Chuyên đề ôn tập toán 9 - PT bậc hai một ẩn

Bộ chuyên đề ôn tập toán lớp 9 giành cho các bạn học sinh lớp 9 hệ thống lại kiến thức và chuẩn bị ôn thi vào lớp 10.

Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN A KIẾN THƯC CƠ BẢN: I Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng     ax  bx  c    Trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước  gọi là các hệ số và  a    II Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai: Phương trình bậc hai  ax  bx  c  0(a  0)  có    b  4ac   *) Nếu     phương trình có hai nghiệm phân biệt:  x1  *) Nếu     phương trình có nghiệm kép:  x1  x  b   b     ; x2  2a 2a b   2a *) Nếu     phương trình vơ nghiệm.  III Cơng thức nghiệm thu gọn: Phương trình bậc hai  ax  bx  c  (a  0) và  b  2b '  có   '  b '2  ac   *) Nếu   '   phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  *) Nếu   '   phương trình có nghiệm kép:  x1  x  b '  '  b '  '   ; x2  a a b '   a IV Hệ thức Vi - Et ứng dụng: b  x1  x     a 1. Nếu x1; x2 là hai nghiệm của phương trình  ax  bx  c  0(a  0)  thì:     c x x   a 2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình:    x  Sx  P    (Điều kiện để có u và v là  S2  4P  )  c a 3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình  ax  bx  c  0(a  0)  có hai nghiệm:  x1  1; x    Nếu a – b + c = 0 thì phương trình  ax  bx  c  0(a  0)  có hai nghiệm:   c x1  1; x     a Phương trình quy bậc hai: a) Phương trình trùng phương:  ax  bx  c  0(a  0)   Đặt t = x2 ( t  ) đưa PT về dạng :  at  bt  c    b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:    - Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.  - Bước 2:  Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu.   - Bước 3:  Giải phương trình vừa nhận đươc.   - Bước 4: Trong các giá trị nhận được của PT trên, giá trị nào thỏa mãn ĐKXĐ  là nghiệm của phương trình đã cho.    A x  c) Phương trình tích:  A  x  B  x      B  x   Học – Học – Học Mãi   Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng     d) Phương trình chứa căn thức:     - Bước 1: Tìm ĐKXĐ.    - Bước 2: Làm mất dấu căn thức bằng cách đặt ẩn phụ hoặc lũy thừa hai vế sau  đó giải phương trình.     - Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm.   B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Giải phương trình bậc hai, phương trình quy bậc hai: Phương pháp giải: +) PT khuyết  c  c   , phương trình trở thành:    x  x  ax  bx   x  ax  b      b  x   ax  b   a  c a +) Phương  trình khuyết  b  b   , phương trình trở thành:  ax  c   x     c a c c - Nếu    thì phương trình đã cho có nghiệm  x      a a - Nếu     thì phương trình vơ nghiệm.   +) Phương trình bậc hai dạng đầy đủ:   - Cách 1: Dùng cơng thức nghiệm hoặc cơng thức nghiệm thu gọn.   - Cách 2: Nhẩm nghiệm nếu có thể.   *) Ví dụ 1: Chọn đáp án đúng:   Câu 1: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn ?  A.  x  y     B.  x2  3x     C.  3x     D.   x  3x     Câu 2: Phương trình  x2  5x    có biệt thức   bằng  A 41     B.  21    C.      D 41       Câu 3: Phương trình  x   m  1 x    có một nghiệm  x  , nghiệm cịn lại là  A.      B.      C.  2     D.        Câu 6: Giải sử phương trình  x  16 x  55  có hai nghiệm là  x1; x2  x1  x2   Khi đó  x1  x2  bằng  A.        B.  24 C.  13 D.  17             Câu 7: Phương trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng   ?  A.  x2  x           B.  x2  x       C.  x2  3x           D.  x2  3x     Câu 8: Nếu hai số có tổng  S  8  và tích  P  10  thì hai số đó là nghiệm của phương  trình.     A.  x2  x  10          B.  x2  8x  10      C.  x2  x  10          D.  x2  8x  10    Câu 9: Phương trình nào sau đây có nghiệm kép.     A.  x2  x           B.  x2  x       C.  x2  10 x  25          D.  x2  x     Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Tốn – GV: Đặng Thị Hồng   *) Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:   a)  x  x           b)  x  25    c)  x  49 x  50  d)  x  x     e)  x  x           f)     x  3x      Giải: x    x  a) Xét phương trình:  x  x   x( x  5)    Vậy, nghiệm của phương trình là:  x  0; x    b) Xét phương trình:  x  25   x  25  x  25  x   2 c) Xét phương trình  x  49 x  50   a  1; b  49; c  50    Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:  x     Cách 1: Dùng cơng thức nghiệm:        Ta có:    b  4ac   49 2  4.1  50   2601    Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:   x1  b   (49)  51 b   (49)  51   1 ;   x2    50   2a 2a Cách 2: Ứng dụng của định lí Viet:   Do  a  b  c   49  50   nên phương trình có nghiệm:   c 50   50   a d) Xét phương trình:  x  x     Ta có:    b  4ac  32  4.5  7   149    x1  1; x2   Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:   x1  b   3  149 b   3  149   ;   x2    2a 10 2a 10 e) Xét phương trình:  x  x     Ta có:   '  b '2  ac   32  1.1       Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:   b '  '   3  b '  '   3     2; x1    3 2   a a f) Xét phương trình:   x  3x      x1    Cách 1: Dùng công thức nghiệm: ( a   3; b  3; c  2  )  Ta có:   '  b '2  ac         2       Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:   b '  '       1; a 2 2   b '  '   2 x1      74   a 2 2 x1   Học – Học – Học Mãi  Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   Cách 2: Ứng dụng của định lí Viet:  a  b  c      2      c a Nên phương trình có nghiệm:  x1  1; x2     2      74   2 2  *) Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:    a)  x3  x  x           c)  x  x  16  10  x         e)  x  x           x2   3 x5 2 x d)   x  x    x  x      b)  f)  x  x      Giải: a) Giải PT:  x3  x  x       x3  3x    x     x  x     x  3    x  3  x      x    x    x  3  x   Vậy, nghiệm của phương trình là:  x  3 ;  x     b) Giải PT:  x2   (ĐKXĐ:  x  2; x  )  3 x 5 2 x Quy đồng, khử mẫu ta được phương trình:      x    x    x  5  x    x  5  4 x  15 x     Ta có:    152  4.(4).4  225  64  289    PT trên có hai nghiệm phân biệt:   x1  b   15  289    TM    2a  4  x2  b   15  289   TM    2a  4  4 2 c) Giải PT:  x  x  16  10  x  x  x  26    Đặt  x  t  , phương trình đã cho trở thành:  5t  3t  26    Ta có:    b2  4ac  32  4.5  26   529    Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:  x1   ;  x2    Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:   b   (3)  529 b   (3)  529 13   2  K 0TM      TM  t2  2a 2.5 2a 2.5 13 13 13 13 Với  t1   x   x    Vậy nghiệm của PT đã cho:  x     5 5 d) Giải PT:   x  x    x  x      t1  Học – Học – Học Mãi  Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   Đặt  x  x  t , phương trình đã cho trở thành:  3t  2t     1   1  1  Với  t1   x  x   x  x    PT này có nghiệm:  x1    ; x2  2 1 1 Với  t2   x  x   x  x    Phương trình này vơ nghiệm.   3 1  1  Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là:  x1    ; x2  2 e) Giải PT:  x  x    (ĐKXĐ:  x  )  Do  a  b  c     nên phương trình có hai nghiệm:  t1  1; t2  Đặt  x  t  , Phương trình đã cho trở thành:  t  2t     Phương trình này có nghiệm:  t1  1  K 0Tm  ; t2  TM      Với  t2   x   x  TM    Vây, nghiệm của phương trình đã cho là  x     f) Giải:  x  x    (ĐKXĐ:  x  1).  Đặt  x   t  t    x   t  x  t    Phương trình đã cho trở thành:  t   4t    t  4t       Phương trình này có nghiệm:  t1  1  K 0Tm  ; t2  TM    Với  t1   x  t12   52   26   Dạng 2: Tính tốn biểu thức liên quan đến tổng tích hai nghiệm Phương pháp: - Tính    ' để phương trình có hai nghiệm x1; x2 - Viết hệ thức Viet theo hệ số a,bc - Biến đổi biểu thức cho để xuất tổng tích hai nghiệm *) Ví dụ 1: Cho phương trình x2  x    Gọi  x1; x2 là hai nghiệm của phương trình.  Khơng giải phương trình, hãy tính:  A  x1  x2  x1.x2   Giải: Ta có:     7   4.1.(1)  49   53    Vậy, phương trình có hai nghiệm phân biệt, Theo hệ thức Vi-ét, ta có:   b c   ;  x1.x2   1   a a Do đó:  A  x1  x2  x1.x2   x1  x2   x1.x2  5.7   1  36   x1  x2  *) Ví dụ 2: Cho phương trình  x  x     a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt và tìm các nghiệm đó.   b) Gọi  x1; x2  là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tính giá trị của các biểu thức  sau:  A  x12  x22  ;  B  1 1   ;  C    ;  D  x13  x23  ;  E  x15  x25   x1 x2 x1 x2 Giải: a) Ta có:   '   2   1.1   , vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.   Các nghiệm của phương trình là:  x1,2     b) Vì PT có hai nghiệm phân biệt, nên theo định lí Viet ta có:  x1  x2  4; x1.x2    Ta có:  A  x12  x22   x1  x2   x1 x2  42  2.1  14   Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   1 x x B      4  x1 x2 x1 x2 C x12  x22 14 1     14   x12 x22  x x 2 1 D  x13  x23   x1  x2   x1 x2  x1  x2   43  3.1.4  52   Ta có:   x13  x23  x12  x22   x15  x13 x22  x12 x23  x25  x15  x25  x12 x22  x1  x2   E   x1 x2   x1  x2     E  x15  x25   x13  x23  x12  x22    x1 x2   x1  x2   52.14  12.4  724   Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng lập phương trình bậc hai ẩn biết hai nghiệm x1 x2 Phương pháp giải:   S  u  v thì  u; v  là nghiệm của phương   P  u.v Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Nếu hai số u; v  có   trình  x2  Sx  P   Điều kiện để tồn tại hai số đó là  S  P     *) Ví dụ 1: Tìm hai số  u  và  v  biết:   a)  u  v  và  u.v        b)  u  v  5 và  u.v  3   Giải:   a) Ta có:  u  v  và  u.v   nên  u; v là nghiệm của hệ phương trình  x2  3x     c a Vì  a  b  c     nên phương trình có nghiệm  x1  1; x2     u  u  hoặc   v  v  Vậy  b) HS tự làm.   *) Ví dụ 2: Lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm là   a)  và          b)  và  3   Giải:  S    a) Ta có:      P  2.3  Vậy,  và   là nghiệm của phương trình  x  x     b) HS tự làm.   *) Bài tập liên quan đến phương trình chứa tham số: Dạng 4: Các tốn giải biện luận phương trình chứa tham số   Yêu cầu chung:   +) Giải được phương trình với giá trị cụ thể của tham số:     - Thay giá trị tham số m vào phương trình - Giải phương trình theo cơng thức nghiệm, cơng thức nghiệm thu gọn +) Bài tốn biện luận phương trình bậc hai:   - Tính    '  theo m - Chứng minh phương trình ln có nghiệm tìm điều kiện để phương trình có nghiệm - Viết hệ thức Vi-ét Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   - Biểu diễn hệ thức theo tổng tích hai nghiệm Chứng minh phương trình ln có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, - Tính biệt thức    ' phương trình - Nếu chứng minh phương trình có nghiệm, ta viết    ' thành bình phương tổng hiệu Khi     '   m - Nếu chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, ta viết    ' thành bình phương tổng hiệu cộng với số dương Khi     '   m *) Ví dụ 1: a) Chứng minh rằng phương trình  x2  mx  m    ln có nghiệm với mọi  m   b) Chứng minh rằng phương trình  x2  (m  3) x  2m   ln có hai nghiệm phân biệt  với mọi  m   c)  Chứng  minh  rằng  phương  trình  x   m  1 x  m   ln  có  hai  nghiệm  phân  biệt với mọi  m   Giải: a) Xét phương trình  x  mx  m     2 Ta có:    b  4ac    m    m  1  m  4m    m    0, m   Vậy, phương trình dã cho ln có nghiệm với mọi  m   b) Xét phương trình:  x2  (m  3) x  2m     Ta có:     m  32  4.1  2m  1    m2  6m   8m     m  2m      m  1   0, m Vậy, phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi  m   c) Xét phương trình:  x   m  1 x  m     11 Ta có:   '   m  12   m    m  m    m     m    2 Vậy, phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi  m   Tìm điều kiện tham số để phương trình ln có nghiệm, hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép vơ nghiệm - Phương trình hệ số a chứa tham số, xét trường hợp a  a  - Khi a  Tính biệt thức    ' phương trình   - Vận dụng điều kiện : +) Phương trình có nghiệm      '       +) Phương trình có hai nghiệm phân biệt      '       +) Phương trình có nghiệm kép      '   +) Phương trình vơ nghiệm      '   *) Ví dụ 1: Cho phương trình:  x   m  1 x  m   (*) ( m là tham số)  Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng       a) Tìm giá trị của m để phương trình (*) ln có nghiệm.  b) Tìm giá trị của m để phương trình (*) có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.  c) Tìm giá trị của m để phương trình (*) vơ nghiệm.   Giải:  Xét phương trình:  x   m  1 x  m     Ta có:   '   m  1   m2  1  m2  2m   m2   2m    a) Để phương trình có nghiệm thì   '   2m    m  1   Vậy, với  m  1  thì phương trình (*) có nghiệm.   b) Để phương trình có nghiệm kép thì   '   2m    m  1   b'  m 1    a Vậy, với  m  1  thì phương trình (*) có nghiệm kép  x1  x2    Khi đó nghiệm kép của phương trình là:  x1  x2   c) Để phương trình vơ nghiệm thì   '   2m    m  1   Vậy, với  m  1  thì phương trình (*) vơ nghiệm.     *) Ví dụ 2: Cho phương trình:  mx   m   x  m    (**) ( m là tham số)    a) Tìm giá trị của m để phương trình (**) có nghiệm.     b) Tìm giá trị của m để phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt.   Giải:  Xét phương trình:  mx   m   x  m    (**)   a) Nếu  m   phương trình (**) trở thành:  x   Phương trình có nghiệm  x  1       Nếu  m   ta có:   '   m  2  m  m    m  4m   m  4m  8m        Để phương trình có nghiệm thì   '   8m    m    Vậy, với  m   thì phương trình (**) có nghiệm.   b) Với m  ta có:   '  8m     Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt   '   8m    m  2 Vậy, để phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  , m  Giải biện luận hệ phương trình: - Phương trình hệ số a chứa tham số, xét trường hợp a  a  +) Khi a = 0, thay giá trị m vào phương trình, biện luận +)Khi a  Tính biệt thức    ' phương trình   - Vận dụng điều kiện có nghiệm, công thức nghiệm để nghiệm phương trình *) Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau:  x   m  1 x  m2     Giải: 2 Xét phương trình:  x   m  1 x  m    (*)   Ta có:   '  b '2  a.c   m  1   m2    m2  2m   m2   2m    Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   +) Nếu   '   2m    m   thì phương trình (*) có nghiệm kép:  b ' m  1     x1,2    m 1  1    a 2 +) Nếu   '   2m    m   thì phương trình (*) có nghiệm phân biệt:  b '  ' m   2m  x1    m   2m    a b '  ' m   2m  x2    m   2m    a +) Nếu   '   2m    m   thì phương trình (*) vơ nghiệm:   Viết biểu thức liên hệ hai nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào m Phương pháp: - Bước 1: Đặt điều kiện cho tham số m dể phương trình có hai nghiệm x1; x2 - Bước 2: Viết hệ thức Vi-et biểu diễn x1  x2 x1.x2 theo tham số m - Bước 3: Sau đó, sử dụng phương pháp cộng để khử m hệ thức *) Ví dụ: Cho phương trình  x   m  1 x  m    (m là tham số).   Gọi  x1; x2  là hai nghiệm của phương trình, tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm khơng  phụ thuộc vào m Giải:  11 Ta có:   '   m  1   m    m  m    m     m   2  2 Vậy, phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi  m   Gọi  x1; x2  là hai nghiệm của phương trình, theo hệ thức Vi-ét, ta có:    x1  x2  2(m  1)  2m  1  I    x1.x2  m   2    x1  x2  2(m  1)  2m    2 x1.x2  2m  Cách 1: Biến đổi hệ (I), ta có:  I    Trừ từng vế hai PT của hệ (I) ta được:   x1  x2  x1.x2  2( m  1)   2m    m   2m    (**)  Biểu thức (**) là hệ thức liên hệ giữa  x1; x2  mà không phụ thuộc vào m.  Cách 2: Sử dụng PP Từ PT (2) ta có: m = x1x2 + vào PT (1) hệ, ta hệ thức (**) Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước - Phương trình hệ số a chứa tham số, xét trường hợp a  a  - Khi a  : +) Tính biệt thức    ' phương trình +) Tìm m để PT có nghiệm     '   +) Viết hệ thức Vi-ét Kết hợp với điều kiện hai nghiệm để tìm m Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   a) Phương trình ax  bx  c  chứa tham số m biết nghiệm cho trước, tìm nghiệm cịn lại Thay giá trị của nghiệm vào phương trình, giải tìm m Từ đó suy ra nghiệm cịn lại.   *) Ví dụ 1: Cho phương trình  x   m  1 x  m   (m là tham số)  Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có một nghiệm bằng 4. Tìm nghiệm cịn lại.   Giải:  Vì  x  là nghiệm của phương trình đã cho, nên ta có:   42   m  1  m2    m2  8m     Phương trình trên có  a  b  c     , nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:  m1  1; m2    x    x  +) TH 1:  m   khi đó phương trình (*) trở thành:  x  x   x  x      +) TH 2:  m   khi đó phương trình (*) trở thành:  x  16 x  48      Ta có:   '   8 2  1.48  16   Phương trình có hai nghiệm phân biệt:     8  16   8   16  12; x2   4  1 Vậy, với  m  , phương trình đã cho có một nghiệm bằng  , nghiệm cịn lại bằng 0.           Với  m  , phương trình đã cho có một nghiệm bằng  , nghiệm cịn lại bằng 12.    b) Phương trình ax2  bx  c  chứa tham số m có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện   x1  dấu   - ĐK để phương trình có hai nghiệm trái dấu:   x1 x2    - ĐK để phương trình có hai nghiệm dấu:   x1 x2    - ĐK để phương trình có hai nghiệm dương:  x1 x2  x  x     - ĐK để phương trình có hai nghiệm âm:  x1 x2  x  x   2 *) Ví dụ: Cho phương trình:  x   2m  3 x  m  2m   (*)  Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt cùng dương.   Giải:  2 Ta có:     2m  3  4.1  m  2m   4m  12m   4m2  8m  4m    Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi     4m    m  (1)  Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:  x1  x2  2m  3; x1.x2  m  2m   Phương trình (*) có hai nghiệm cùng dương khi và chỉ khi:   Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng    m   2m    x1  x2  m         m  (2)    m2   x1.x2   m  2m  m  m        m  Từ (1) và (2) ta được   m   thì phương trình (*) có hai nghiệm cùng dương.    c) Phương trình ax2  bx  c  chứa tham số m có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước:   +) Tính biệt thức    ' phương trình +) Tìm m để PT có nghiệm     '   +) Viết hệ thức Vi-ét Kết hợp với điều kiện cho trước hai nghiệm để tìm m *) Ví dụ 1: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình  x   2m  3 x  m  m  3  có hai nghiệm phân biệt x1; x2thỏa mãn  x1  x2    Giải:   Xét phương trình:  x   2m  3 x  m  m  3    Ta có:      2m  3   4.1.m  3     2m  3  4.1.m  m  3  4m  12m   4m  12m     0,  m Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m.    x1  x2  2m  (1) Theo định lí Vi-et, ta có:    x1 x2  m ( m  3)     Theo bài ra, ta có  x1  x2   x2  x1   thay vào phương trình (1), ta được:   2m     2m  1 4m  10          x2  x1   4  3 2m  4m  10 Thay x1  ;  x2   vào phương trình (3), ta có:   3 2m  4m  10  m  m  3 3   2m  1 4m  10   9m  m  3 x1  x1   2m   x1  2m   x1         8m  16m  10  9m  27 m    m  11m  10   m1  1; m2  10 Vậy,  với  m  =  1;  m  =10  thì  PT  đã  cho  có  hai  nghiệm  có  hai  nghiệm  phân  biệt  x1; x2thỏa mãn  x1  x2    *) Ví dụ 2: Cho phương trình:  x   2m  1 x  2m   (m là tham số)  Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2thỏa mãn   Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   x12  x22  12   Giải:  b) Xét PT: x  – (2m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số)   Ta có:     2m  12  4.1  2m  3   2  4m  4m   8m  12  (2m)  2.2m.3  32    2m  3    Vì   2m  32  0, m     2m  32   m   Vậy, PT đã cho ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.  c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình trên.   b   x1  x2  a  2m  Theo Vi-et, ta có:      x x  c  2m   a Do đó:  M  x12  x22   x1  x2 2  x1.x2   2m  12   2m  3  4m  8m      Khi M = 12   4m  8m   12  4m  8m    (**)  PT (**) có:   '  (4)2  4.(5)  36    Vậy, PT có hai nghiệm phân biệt:   b '  '   4   36 b '  '   4   36    ;  m2      a a Vậy, với  m1  ;  m2    thì PT đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:   2 m1                                 M = x12 + x22 = 12 *) Ví dụ 3: Cho phương trình:  x   m  3 x     (m là tham số)     Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 mà biểu thức  A  x12  x1 x2  x22  đạt giá trị  nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó?  Giải: Xét phương trình  x   m  3 x     2 Ta có:   '    m  –  3   1.(1)   m  3   0, m   Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1; x2với mọi m.   x1  x2  2(m  3)    x1 x2  1 Theo Vi-et, ta có:   Xét biểu thức  A  x12  x1 x2  x22  x12  x1 x2  x22  x1 x2   x1  x2 2  x1 x2   2  2  m  3   3.(1)   m  3  Ta có:   m  32  0, m  A   m  32   3, m   Giá trị nhỏ nhất của A là 3, đạt được khi  m –  0  m    Vậy, với  m  thì biểu thức  A  x12  x1 x2  x22  đạt giá trị nhỏ nhất là     C BÀI TẬP TỰ LUYỆN: *) Bài tập trắc nghiệm: Câu 1: Trong các phương trình sau phương trình nào là phương trình bậc hai một ẩn   A.  x             B.  x2  x            C.  x3  5x     D.  x4  x2    Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   Câu 2: Phương trình nào sau đây khơng phải phương trình bậc hai?  A.  x  x     B x (3 x 2) 0        C.  x2        D x (3x  2)    Câu 3: Các hệ số  a, b, c  của phương trình bậc hai  x  3x   0,  lần lượt là   A.  3; 2;              B.  2; 4; 3     C.  2; 3;   D.  2;3;   Câu 4:Phương trình   m  1 x  2mx+1=0,  là phương trình bậc hai khi   A.  m  B.   m  1                 C.   m    D. Mọi giá trị của m.  Câu 5: Phương trình  x  3x    có biệt thức    bằng  A.    B.  3   C.      D.  13     Câu 6: Số nghiệm của phương trình   3x2  x   0  là  A.    B.      C.      D.      Câu 7: Phương trình nào sau đây có hai nghiệm phân biệt:  A.  x  x     B.  x  10 x  25    C.  85 x  11x      D.  x  x     Câu 8: Phương trình nào sau đây có nghiệm kép ?  A.   x2  x     B.   x  x     C.  x2  x       D.  x2  3x     Câu 9: Phương trình nào dưới đây nhận giá trị  x  1  là nghiệm ?  A.  x2  3x     B.  x2  x     C  x2         D.  x2 – 3x     Câu 10 : Phương trình  x  x   có hai nghiệm là  A.  x1  1; x2    B.  x1  1; x2         C.  x1  1; x2  D x1  1; x2     Câu 11:Phương trình x2  5x    có một nghiệm là  A x              B x        C x       D x  6   Câu 12: Tích hai nghiệm của phương trình  x  x    bằng  A.        B.  2     C.        D.  5   Câu 13: Tổng hai nghiệm của phương trình  x  3x    bằng  A.        B.  3     C.        D.  1   Câu 15:  Gọi  x1; x2 (trong  đó  x1  x2 )  là  hai  nghiệm  của  phương  trình  x  x     Giá trị của biểu thức  T  x1  3x2 bằng   A.  T  6     B.  T  14       C.  T  17     D.  T    Câu 16:  Gọi  S và  P lần  lượt  là  tổng  và  tích  hai  nghiệm  của  phương  trình:  x  10 x  20   Khi đó  S  P bằng  A.  30      B.  10         C.  30     D.  10   Câu 17: Để phương trình  x2  x  m    có một nghiệm thì giá trị của  m  bằng  34   Câu 18:  Tìm  các  giá  trị  của  tham  số  m   để  phương  trình  x   m  1 x  m   có  A.     34   B.   36       C.   34     D.  nghiệm kép ?  A.  m      B.  m        C.  m  1     D.  m    Câu 19: Phương trình  x  x  m   có nghiệm khi  A.  m  1     B.  m        C.  m      D.  m  1   Câu 20: Số nguyên  a  nhỏ nhất để phương trình   2a  1 x  x    vô nghiệm là  A.  a      B.  a  2       C.  a  1     D.  a    Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   Câu 21: Hai số  u , v có tổng và tích lần lượt là  32  và  231  Khi đó  u  và  v  là nghiệm  của phương trình nào dưới đây?         B.  x  32 x  231    A.  x  32 x  231     C.  x  231x  32         D.  x  231x  32    Câu 22: Phương trình  x4  x2    có tổng các nghiệm bằng  A.        B.  6     C.        D.  8   Câu 23: Phương trình  x  x    có  A. một nghiệm.  B. hai nghiệm.    C. ba nghiệm.  D. bốn nghiệm.  Câu 24:  Gọi  x1; x2   là  nghiệm  của  phương  trình  x  x     Giá  trị  của  biểu  thức  x12  x2  bằng  A.        B.          C.  1   D.  3   Câu 25:  Có  bao  nhiêu  giá  trị  nguyên  dương  của  tham  số  m   để  phương  trình   m  1 x   m  1 x  m   có hai nghiệm phân biệt ?  A.        B.          C.        D.    Câu 26:  Có  tất  cả  bao  nhiêu  giá  trị của  tham  số  m   là số  tự  nhiên  để  phương  trình  x   2m  3 x  3m    có hai nghiệm trái dấu ?  A.        B.        C.          D.    Câu 27:Xác  định  m  để  phương  trình  x  2(m  1) x  m   có  hai  nghiệm x1; x2 và  A  x12  x12  3( x1 x2 )  đạt giá trị nhỏ nhất.  9     C.  m        D.  m  1   Câu 28: Hai phương trình  x   m   x  m    và  x   m   x  m    có nghiệm  A.  m        B.  m  chung khi m bằng  A.          B.        C.          D   Câu 29:  Có  tất  cả  bao  nhiêu  giá  trị  của  tham  số  m   để  phương  trình  2 x  2( m  1) x  2m   có hai nghiệm phân biệt  x1 , x2  thỏa mãn  x1  x2  10 ?  A.        B.        C.          D.    *) Bài tập tự luận: Bài tập 1: Giải các phương trình sau:   1)  3x2 – x –10          2)  x2 – 3x     3)  x2 – x –          4)  3x – 3x –    5)  x – (1  ) x         x2      x 1 x 1 x  x 1 9)  x  x         7)  13     x 1 x    6)    8) x  10 x       10)  x   x    Bài tập 2: Cho phương trình   x  x  3m  , với m là tham số.  a) Giải phương trình khi  m    b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 khác 0 và thỏa  điều kiện  x1 x2     x2 x1 Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   Bài tập 3: Cho phương trình  x  2mx  m    (x là ẩn số)  a) Chứng minh rằng phương trình ln ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.  b) Gọi x1, x2làcác nghiệm của phương trình.  Tìm m để biểu thức M =  24  đạt giá trị nhỏ nhất x  x22  x1 x2 Bài tập 4: Cho phương trình (ẩn số x):  x  x  m   *    a) Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.  b) Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm  x1, x2  thỏa  x2  5 x1   Bài tập 5: Cho phương trình : x  x  2n          a) Giải phương trình (1) với  n    b) Tìm n để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2  thoả mãn    x1  x1  2n   x22  x2  2n    4   Bài tập 6: Cho phương trình   x –  m  1 x  4m  0    (1)  a) Giải phương trình (1) với  m    b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm  x1 , x2 thỏa mãn:   x1  m  x2  m   3m  12   Bài tập 7: Cho phương trình:   m  1 x   m  3 x  m   (*) ; m là tham số.     a) Giải phương trình (*) với  m      b) Tìm m để phương trình (*)có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm cịn lại.     c) Tìm m để phương trình (*) có ít nhất một nghiệm khơng dương.     d) Khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, tìm hệ thức liên hệ giữa hai  nghiệm khơng  phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  x1; x2 thỏa mãn        m  1 x12   m  3 x2  m       _     Học – Học – Học Mãi ... - Viết hệ thức Vi-ét Học – Học – Học Mãi Bộ chuyên đề Toán – GV: Đặng Thị Hồng   - Biểu diễn hệ thức theo tổng tích hai nghiệm Chứng minh phương trình ln có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, -. .. đó giải phương trình.     -? ?Bước 3: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm.   B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Giải phương trình bậc hai, phương trình quy bậc hai: Phương pháp giải: +)? ?PT? ?khuyết  c  c... Tìm hai số biết tổng tích chúng lập phương trình bậc hai ẩn biết hai nghiệm x1 x2 Phương pháp giải:   S  u  v thì  u; v  là nghiệm của phương   P  u.v Theo hệ thức Vi-ét, ta có: Nếu? ?hai? ?số