 19. (Lê Quý Đôn 2002). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh rằng