004 đề thi HSG toán 9 tỉnh lạng sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LẠNG SƠN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2018-2019 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 23/3/2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (4 điểm)   x 3 x x 3 x  3 x  0 Cho biểu thức A      x2 x 3 x 1  x  x  9 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị nhỏ biểu thức A Câu (4 điểm) Cho phương trình x2   m   x  m2  8m   a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm m ngun dương để phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 cho P x12  x22  60 đạt giá trị nguyên x1  x2 Câu (4 điểm)  50 x x b) Tìm tất cặp  x; y  nguyên thỏa mãn a) Giải phương trình : x  x  x2 y   x     y    xy  2 y    2 Câu (6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC  AB  AC  nội tiếp đường tròn  O  , đường cao BE, CF cắt H  E  AC, F  AB  a) Gọi K  EF  BC, L  AK   O với L  A Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp HL  AK b) Chứng minh đường thẳng HL qua trung điểm BC c) Gọi T điểm đoạn thẳng FC cho ATB  900 Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hai tam giác KLT CET tiếp xúc Câu (2 điểm) Cho đa giác 30 đỉnh Chứng minh đỉnh đó, gồm có đỉnh chứa đỉnh tạo nên hình thang cân ĐÁP ÁN Câu a) Ta có A x x 3   x 1 x 3  x 3 x 1  x 3 x 3 x  3 x  1    x  1 x  3 x x  3x  x  24  x  3  x      x  x  x  x        x x 3     x 3  b) Ta có: A  x8 x 1 x8  x 1 2 x 1 x 1 x   0, x  0; x  nên áp dụng BĐT Cơ si ta có: Vì  A2  x 1 24 x 1 Đẳng thức xảy x 1  x  Vậy Amin   x  x 1 Câu a) Ta có:  '   m     m2  8m    25   Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m  x1  x2   m    2m  b) Áp dụng định lý Vi-et ta có:   x1 x2  m  8m  x12  x22  60  x1  x2   x1 x2  60 P  x1  x2 x1  x2 P  2m     m2  8m    60 2m  m2  8m  11  m4 m4 m4 nguyên  m  ước m4  m  1; 5 Mà m nguyên dương nên m  P nguyên  Câu a) Điều kiện : x  1   x   t  đến phương trình: Đặt t  x  x x t  1(ktm) t  4t     t  3(tm) Do  3 73 x y  2 x   x  x 1    x  3 73 y  x  2 Kết hợp điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x  73 73 ;x  2 b) Ta có: x y   x     y    xy  x  y    2  x y  x  x   y  y   x y  xy  xy    x y  xy     x  x    y  x  x      x  x   y   y     x    y  1  2 TH 1:  x     y  1   x  3; y  TH :  x     y  1  1  x  1; y  TH 3:  x      y  1   x  3; y  TH :  x      y  1  1  x  1; y  Vậy phương trình có cặp  x; y  nguyên là:  3;2  ; 1;0  ;  3;0 ; 1;2  Câu A E L F T H C I B M K a) Ta có: AFH  AEH  900 suy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH Ta có tứ giác ALBC nội tiếp  KB.KC  KL.KA(1) Vì tứ giác BFEC nội tiếp  KB.KC  KF.KE (2) Từ (1), (2) suy tứ giác ALFE nội tiếp đường tròn đường kính AH b) Gọi M  HL   O  Vì LH  AK  AM đường kính  MC  AC Ta có:   MC / / BH (3)  BH  AC CH  AB Ta có:   CH / / MB(4)  MB  AB Từ (3) (4)  Tứ giác BHCM hình bình hành  HL qua trung điểm BC c) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ABT AT  AF AB ý BFEC nội tiếp nên AF AB  AE.AC Do đó, AT  AE AC hay AT tiếp tuyến đường tròn (CET) Hơn nữa, KFB  ACB  KLB nên suy KLFB nội tiếp, AF AB  AL.AK nên AT  AL AK tức AT tiếp tuyến  KLT  Vậy  CET  tiếp xúc với  KLT  có AT tiếp tuyến chung Câu M E A O C B N Ta gọi cạnh song song với hướng Chú ý hai cạnh hai đường chéo song song với tạo thành hình thang cân Ta thấy đa giác n cạnh gồm có n hướng (cụ thể hình vẽ AB, MN , CE hướng, AB, AC khác hướng) k  k  1 đoạn thẳng, số đoạn thẳng lớn n có hai cạnh có hướng nên chúng se tạo thành hình thang cân Với gồm k đỉnh sinh Do đó, điều kiện để k điểm chứa bốn điểm tạo thành hình thang cân nếu: k  k  1 1 1   n  k  n  2n   k    2n   k  2n   2 4  Bây giờ, áp dụng toán cho n  30 ta suy k  60  có đỉnh tạo thành hình thang cân 1   k  , suy đỉnh ... cân nếu: k  k  1 1 1   n  k  n  2n   k    2n   k  2n   2 4  Bây giờ, áp dụng toán cho n  30 ta suy k  60  có đỉnh tạo thành hình thang cân 1   k  , suy đỉnh