Đề thi HSG Toán 9 tỉnh

sở giáo dục và đào tạo TUYấN QUANG kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thCS năm học 2009 - 2010 * môn: toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề này có 01 trang) Câu 1 (4 điểm). Rỳt gn cỏc biu thc sau: 1) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c P a b a c b c b a c a c b = + + , trong ú , ,a b c l cỏc s ụi mt khỏc nhau. 2) 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x Q x x x x + + = + , trong ú 2x . Câu 2 (4 điểm). Tỡm x, y, z tha món h sau: = = = xzz zyy yxx 3623 2423 223 3 3 3 . Câu 3 (4 điểm). 1) Chng minh ch s tn cựng (ch s hng n v) ca cỏc s t nhiờn n v 5 n l nh nhau. 2) Tỡm s nguyờn t p 2 5 1p + l s nguyờn t. Câu 4 (6 điểm). Cho ng trũn tõm O, bỏn kớnh R > 0 khụng i v hai ng kớnh c nh AB, CD vuụng gúc vi nhau. Ly im I bt k trờn on OC (I khụng trựng vi O v C); dng ng trũn tõm I bỏn kớnh IA, ng trũn ny ct tia AD v AC ln lt ti M v N (khỏc im A). 1) Chng minh rng ba im I, M, N thng hng. 2) T M k ng thng song song vi AC, ng thng ny ct CD ti K. Chng minh rng: DM.DA = DK.DO. 3) Tớnh tng MA + NA theo R. Câu 5 (2 điểm). Cho ba s thc a, b, c tha món a + b + c = 3. Chng minh rng: 4 4 4 3 3 3 a b c a b c + + + + .HT sở giáo dục và đào tạo tuyên quang đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs Năm học 2009 - 2010 Môn thi: Toán đề chính thức C©u 1 (4 ®iÓm). Rút gọn các biểu thức sau: 1) ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c P a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − , trong đó , ,a b c là các số đôi một khác nhau. §¸p ¸n 2 §iÓm ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c P a b a c b c b a c a c b = + + − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) a c b b a c c b a a b b c c a − + − + − = − − − 1 ® 0 ( )( )( ) ac ab ba bc cb ca a b b c c a − + − + − = = − − − 1 ® 2) 2 1 2 1 2 1 2 1 x x x x Q x x x x + − + − − = + − − − − , trong đó 2x ≥ . §¸p ¸n 2 §iÓm 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 [(2 1) 2 2 1 1] [(2x-1)-2 2x-1 1] 2 2 x x x x x x x x Q x x x x x x + − + − − − + − + + − − − + = = + − − − − − + − + − + = 0,5 ® = 2 2 2 2 ( 1 1) ( 1 1) 1 1 | 1 1| 1 1 1 ( 2 1 1 | 2 1 1|) ( 2 1 1) ( 2 1 1) 2 2 2 x x x x x x x x − + + − − − + + − − = − + − − − − + − − − = 0,5 ® 1 1 1 1 1 ( 2 1 1 2 1 1) 2 x x x x − + + − − = − + − − + (vì 2x ≥ nên x 1 1− ≥ và 2x 1− ≥ 1) 0,5 ® = 2( 1)x − . 0,5 đ C©u 2 (4 ®iÓm). Tìm x, y, z thỏa mãn hệ sau:      −=−− −=−− −=−− xzz zyy yxx 3623 2423 223 3 3 3 . §¸p ¸n 2 §iÓm Biến đổi tương đương hệ ta có: 2 3 3 2 3 2 ( 2)( 1) 2 3 2 2 3 2 4 2 ( 2)( 1) 2(2 ) 3 2 6 3 ( 2)( 1) 3(2 ) x x y x x y y y z y y z z z x z z x  − + = −  − − = −   − − = − ⇔ − + = −     − − = − − + = −   1 ® Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được: (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1) 2 (y+1) 2 (z+1) 2 = - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2) 1 đ ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) [ ] 6)1()1()1( 222 ++++ zyx = 0 0,5 ® ⇔ (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0. ⇔ x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 0,5 đ Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta được x = y = z = 2. 0,5 ® Vậy: với x = y = z = 2 thỏa mãn hệ đã cho. 0,5 đ C©u 3 (4 ®iÓm). 1) Chứng minh chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) của các số tự nhiên n và 5 n là như nhau. §¸p ¸n 2 §iÓm Ta có: 5 4 2 2 2 ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1)n n n n n n n n n n n − = − = − + = − + + = 0,5 ® 2 2 ( 1)( 1)( 4 5) ( 1)( 1)( 4) 5 ( 1)( 1) ( 2)( 1) ( 1)( 2) 5 ( 1)( 1). n n n n n n n n n n n n n n n n n n n − + − + = − + − + − + = = − − + + + − + 0,5 ® Ta có (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2) và 5n(n – 1)(n + 1) đều chia hết cho 10 0,5 ® Do đó 5 n n − chia hết cho 10, suy ra điều phải chứng minh. 0,5 đ 2) Tìm số nguyên tố p để 2 5 1p + là số nguyên tố. §¸p ¸n 2 §iÓm + Nếu p = 2 thì 2 5 1 21p + = không phải là số nguyên tố. 0,5 ® + Nếu p > 2 thì p phải là số lẻ (vì p là số nguyên tố). 0,5 ® Do đó 2 5 1p + là số chẵn lớn hơn 2, suy ra 2 5 1p + không phải là số nguyên tố. 0,5 đ Vậy: không có số nguyên tố p nào thỏa mãn đề bài. 0,5 đ Câu 4 (6 điểm). Cho đường tròn tâm O, bán kính R > 0 không đổi và hai đường kính cố định AB, CD vuông góc với nhau. Lấy điểm I bất kỳ trên đoạn OC (I không trùng với O và C); dựng đường tròn tâm I bán kính IA, đường tròn này cắt tia AD và tia AC lần lượt tại M và N (khác điểm A). 1) Chứng minh rằng ba điểm I, M, N thẳng hàng. §¸p ¸n 2 §iÓm K O I M N D C B A 0,5 ® Vì góc 0 ˆ 90NAM = nên MN là đường kính của đường tròn (I, IA). 1 ® ⇒ ba điểm I, M, N thẳng hàng. 0,5 đ 2) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CD tại K. Chứng minh rằng: DM.DA = DK.DO. §¸p ¸n 2 §iÓm Xét 2 tam giác KMD và AOD có:Vì góc 0 ˆ 90NAM = và MK // AC nên ta có: 0 ˆ ˆ 90KMD AOD= = (Vì góc 0 ˆ 90NAM = và MK // AC) Góc ˆ MDK chung. 0,5 ® Suy ra hai tam giác vuông KMD và AOD đồng dạng. 0,5 ® Từ đó suy ra: DK DA DM DO = . 0,5 ® . .DM DA DK DO⇒ = 0,5 đ 3) Tính tổng MA + NA theo R. §¸p ¸n 2 §iÓm Từ ˆ ˆ ˆ ˆ INC IMK IM IN ICN IKM MIK NIC  =  = ⇒ ∆ = ∆   =  0,5 ® ⇒ CN = MK. 0,5 ® Vì ∆MKD vuông cân nên CN = MK = MD. 0,5 ® Vậy AM + AN = AM + CN + AC = AM + MD + AC = AD + AC = 2 2.R . 0,5 ® C©u 5 (2 ®iÓm). Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng: 4 4 4 3 3 3 a b c a b c + + ≥ + + §¸p ¸n 2 §iÓm Víi mäi sè thùc x ta cã : 2 3 2 2 2 1 3 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 2 4 x x x x x x x     − − = − + + = − + + ≥    ÷       0,5 ® Do ®ã: 4 4 4 3 3 3 3 3 3 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)a b c a b c a a b b c c+ + − + + = − + − + − 0,5 đ 3 3 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)a a b b c c a b c= − + − + − − − − − − − 0,5 ® 3 3 3 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 0a a b b c c= − − + − − + − − ≥ Suy ra : 4 4 4 3 3 3 a b c a b c+ + ≥ + + 0,5 đ Ghi chó: ThÝ sinh lµm bµi theo c¸ch kh¸c (nếu đúng) vẫn được điểm theo quy định. . dục và đào tạo TUYấN QUANG kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thCS năm học 20 09 - 2010 * môn: toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề này có 01 trang) Câu 1. + + + .HT sở giáo dục và đào tạo tuyên quang đáp án Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 thcs Năm học 20 09 - 2010 Môn thi: Toán đề chính thức C©u 1 (4 ®iÓm). Rút gọn các biểu thức sau: 1). = DK.DO. §¸p ¸n 2 §iÓm Xét 2 tam giác KMD và AOD có:Vì góc 0 ˆ 90 NAM = và MK // AC nên ta có: 0 ˆ ˆ 90 KMD AOD= = (Vì góc 0 ˆ 90 NAM = và MK // AC) Góc ˆ MDK chung. 0,5 ® Suy ra hai tam