APHẦN SỐ HỌC DẠNG 1: CĂN BẬC HAI Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau a A = ; b B = c C = d D = Bài 2 : Thực hiện phép tính, rút gọn các biểu thức sau a A = b B= c C = d e E = 1 f F =
Trang 1A/PHẦN SỐ HỌC DẠNG 1: CĂN BẬC HAI
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau
a/ A =
27 5 12 4 3
18 50
c/ C =
162 32
2
1 4
d/ D =
3
1 1 5 11
33 75 2 48 2
1
+
−
−
Bài 2 : Thực hiện phép tính, rút gọn các biểu thức sau
a/ A = ( 5−2)( 5+2)
b/ B=( 45+ 63)( 7 − 5)
c/ C = ( 5+ 3 5)( − 15)
d/( 32− 50+ 27)( 27+ 50− 32)
e/ E = 1-( 45− 20− 3) ( 20− 45− 3)
f/ F =
6
1 : 3
2 2
3
−
Bài 3 : Thực hiện các phép tính sau đây:
a.( 12 − 48− 108 − 192):2 3
b.(2 112−5 7+2 63−2 28) 7
c.(2 27−3 48+3 75− 192) (1− 3)
d
54 5 150 24
e
320 80
3 50 20
g
72 98 50
Bài 4: Tìm các giá trị nguyên của x để các biểu thức sau có giá trị nguyên
a/A = 5
2
−
+
x
x
b/ B = x
x
−
+ 2
1 3
c/ C = 2
3
−
+
x x
1 2 +
−
x x
Bài 5 : Cho các biểu thức :
1 : ) 3 1
1 3
1
1
(
+
−
−
x x
x
−
−
−
−
1 2 1
( ĐK :x
〉 0; x≠ 1)
a/ Rút gọn các biểu thức A và B b/ Tìm x để A =6
1 B
Trang 2Bài 6 : Cho biểu thức : P = 2 3
5
−
−
−
x x
a/ Tỡm tập xỏc định của biểu thức P b/Rỳt gọn P
c/Tỡm giỏ trị của x để P đạt giỏ trị nhỏ nhất tớnh giỏ trị nhỏ nhất đú
Bài 7 : Cho biểu thức : Q=
4
2 2
1 2
2
−
+
−
+
x x
x
6 c/Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để biểu thức Q cú giỏ trị nguyờn
Bài 8 : Cho biểu thức : A=
2
1 :
) 1
1 1 1
2
−
+ + +
+
−
x x
x
x x
x x
a/ Tỡm tập xỏc định của biểu thức A b/ Rỳt gọn biểu thức A
c/Chứng minh rằng A> 0 với mọi x ≠
đú
Bài 9 : Cho biểu thức Q = −
+
−
−
+
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
a/ Rỳt gọn Q với a > 0 , a≠
4 và a≠
1 b/Tỡm giỏ trị của a để Q dương
Bài 10 : Cho biểu thức P = −
−
− +
+
+
−
x
x x
x x
x x
1
4 1
: 1 2
1
c/ Tỡm GTNN của P và giỏ trị tương ứng của x
DẠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRèNH
Bài 1: Giải hệ phương trình (bằng phương pháp cộng đại số) :
a)
=
−
=
+
7 2
3 3
y
x
y
x
b)
=
−
= +
0 3 2
8 5 2
y x
y x
c)
−
=
−
−
= +
3 2 3
2 2 3
y x
y x
d)
−
=
−
= +
−
7 3 6
4 2 5
y x y x
Trang 3e)
= +
−
=
−
5 6
4
11 3
2
y x
y
x
f)
=
−
= + 3 2
1 2 3
y x
y x
g)
2x 5y 2 6x 15y 6
+ =
− =
Bài 2 : Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phương trình sau :
2
x 2 y 1
1
x 2 y 1
− −
Bài 3 : Giải các hệ phơng trình sau :
a)
2x y 3
x y 2
+ =
+ =
b)
− =
c)
4x 2y 3
+ =
+ = −
d)
+ =
− =
e)
1 2x 1 3 y
0 2x 1 3 y
f)
2x y 29
− = −
+ =
Bài 4 : Giải các hệ phơng trình sau :
a
2x y 15
3x y 20
+ =
− =
b
2(x 2) 3(1 y) 2 3(x 2) 2(1 y) 3
− + + = −
− − + = −
c
4x 3y = 24
4x 7y 16 + =
d,
−
= +
9
= 3y 2x
2 y x
Bài 5 : Cho hệ phơng trình :
m 1 x 12y 24
a Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x + y = –1
b Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
Bài 6: Cho hệ phơng trình:
= +
= +
a y ax
y x
2 1
a. Giải hệ phơng trình với a = 3
b.Tìm điều kiện của a để hệ phơng trình có một nghiệm ? có vô số nghiệm
Bài 7: Cho hệ phơng trình:
= +
=
− +
m y mx
y x
(
Trang 4a. Giải hệ phơng trình với m=− 2
b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất sao cho x + y > 0
DẠNG 3: Giải bài toỏn bằng cỏch lập hệ phương trỡnh
Bài 1 : Hai ụ tụ khởi hành cựng một lỳc đi từ A đến B cỏch nhau 300 km ễ tụ thứ nhất mỗi giờ
chạy nhanh hơn ụ tụ thứ hai 10 km nờn đến B sớm hơn ụ tụ thứ hai 1 giờ Tớnh vận tốc mỗi xe ụ
tụ
Bài 2: Một nhúm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm Trong 12 ngày đầu họ làm theo
đỳng kế hoạch đề ra, những ngày cũn lại họ đó làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nờn hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiờu sản phẩm
Bài 3: Một xớ nghiệp đúng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày Nhưng do cải tiến
kỹ thuật nờn mỗi ngày đó vượt mức 6000 đụi giầy do đú chẳng những đó hoàn thành kế hoạch đó định trong 24 ngày mà cũn vượt mức 104 000 đụi giầy Tớnh số đụi giầy phải làm theo kế hoạch
Bài 4 : Một hỡnh chữ nhật cú chu vi 216m Nếu giảm chiều dài đi 20% , tăng chiều rộng thờm
25% thỡ chu vi hỡnh chữ nhật khụng đổi Tớnh diện tớch hỡnh chữ nhật đú
Bài 5 : Hai mỏy cày cựng cày một thửa ruộng thỡ sau 2 giờ xong Nếu cày riờng thỡ mỏy thứ nhất
hoàn thành sớm hơn mỏy thứ hai là 3 giờ Hỏi mỗi mỏy cày riờng thỡ thỡ sau bao lõu xong thửa ruộng
Bài 6 : Một lớp học cú 40 học sinh được xếp ngồi đều nhau trờn cỏc ghế băng Nếu ta bớt đi 2
ghế băng thỡ mỗi ghế cũn lại phải xếp thờm 1 học sinh Tớnh số ghế băng lỳc đầu
Bài 7: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 170 km và đi ngợc chiều nhau Sau
3 giờ 20 phút thì hai ca nô gặp nhau Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô đi ngợc dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h
Bài 8 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể không có nớc thì sau 5 giờ đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất
chảy trong 6 giờ và vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì đợc
14 15
bể nước Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 9 : Một ôtô đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá với một vận tốc và thời gian đã định Nếu vận tốc
ôtô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc ôtô tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc và thời gian đã định của ôtô Quãng đờng Hà Nội – Thanh Hoá là bao nhiêu ?
Bài 10 : Hai ngời làm chung một công việc thì sau 20 ngày sẽ hoàn thành Nhng sau khi làm
chung đợc 10 ngày thì ngời thứ nhất đi làm việc khác, ngời thứ hai vẫn tiếp tục công việc đó và hoàn thành trong 15 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi ngời phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc
DẠNG 4 :Cỏc bài toỏn liờn quan đến hợ̀ pt, phương trỡnh bậc hai một ẩn và ỏp dụng hệ thức Vi-et
Bài 1 : Cho phương trỡnh :x2 – mx + 2(m – 2 ) = 0
Trang 5a/ Giải phương trỡnh khi m = 1
b/ Chứng minh rằng phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m
c/ Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm 2x1 + 3x 2 = 5
Bài 2: Cho phương trỡnh x2 −2(m+2)x+m+1=0
Giải phương trỡnh khi m =2
a) Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh cú nghiệm
b) Gọi 1 2
; x x
là hai nghiệm của phương trỡnh Tỡm giỏ trị của m để:
2 1 2
2
Bài 3: Cho phương trỡnh: 2 2 1 0
x
a) Chứng tỏ rằng phương trỡnh cú nghiệm 1 2
; x x
với mọi m
2 2
2
(
2 x +x − x x
b1) Chứng minh rằng: A=8 18 9
m
b2) Tỡm m sao cho A= 27
c) Tỡm m sao cho phương trỡnh cú nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia
Bài 4 : Cho phương trỡnh bậc hai x2 – 2(m + 1) x + m – 4 = 0 (1)
a/ Giải phương trỡnh (1) khi m = 1
b/ Chứng minh rằng phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phõn biệt với mọi m
c/ Chứng minh rằng : Biểu thức A = x1 (1 – x2) + x2( 1 – x1 ) khụng phụ thuộc vào giỏ trị của m
Bài 5 : Cho phơng trình : 2x2 – ( m+ 1 )x +m – 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 1
b) Tìm các giá trị của m để hiệu hai nghiệm bằng tích của chúng
Bài 6 : Cho phơng trình : x2 – ( m+2)x + m2 – 1 = 0 (1)
a) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm m thoả mãn x1 – x2 = 2
b) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có hai nghiệm khác nhau
Bài 7 : Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình :
x2 –(m+1)x +m2 – 2m +2 = 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để
2 2
2
x +
đạt giá trị nhỏ nhất , lớn nhất
Bài 8 : Cho phơng trình : x2 – 4x + q = 0
Trang 6a) Với giá trị nào của q thì phơng trình có nghiệm
b) Tìm q để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình là 16
Bài 9 : Cho phơng trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - 1 = 0
1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11
2) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
3) Với giá trị nào của m thì x1 và x2 cùng dơng
Bài 10 : Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + 3 = 0 ( m là tham số )
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn
x + ≥x
Bài 11 : Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm x ≥
0 (m + 1) x2 - 2x + (m - 1) = 0
B/ PHẦN HèNH HỌC Bài 1: Cho đường trũn tõm (O,R) vẽ hai đường kớnh AB và CD cố định và vuụng gúc với
nhau Một dõy vẽ từ A cắt đoạn thẳng CD tại E và cắt đường trũn tại F ( E khỏc C , F khỏc D ) a) Chứng minh ADBC là hỡnh vuụng và tứ giỏc BOEF nội tiếp được trong một đường trũn Xỏc định tõm I của đường trũn đú
b) Chứng minh AE AF = 2R2
c) Tớnh diện tớch phần hỡnh trũn (O,R) nằm ngoài hỡnh vuụng ADBC
Bài
2: Cho tam giỏc ABC vuụng ở A và cú AB > AC , đường cao AH Trờn nửa mặt phẳng bờ
BC chứa điểm A , vẽ nửa đường trũn đường kớnh BH cắt AB tại E , vẽ nửa đường trũn đường kớnh HC cắt AC tại F
a) Chứng minh AEHF là hỡnh chữ nhật
b) Chứng minh AE.AB = AF AC
c) Chứng minh BEFC là tứ giỏc nội tiếp
d) Biết
B 30=
; BH = 4cm Tớnh diện tớch hỡnh viờn phõn giới hạn bời dõy BE và cung BE
Bài 3: Từ một điểm A ở ngoài đường trũn (O) , vẽ hai tiếp tuyến AB , AC và cỏt tuyến AMN của
đường trũn đú ( B, C, M, N nằm trờn đường trũn và AM < AN ) Gọi I là trung điểm của dõy
MN
a) Chứng minh năm điểm A,B,I,O,C cựng nằm trờn một đường trũn
b) Nếu AB = OB thỡ tứ giỏc ABOC là hỡnh gỡ ? Tại sao?
c) Tớnh diện tớch hỡnh trũn và độ dài đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc ABOC theo bỏn kớnh R của (O) khi AB = R
Trang 74 : Cho ∆ ABC ( AC > AB ; B ˆ A C > 900 ) I, K theo thứ tự là các trung điểm của AB, AC Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai F
a) CMR ba điểm B, C, D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp được
c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH, DE
Bài 5 : Cho ∆ABC ( Â = 90o) Biết BC = 6 cm, ABC = 60o quay tam giác một vòng quanh AC ta được hình nón Tính thể tích hình nón
Bài 6 : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Gọi đường thẳng d là tiếp tuyến
của đường tròn tại B Đường thẳng d cắt các đường thẳng AC , AD theo thứ tự tại P và Q
1) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp một đường tròn
2) Chứng minh AD AQ = AC.AP
3) Tứ giác ADBC là hình gì ? Tại sao ?
4) Xác định vị trí của CD để SCPQD = 3.SACD
Bài 7 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By Qua điểm
M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại E và F
1. Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp
2. AM cắt OE tại P , BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì ? Tại sao ?
3. Kẻ MH ⊥ AB ( H ∈ AB) Gọi K là giao của MH và EB So sánh MK và KH
Bài 8 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E là điểm chính giữa của cung AB , hai dây EC , ED cắt
AB tại P và Q Các dây AD và EC kéo dài cắt nhau tại I , các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại
K Chứng minh rằng :
a) Tứ giác CDIK nội tiếp
b) Tứ giác CDQP nột tiếp
c) IK // AB
CÁC ĐỀ THAM KHẢO
ĐỀ 1
Bài 1 : Cho biểu thức : A =
2
1 x : x 1
1 1 x x
x 1
x x
2
−
+ + +
+
− +
a) Rút gọn P ; b) Chứng minh rằng A > 0 với mọi giá trị của x ∈ TXĐ
Trang 8Bài 2 : Cho phương trình : x2 – 4x + m – 1 = 0
a) Giải phương trình với m = - 11
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện :
10 x
2
2
và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I , tia Cz vuông góc với CI tại C và cắt tia
By tại K Vẽ đường tròn (O; 2
IC ) cắt IK ở P Chứng minh rằng : a/ Tứ giác CPKB nội tiếp
b/ AI BK = AC CB
c/ Tam giác APB vuông
d/ Giả sử A, B, I cố định Tìm vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất
ĐỀ 2
Bài 1 : Giải hệ phương tŕnh sau :
3(x y) 5(x y) 12 5(x y) 2(x y) 11
+ + − =
− + + − =
Bài 2 : Cho hàm số y =
1 4
x2
a/ Vẽ đồ thị hàm số
b/ T́ìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng y = x – 1
a/ Giải phương trình khi m = – 13
b/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả măn x1 – x2 = 8
Bài 4 : Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 7m và diện tích bằng 120
2
m
Hãy tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật
Bài 5 : Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, dây BC = R Từ B vẽ tiếp tuyến Bx với đường
tròn Tia AC cắt tia Bx tại M Gọi E là trung điểm của AC
a/ Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp
b/ Gọi I là giao điểm của BE và OM Chứng minh : IB IE = IM IO
c/ Tính diện tích h́ình viên phân cung BC nhỏ theo R
Trang 9ĐỂ 3:
Bài 1:1/ Cho biểu thức A =
4 2
x x
+ + Tính giá trị của biểu thức khi x = 36
2/ Rút gọn biểu thức B =
:
+
(với x ≥
0 , x≠
16 ) 3/ Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B.(A-1) là số nguyên
Bài 2: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình :
Hai người cùng làm chung một công việc trong
12 5 giờ thì xong Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?
Bài 3: 1/ Giải hệ phương trình :
2 1
2
6 2
1
+ =
− =
2/ Cho phương trình x2 – ( 4m – 1 )x + 3m2 – 2m = 0 ( ẩn x ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x2 = 7
Bài 4: Cho đường tròn (O;R)đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kỳ
trên cung nhỏ AC (M khác A và C ), BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB
1)Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp
2) Chứng minh ·ACM
= ·ACK
3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
Trang 104) Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn tại (O) tại điểm A Cho P là một điểm nằm trên d
sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
AP MB
R
Chứng minh đường thẳng PB đi đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK