Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 12 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
12
Dung lượng
449,82 KB
Nội dung
Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vòng – Mỹ Đức CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN CĂN THỨC x −7 x +3 Bài (Mỹ Đức 2020) Cho biểu thức P = , với + − x − 2 x + x − x − : 10 x + x x 0; x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 13 + 12 − 28 + 16 + c) Cho biểu thức B = x −2 Tìm x để biểu thức M = P.B có giá trị nguyên x+2 x x+2 x x −1 + + Bài (Mỹ Đức 2019) Cho P = , với x 0; x : x x −1 x + x + 1− x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P = c) So sánh P2 2P 2x + x −1 2x x + x − x − + Bài (Mỹ Đức 2018) Cho P = , với : x − x 1+ x x 1− x x 0; x ; x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = c) So sánh P với + − 13 + 48 6+ P x +1 x+ x 2− x : + + , x − x +1 x x − x − x a) Tìm điều kiện xác định P rút gọn P Bài (Mỹ Đức 2017) Cho biểu thức P = 2 +3 + 5 −3 c) Tìm giá trị nhỏ P x b) Tính giá trị P với x = x −3 x 9− x x −3 x −2 − − Bài (Mỹ Đức 2016 Cho P = 1 − : x −9 x + x −6 2− x x + a) Rút gọn P b) Tính giá trị P, biết ( x = 2+ )( ) −1 2− c) Với x 4; x Tìm giá trị lớn P ( x + 1) Bài (Mỹ Đức 2015) Cho biểu thức P = ( ) x −3 x x −3 x +3 − + x −2 x −3 x +1 3− x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P với x = 20 + 14 + 20 − 14 c) Tìm giá trị nhỏ P Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vòng – Mỹ Đức x x 2− x 2 + − , với x 0; x Bài (Mỹ Đức 2014) Cho biểu thức M = : x −1 x x + x x x −1 a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x để M −2 −M đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ c) Tìm x để Bài (Mỹ Đức 2013) Cho biểu thức A = x −9 x + x +1 − − x −5 x +6 x − 3− x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để A c) Tìm giá trị nguyên x để A số nguyên Bài ( Mỹ Đức 2012) Cho biểu thức: P= 3x + x+ 9x − − x −2 x −2 + x −1 −1 x +2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = c) Tìm giá trị x thuộc N để P thuộc N Bài 10 (Mỹ Đức 2011) x 8x x −1 + − 1) Cho P = : x 2+ x 4− x x−2 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = −1 2) Rút gọn biểu thức A = + − 13 + 48 6+ Bài 11 (Mỹ Đức 2010) 1) Cho biểu thức P = 15 x − 11 x − 2 x + + − x + x − 1− x x +3 a) Rút gọn P b) Tìm m để có x thỏa mãn P 2) Tính B = Ta có ( ) x +3 = m 1 1 + + + + 1+ 5+ 9 + 13 2005 + 2009 Hướng dẫn giải n + n+4 = ( n+4 − n n+4 + n )( n+4 − n ) = n+4 − n n+4 − n = , với ( n + 4) − n n * (1) Áp dụng (1) với n = 1;5;9; ;2005 ta 5− 9− 2009 − 2005 + + + = 4 Bài 12 (Mỹ Đức 2009) B= 2009 − Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vịng – Mỹ Đức x2 − x x + x ( x − 1) − + x + x +1 x x −1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P 1) Cho P = 2) Tính giá trị biểu thức M = 3x2009 + x2007 + 2005 , với x = + + 48 − 10 + − Bài 13 (Mỹ Đức 2008) x x + 26 x − 19 x x −3 − + x + x −3 x −1 x +3 a) Tìm điều kiện xác định A rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ A 1) Cho biểu thức A = 2) Tính giá trị biểu thức P = x2007 + x2008 + 3x2009 , với x = 3+ 9+ 125 125 + 3− 9+ 27 27 Bài 14 (Mỹ Đức 2007) x +1 x − x − x + − + 1) Cho biểu thức A = : , với x 0; x x −1 x −1 x +1 x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A số nguyên 1 + + + 2) Tính giá trị biểu thức B = 1+ 2+ 2007 + 2008 1 Bài 15 (Mỹ Đức 2014) Cho a 0, b + = Chứng minh a + b = a − + b − a b 1 Bài 16 (HSG Mỹ Đức -) Cho hai số dương a, b số c thỏa mãn điều kiện + + = a b c Chứng minh a+b = a+c + b+c Bài 17 (Mỹ Đức 2013 Vịng 2) Tính giá trị biểu thức A = ( x + 12 x − 31) 2010 x = 16 − + 16 + Bài 18 (Mỹ Đức 2020 Vòng 2) Cho ba số a, b, c thỏa mãn abc = Tính giá trị biểu thức H = a + b + c = ; a + b + c = 23 ; 1 + + ab + c − bc + a − ca + b − Bài 19 (Mỹ Đức 2019 Vòng 2) a a −b b a b − − , với a, b a b a −b a+ b b− a a) Rút gọn biểu thức M 1) Cho biểu thức M = b) Tính giá trị biểu thức M, biết (1 − a )(1 − b ) + ab = 2) Tìm số nguyên a, b thỏa mãn − + 18 = a +b a −b Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vòng – Mỹ Đức Bài 20 (Mỹ Đức 2009 Vòng 2) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị x, với điều kiện x : A = x + − + − x − + + x 1 + + + Bài 21 (Mỹ Đức 2009 Vịng 2) Cho N = + khơng phải số nguyên 169 Bài 22 (Mỹ Đức 2011 Vòng 2) Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c + abc = Chứng minh biểu thức B = a (1 − b )(1 − c ) + b (1 − c )(1 − a ) + c (1 − a )(1 − b ) − abc + 2011 số CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH I PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Bài (Mỹ Đức 2015) Giải phương trình x4 −11x3 − 3x2 + 11x − = Bài (Hà Nội 2010) Giải phương trình x4 + 3x3 − 2x2 − 6x + = Bài (HN Chuyên Tin 2015) Giải phương trình ( x − x + ) ( x − 3) = Bài (Mỹ Đức 2016) Giải phương trình 3x3 = 12 x2 − x + II PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ A2 = A PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC Bài (Mỹ Đức 2019) Giải phương trình Bài (Mỹ Đức 2013) Giải phương trình x + 20 x + 25 + x + x + = (1) x − x −1 + x + x −1 = Vậy nghiệm phương trình cho x = Bài (Mỹ Đức 2015) Giải phương trình x + + x − + x + − x − = (1) PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ Bài (Mỹ Đức 2020) Giải phương trình PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ x −1 = x + − x + (1) Bài (QGHN 2009) Giải phương trình x − x + = x − x + Bài (HN 2016 Chuyên Tin) Giải phương trình ( x − 1) − = x − x (1) x − x + x − 10 x + = Bài (HN 2017 Chuyên Tin) Giải phương trình Bài (HN 2017 Chun Tốn) Giải phương trình x − x + x − 12 x + 15 = (1) Bài (QGHN 1998) Giải phương trình − x2 + x2 + = Bài (QGHN 2002) Giải phương trình + x + − x = Bài (Mỹ Đức 2017) Giải phương trình x + x + 11x + = Bài (QGHN 2005 vịng 2) Giải phương trình ( ) x + + x + + 16 (1) − x + + x + − x2 = Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vịng – Mỹ Đức Bài (QGHN 1994 vòng 1) Giải phương trình x + x + = x + x Bài 10 (HSG Hà Nội 2010) Giải phương trình 2( x + x + 3) = x + x + x + Bài 11 (HSG HN 2018) Giải pt x2 + x + = 3x x + Bài 12 (Chuyên Tin HN 2018) Giải phương trình x + x + = ( x + 3) x + Bài 13 (HN 2016 Chuyên Tốn) Giải phương trình x − x + x − ( x − x ) = Bài 14 (HSG HN 2019) Giải phương trình − x = − x −1 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH x + + 2012 x + = 2012 + Bài (KHTN 2012 Vịng 1) Giải phương trình ( x + )( x + ) (1) Bài (KHTN 2009 Vịng 2) Giải phương trình 14 x + 35 + x + = 84 + x + 36 x + 35 (1) x − 3x + + x + = x − + x + x − Bài (QGHN 2002 Vịng 2) Giải phương trình x + + x − x + = + x3 + Bài (KHTN 2010 Vòng 1) Giải phương trình x − + x3 + x + x + = + x − Bài (QGHN 2000) Giải phương trình Bài (HN 2010) Giải phương trình x + x + = ( x + 4) x + Bài (KHTN 2008) Giải phương trình ( x + ) x + = x + x + x + + x − x + = + x3 + Bài (QGHN 2010) Giải phương trình PHƯƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP 7x + − − x = Bài (KHTN 2016 Vịng 1) Giải phương trình 8x − (1) Bài (KHTN 2018) Giải phương trình x − x + x + = x + Bài (KHTN 2012 Vịng 2) Giải phương trình Bài (QGHN 2003) Giải phương trình ( ( x+4 −2 )( )( ) − x + = 2x ) x + − x + + x + x + 10 = x + 12 + = 3x + x + Bài (Hà Nội 2012) Giải phương trình Bài (Mỹ Đức 2008) Giải phương trình ( )( ) x + − x + + x + x + 10 = (1) PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Bài (QGHN 2004 Vịng 2) Giải phương trình x + + x −1 = Bài (KHTN 2010 Vòng 2) Giải phương trình x + + 3x + = Bài (QGHN 1996) Giải phương trình ( ) x −1 +1 + x −1 = − x Bài (QGHN 2005) Giải phương trình x + x + + − x = 11 Bài (Lê Hồng Phong 1999) Giải phương trình x2 + x + = 2 x + Bài (QGHN 2001) Giải phương trình x + = x2 − 5x + 14 (1) Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vòng – Mỹ Đức Bài (HN Chuyên Tốn 2015) Giải phương trình x − x − − x + = (1) Bài (Hà Nội chuyên tin 2014) Giải pt 5x4 + x + − 2 x + = (1) Bài (Hà Nội chuyên toán 2014) Giải phương trình x(5 x + 2) − 2( x + − 1) = Bài 10 (Hà Nội chun 1994 – vịng 1) Giải phương trình x − + y + 1995 + z − 1996 = ( x + y + z ) (1) Bài 11 (Lê Hồng Phong 1993 – 1994 ban A, B) Tìm x, y, z: x+ y + z + = x−2 + y −3 +6 z −5 x+7 + = x2 + x −1 x +1 Bài 12 (QGHN 1999) Giải phương trình Bài 13 (Chuyên Sư Phạm 2014) Tìm tất số thực x, y, z thỏa mãn x − y2 + y − z + z − x2 = x − 94 + 96 − x = x2 − 190 x + 9027 (1) Bài 14 (Hà Nội – 1995 – vịng 2) Giải phương trình Bài 15 (Mỹ Đức 2011) Giải phương trình x − 2010 − + x − 2010 Bài 16 (Hà Nội – Chuyên 1997 – vịng 2) Giải phương trình Bài 17 (HSG Hà Nội 2017) Giải phương trình 2x − y − 2011 − z − 2012 − + = x − 2011 x − 2012 x − x + 31 + x = x − + − 2x = 1+ x x 2x V TOÁN TỔNG HỢP Bài (Hà Nội 1993) Giải phương trình 2+ x + = 1+ x 1+ x 2x Bài (Hà Nội Chuyên 2000 Vòng 2) Giải phương trình x + x + 1999 = 1999 Bài (QGHN 2003) Giải phương trình ( x + − x + 2)(1 + x + x + 10) = Bài (KHTN 2011 Vịng 2) Giải phương trình ( x+3 − x )( ) 1− x +1 = Bài (QGHN 2005) Giải phương trình x + x + + − x = 11 Bài (QGHN 2008) Giải phương trình (2 x + 7) x + = x + x + Bài (Hà Nội 2014) Giải phương trình x2 − x − 2 x −1 − = Bài (Hà Nội 2011) Giải phương trình 2( x + x + 3) = x + 3x + 3x + Bài (QGHN 2001) Giải phương trình x ( 3x + 1) − x ( x − 1) = x Bài (Hà Nội 2002) Giải phương trình x + = 2( x + 1) + 2( x + 1) + 4( x + 1) Bài 10.(Hà Nội 2006) Giải phương trình x − = 3 x + Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vịng – Mỹ Đức Bài 11 (Hà Nội 2015) Giải phương trình x − x = 3x2 − x + Bài 12 (Hà Nội 2004) Giải phương trình x − 2( x + 1) x − − 3x + x − = Bài 13 (KHTN 2016 Vòng 2) Giải phương trình Bài 14 (QGHN 2000) Giải phương trình Bài 15.(Hà Nội 2007) Giải phương trình 64 x3 + x 5x + x + = 5x + x + + x − = x + 2x − x x x x2 − 1 x− = x , với x 4x 4x III PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Bài (Mỹ Đức 2009) Giải phương trình x + + x − = x + + x + x − mx + y = −1 Bài (Mỹ Đức 2007) Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) x + y = −m thỏa mãn y = x CHUYÊN ĐỀ 3: LÝ THUYẾT CHIA HẾT - PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Bài (Mỹ Đức 2012) Cho A = + + 22 + 23+ …+22008 + 22009 Chứng minh A chia hết cho 31 Bài (Mỹ Đức 2010) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 25 = −3xy + y Bài (Mỹ Đức 2011) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình 5x + 25 = −3xy + y Bài (Mỹ Đức 2020) Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn xy − x − y + 11y = (1) Bài (Mỹ Đức 2017) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn y + xy − 3x − = (1) Bài (Mỹ Đức 2007) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 − x2 y + 3x − y − = (1) Bài (Mỹ Đức 2008 + 2018) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x2 + y + xy + y − = (1) Bài (Mỹ Đức 2014) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 − xy + y = 169 (1) Bài (Mỹ Đức 2009) Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn y x + x + y + = x2 + y + xy (1) Bài 10 (Mỹ Đức 2019) Tìm tất cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn ( x − 2019 ) = y − y + 11y − y (1) Bài 11 (Mỹ Đức 2016) Tìm cặp số nguyên ( x; y ) thỏa mãn x + y + xy = x2 + y (1) Bài 12 (Mỹ Đức 2013) Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương: x + x3 + x + x + Bài 13 (Mỹ Đức 2018) Tìm số tự nhiên x, y biết ( x + 1)( x + )( x + 3)( x + ) − y = 11879 Bài 14 (Mỹ Đức 2017) Tìm số tự nhiên n để ( n + 18 ) ( n − 41) hai số phương Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vịng – Mỹ Đức Bài 15 (Mỹ Đức 2019) Tìm tất số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2019 số y + z 2019 hữu tỉ, đồng thời x2 + y + z số nguyên tố Bài 16 (Mỹ Đức 2020) Tìm tất số nguyên dương a, b cho a + b2 chia hết cho a 2b − CHUYÊN ĐỀ 4: BẤT ĐẲNG THỨC – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT I BẤT ĐẲNG THỨC b c a Bài (Mỹ Đức 2013) Cho a, b, c Chứng minh a + b + c + ac ba bc Bài (Mỹ Đức 2007) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 1 + + + + a +b−c b+c −a c + a −b a b c Bài (Mỹ Đức 2015) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x + y = Chứng minh 1 25 N =x+ + y+ x y Bài (Mỹ Đức 2010) Chứng minh 1 + (1), với a 1; b 2 + a + b + ab Bài (Mỹ Đức 2011) Chứng minh với a, b, c Bài (Mỹ Đức 2014) Cho a, b, c Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c + + b+c c+a a+c a3 b3 c3 a+b+c + + 2 2 2 a +b b +c c +a II GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Bài (Mỹ Đức 2011) Cho a + b + c = Tìm giá trị lớn C = ab + 2bc + 3ca Bài (Mỹ Đức 2012) 1) Chứng minh với x > ; y > 1 + x y x+y 2) Cho x>0 ; y > ; z > x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức: D= x −1 y −1 z − + + x y z Bài (Mỹ Đức 2008) Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn x y z + + x +1 y +1 z +1 Bài (Mỹ Đức 2019) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ B= x2 y2 z2 + + x + y + 3z y + z + 3x z + x + y Bài (Mỹ Đức 2020) Cho x, y số thực lớn Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x2 y2 + y −1 x −1 Bài (Mỹ Đức 2009) Cho số dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ B= A= 1 + x +y xy Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chuyên đề Ơn HSG Tốn Vịng – Mỹ Đức Bài (Mỹ Đức 2016) Cho x, y thỏa mãn x + y Tìm giá trị nhỏ 13 xy + + + x +y xy Bài (Mỹ Đức 2018) Cho hai số dương x, y thỏa mãn xy + y Tìm giá trị lớn P= xy x + y2 Bài (Mỹ Đức 2017) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y Tìm giá trị nhỏ P= P = x + y + 125 + + 1977 2x y CHUYÊN ĐỀ 5: HÌNH HỌC TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Bài (Mỹ Đức 2020) Cho hình vng ABCD có cạnh a, N điểm thuộc cạnh AB Gọi E giao điểm CN DA Vẽ tia Cx vng góc với CE cắt AB F Lấy M trung điểm EF a) Chứng minh CM vng góc với EF + = b) Chứng minh NB.DE = a2 2 CN FE a c) Chứng minh ba điểm B, D, M thẳng hàng d) Tìm vị trí điểm N cạnh AB cho diện tích tứ giác AEFC gấp lần diện tích hình vng ABCD Bài (Mỹ Đức 2019) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, A = 600 Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi K trung điểm AH AE AB = a) Chứng minh EF = BC AF AC b) Chứng minh EKF = 1200 tính AH, biết BC = 12cm AB + AC + BC c) Chứng minh AD.DH + BE.EH + CF FH Bài (Mỹ Đức 2018) Cho hình chữ nhật ABCD, gọi H chân đường vng góc kẻ từ B xuống đường chéo AC hình chữ nhật; gọi M, K theo thứ tự trung điểm AH CD a) Gọi I O theo thứ tự trung điểm AB IC Chứng minh MO = IC b) Tính số đo góc BMK c) Hình chữ nhật ABCD có thêm điều kiện để tam giác MBK tam giác cân d) Gọi P, Q hai điểm thuộc BM BC Xác định vị trí P, Q đoạn thẳng BM BC để chu vi tam giác PHQ có giá trị nhỏ Bài (Mỹ Đức 2016) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O Gọi M điểm bất thuộc cạnh BC (M khác B, C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh tam giác OEM vuông cân b) Chứng minh ME || BN c) Từ C, kẻ CH vng góc với BN H Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng Trang Nguyễn Văn Hiệp Các Chuyên đề Ôn HSG Tốn Vịng – Mỹ Đức Bài (Mỹ Đức 2015) Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh đáy a BAD = 600 Đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M N a) Chứng minh tích BM DN không đổi b) Chứng minh tam giác BDM đồng dạng với tam giác DNB c) Gọi K giao điểm BN DM Tính BKD Bài (Mỹ Đức 2014) Cho hình vng ABCD điểm E cạnh BC Tia Ax vuông góc với AE cắt CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G a) Chứng minh AE = AF b) Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi c) Chứng minh AF = KF CF d) Giả sử E di động cạnh BC Chứng minh chu vi tam giác ECK khơng đổi Bài (Mỹ Đức 2013) Cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thẳng vng góc với đường chéo AC H Gọi E, F, G theo thứ tự trung điểm AH, BH, CD a) Chứng minh tứ giác EFCG hình bình hành b) Chứng minh BEG = 900 c) Chứng minh AEB ∽ BFC d) Từ F kẻ đường thẳng cắt CE, EG, CD M, N, P Chứng minh 1 = + FM FN FP ĐƯỜNG TRÒN Bài (Mỹ Đức 2017) Cho đường trịn (O;R), hai đường kính AB CD vng góc với nhau, E điểm chuyển động cung AD, EC cắt AB M a) Tính EA2 + EB2 + EC + ED2 CE.CE theo R b) Chứng minh EC tia phân giác góc AEB 1 + = BE AE EM d) Trên BE lấy điểm F cho BF = AE Khi E chuyển động cung AD F di chuyển đường nào? c) Chứng minh Bài ( Mỹ Đức 2012) Cho đường tròn tâm ( O;R) dây AB = 3R M điểm nằm dây AB; Vẽ đường tròn ( P; R1) tiếp xúc với đường tròn tâm O A qua điểm M Vẽ đường tròn ( Q , R2) qua điểm M tiếp xúc với đường tròn tâm O B Gọi N giao điểm thứ đường tròn tâm P tâm Q a) Chứng minh tứ giác PMQO hình bình hành,từ suy hệ thức liên hệ R, R1 , R2 b) Chứng minh < MNO = 900 c) Xác định vị trí M để tứ giác PMQO có diện tích lớn Bài (Mỹ Đức 2011) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên tia Ax lấy điểm K cho AK R Qua K kẻ tiếp tuyến KM với (O) Đường thẳng d vng góc với AB O cắt tia BM E a) Chứng minh bốn điểm K, A, O, M thuộc đường tròn b) OK cắt AM I Chứng minh tích OI.OK không đổi K di chuyển Ax c) Chứng minh tứ giác KAOE hình chữ nhật d) Gọi H trực tâm tam giác KMA Chứng minh K chuyển động Ax H ln thuộc đường tròn cố định Trang 10 Nguyễn Văn Hiệp Các Chun đề Ơn HSG Tốn Vịng – Mỹ Đức Bài (Mỹ Đức 2009) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm O đường kính AH, đường trịn cắt cắt AB, AC theo thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật điểm D, O, E thẳng hàng b) Các tiếp tuyến đường tròn (O) cắt kẻ từ D E cắt cạnh BC tương ứng M, N Chứng minh M, N trung điểm đoạn HB, HC c) Cho AB = 8cm, AC = 19cm Tính diện tích tứ giác MDEN Bài (Mỹ Đức 2008) Cho đường tròn (O;R) điểm A nằm (O), kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với (O) (M, N tiếp điểm), đường thẳng chứa đường kính đường trịn song song với MN cắt AM, AN B, C a) Chứng minh MC = NB b) Chứng minh MA.MB = R2 c) Lấy K điểm cung nhỏ MN Tiếp tuyến K đường tròn (O) cắt AM, BC AN theo thứ tự P Q Chứng minh BC.CQ = Bài (Mỹ Đức 2010) Cho đường tròn (O;R), gọi BC đường kính cố định, A điểm di động đường tròn Lấy AB làm cạnh để vẽ tam giác ABM có đỉnh M nằm ngồi đường trịn Từ C vẽ CH vng góc với MB H, gọi K trung điểm BH a) Chứng minh OK = OM b) Gọi D, E, F, D trung điểm OC, CM, MH, OH Chứng minh tứ giác DEFG hình thoi c) Đặt DG = x , tính diện tích hình thoi DEFG theo x Xác định vị trí điểm A đường trịn để diện tích hình thoi DEFG lớn Bài (Mỹ Đức 2007) Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d cố định khơng có điểm chung với (O), M điểm di động d, qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (A, B tiếp điểm), OM cắt AB I a) Chứng minh tích OI.OM khơng đổi b) Tìm vị trí điểm M d để tam giác MAB c) Chứng minh M di động d đường thẳng AB qua điểm cố định MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÁC Bài (Mỹ Đức 2014 + Mỹ Đức 2009) Cho tam giác ABC có A = 900 , cạnh AB = c, AC = b, đường phân giác AD = d Chứng minh 1 + = b c d Bài (Mỹ Đức 2007) Cho tứ giác ABCD có độ dài AB = 1, BC = 2; CD = , đường chéo AC = BD AC, BD vng góc với Tính số đo góc tứ giác ABCD Bài (Mỹ Đức 2011) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên lần số đo diện tích lần số đo chu vi Bài (Mỹ Đức 2008) Cho tam giác có số đo ba đường cao số nguyên, đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác có bán kính Chứng minh tam giác tam giác Bài (Mỹ Đức 2015) Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có đỉnh thuộc cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác giá trị nhỏ Trang 11 Nguyễn Văn Hiệp Các Chuyên đề Ơn HSG Tốn Vịng – Mỹ Đức Bài (Mỹ Đức 2016) Cho tam giác ABC nhọn, O điểm nằm tam giác Các tia AO, AM BN CP + + 9 BO, CO cắt BC, AC, AB M, N, P Chứng minh OM ON OP Trang 12 ... Đức 2 011 ) Giải phương trình x − 2 010 − + x − 2 010 Bài 16 (Hà Nội – Chuyên 19 97 – vịng 2) Giải phương trình Bài 17 (HSG Hà Nội 2 017 ) Giải phương trình 2x − y − 2 011 − z − 2 012 − + = x − 2 011 x... trình x − + y + 19 95 + z − 19 96 = ( x + y + z ) (1) Bài 11 (Lê Hồng Phong 19 93 – 19 94 ban A, B) Tìm x, y, z: x+ y + z + = x−2 + y −3 +6 z −5 x+7 + = x2 + x ? ?1 x +1 Bài 12 (QGHN 19 99) Giải phương... 10 (HSG Hà Nội 2 010 ) Giải phương trình 2( x + x + 3) = x + x + x + Bài 11 (HSG HN 2 018 ) Giải pt x2 + x + = 3x x + Bài 12 (Chuyên Tin HN 2 018 ) Giải phương trình x + x + = ( x + 3) x + Bài 13