N v HIEP HUONG DAN DE THI THU VAO 10 MON TOAN THCS DICH VONG HAU t2 2022

 Đề KSCL Toán THCS Dịch Vọng Hậu Tháng - 2022 Bài (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A   x 1 x    B      :   , với  x  x x  x  x x      x  0; x  1) Tìm x để A  x 1 x 3) Cho M  A : B Tìm số nguyên x để M đạt giá trị lớn Bài (2,5 điểm) 1) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau đầy bể Nếu mở vòi I 45 phút khóa lại mở vịi II 30 phút hai vịi chảy bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể bao lâu?   x   y 1   2) Giải hệ phương trình  3 x    y 1  2) Chứng tỏ B  Bài (1,5 điểm) Cho đường thẳng d : y   m   x  2m  (m tham số) 1) Vẽ đường thẳng d m  1 2) Gọi A, B giao điểm đường thẳng d với hai trục tọa độ Ox, Oy Tìm m để OA  3OB Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) điểm S nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến SA cát tuyến SBC (B nằm S C) đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh bốn điểm S, A, O, I thuộc đường tròn 2) Qua A kẻ đường thẳng vng góc với SO H Chứng minh SA2  SH SO 3) Đường thẳng AH cắt BC K, cắt (O) D Chứng minh SD tiếp tuyến (O) 4) Qua I kẻ đường kính PQ (O) (A P nằm phía đường thẳng SO) Gọi M giao điểm SP với (O) Chứng minh SA2  SK SI ba điểm M, K, Q thẳng hàng x y  Bài (0,5 điểm) Cho x, y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ P  1 x 1 y Trang  Đề KSCL Toán Tháng - 2022 THCS Dịch Vọng Hậu HƯỚNG DẪN GIẢI  x 1 x    B      :   , với  x  x x  x  x x      Bài (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A  x  0; x  1) Tìm x để A  x 1  3 x Vậy để A  x  x 1 2) Chứng tỏ B  x Để A       x :  Ta có B     x 1 x x 1   x 1     = x 1 x   x 1  x  1 x  x  1 : = =  x 1  x 1  x  (tmđk) x 1  x  x   x   x 1  x 1 = x   x 1  x 1 :   x 1    x 1 x 1 = x 1 x   x 1 x 1 x 1 x 1 (đpcm) x 3) Cho M  A : B Tìm số nguyên x để M đạt giá trị lớn Ta có M  A : B  x 1 x 1 = : x x x 1 x x 1 =  x 1 x x 1 Do x  0; x  1; x   nên x  2; x   suy Do M  1   x 1 1      x 1  x 1 = x 1 x 1  1  1 1  x 1  1  1 Dấu xảy x  Bởi giá trị lớn M  đạt x  Bài (2,5 điểm) 1) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Hai vịi nước chảy vào bể cạn sau đầy bể Nếu mở vịi I 45 phút khóa lại mở vịi II 30 phút hai vòi chảy bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể bao lâu? Hướng dẫn giải Gọi thời gian chảy riêng để đầy bể vòi I vòi II x (giờ) y (giờ) (ĐK: x, y  ) (bể) x Mỗi vòi II chảy (bể) y Mỗi vịi I chảy Trang  Đề KSCL Tốn Tháng - 2022 THCS Dịch Vọng Hậu Do hai vịi chảy chung đầy bể nên ta có phương trình 1   (1) x y 3 (h) lượng nước (bể) 4 x 1 Vòi II chảy riêng 30 phút = (h) lượng nước (bể) 2 y Vòi I chảy riêng 45 phút = Khi tổng lượng nước hai vòi chảy bể nên ta có phương trình 3 1 1   (2) x y 1 1 x  y   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình  Đặt 3    x y  a  x (I) ta có hệ  b  y   1 1     a   b a  b  a   b a   b a   b      3 a  b  3  b  1 b  b     b   b        3 8 4 24  1 1   x  a  x   , thay vào (I) ta có  (tmđk)  b  1  y    y Vậy thời gian chảy riêng vòi I đầy bể giờ, thời gian chảy riêng đầy bể vòi II   x   y 1   2) Giải hệ phương trình  3 x     y 1 Hướng dẫn giải x  ĐKXĐ:  (*)  y  1 a  x   Đặt  (I) ta có hệ b  y   a  2b  a  2b  a  2b     3  2b  3  b  3a  b   7b    x 5 1 a  2b  a  2b  a   , thay vào (I) ta      7b   b  1 b  1  y   1  x   x  (tmđk)    y   1  y  2 x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm   y  2 Trang  Đề KSCL Toán THCS Dịch Vọng Hậu Tháng - 2022 Bài (1,5 điểm) Cho đường thẳng d : y   m   x  2m  (m tham số) 1) Vẽ đường thẳng d m  1 2) Gọi A, B giao điểm đường thẳng d với hai trục tọa độ Ox, Oy Tìm m để OA  3OB Hướng dẫn giải 1) Thay m  1 vào phương trình d ta có y  x  Với x   y   P  0;3 Với y   x    x  3  Q  3;0  Đồ thị d đường thẳng qua P Q 2) Xét d : y   m   x  2m  Cho x   y  2m  suy d cắt Oy B  0; 2m  1 Cho y    m   x  2m     m   x  2m  (1) Nếu m    m  2 (1) dẫn đến  5 (vơ lí) 2m   2m   Nếu m    m  2  x  nên d cắt Ox A   m2  m2  2m  2m  Do ta có OA  x A   OB  yB  2m   2m  m2 m2 Suy OA  3OB  2m  m2  m   m   2m  m    2m   m   2m    2m  1  m         m2  1  m   m       m     m   (tmđk)   m    1  Vậy để d cắt Ox, Oy A, B cho OA = 3OB m   ;  ;   2 3 Trang  Đề KSCL Toán THCS Dịch Vọng Hậu Tháng - 2022 thỏa mãn yêu cầu đề bài, A, B trùng OA  OB  Nếu bổ sung A, B phân biệt giá trị m  bị loại Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) điểm S nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến SA cát tuyến SBC (B nằm S C) đường tròn (O) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh bốn điểm S, A, O, I thuộc đường tròn 2) Qua A kẻ đường thẳng vng góc với SO H Chứng minh SA2  SH SO 3) Đường thẳng AH cắt BC K, cắt (O) D Chứng minh SD tiếp tuyến (O) 4) Qua I kẻ đường kính PQ (O) (A P nằm phía đường thẳng SO) Gọi M giao điểm SP với (O) Chứng minh SA2  SK SI ba điểm M, K, Q thẳng hàng Nhận xét: Nếu đầu khơng cho A, B phân biệt giá trị m  Hướng dẫn giải 1) Ta có tam giác SAO vuông A (do SA tiếp tuyến (O)) nên điểm S, A, O thuộc đường trịn đường kính SO (1) Lại có OI vng góc với BC (t/c đường kính dây cung) nên tam giác SOI vuông I nên ba điểm S, O, I thuộc đường trịn đường kính SO (2) Từ (1) (2) suy bốn điểm S, A, O, I thuộc đường trịn đường kính SO (đpcm) 2) Tam giác SAO vng A (cmt), lại có AH đường cao (do AH vng góc với SO H) nên theo hệ thức lượng tam giác vuông suy SA2  SH SO 3) Tam giác OAD cân (O) (do OA = OD = R), lại có OH vng góc với AD H (do AH  suy vng góc với SO H) nên OH phân giác góc AOD hay  AOH  DOH   AOS  DOS  (cmt) OS Xét tam giác SAO tam giác SDO có OA = OD (cùng R),  AOS  DOS   SAO  (2 góc tương ứng) mà SAO   900 chung nên hai tam giác suy SDO Trang  Đề KSCL Toán THCS Dịch Vọng Hậu Tháng - 2022   900 hay SD vng góc với bán kính OD (tam giác SAO vuông A – cmt) nên SDO D nên SD tiếp tuyến đường tròn (O) D 4) *) Chứng minh SA2  SK SI   SIO   900  SHK Xét tam giác SHK tam giác SIO có  nên tam giác SHK đồng dạng với  S : chung  SH SK tam giác SOI Từ suy   SH SO  SK SI (1) SI SO Theo câu 2) ta có SA2  SH SO (2) Từ (1) (2) suy SA2  SK SI (đpcm) *) chứng minh ba điểm M, H, K thẳng hàng   900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên MQ vng góc với MP (3) Ta có PMQ   SPA  (cùng = sd  Xét tam giác SAM tam giác SPA có S chung, SAM AM ) nên hai SA SM tam giác đồng dạng với suy   SA2  SM SP (4) SP SA Lại có SA2  SK SI (5) (cmt) SM SK Từ (4) (5) có SM SP  SK SI   SI SP SM SK Xét tam giác SMK tam giác SIP có (cmt) S : chung nên hai tam giác  SI SP   SIP  (2 góc tương ứng) mà SIP   900 (do OI vng góc đồng dạng với suy SMK   900 suy SM vng góc với MK hay MK vng góc với MP với BC – cmt) nên SMK (6) Từ (3) (6) suy MK, MQ qua M vng góc với MP nên M, K, Q thẳng hàng (đpcm) Bài (0,5 điểm) Cho x, y  thỏa mãn x  y  Tìm giá trị nhỏ P x y  1 x 1 y Hướng dẫn giải 1  x  y x y Do x  y    nên S   y x 1  y  x a  x  a2 b2 Đặt  , x  y   a  b  (1) S   b a b  y  Ta có S  a b2  b2  a2 1    =    a  b  (2) b a b a a b Lại có  a  b   0, a, b , dấu xảy a  b suy a  2ab  b   a  b  2ab , cộng hai vế bất đẳng thức với a  b2 ta  a  b   a  2ab  b   a  b    a  b    a  b  (2), dấu xảy a  b 2 Từ (1) (2) suy  a  b    a  b  (3) Do a, b > nên theo bất đẳng thức AM – GM ta có a  b  ab (4), dấu xảy a b Trang  Đề KSCL Toán Từ (3) (4) suy THCS Dịch Vọng Hậu  ab  ab  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có Từ (5) (6) suy Tháng - 2022 (5) 1 1 (6), dấu xảy a  b  2  a b ab ab 1    2 (7) a b Từ (2), (3) (7) suy S  2   Dấu xảy a  b  ab  2 a  b  1 Do giá trị nhỏ S đạt x  y  Trang ... tương ứng) mà SAO   900 chung n? ?n hai tam giác suy SDO Trang  Đề KSCL To? ?n THCS Dịch V? ??ng Hậu Tháng - 2022? ??   900 hay SD vng góc v? ??i b? ?n kính OD (tam giác SAO vuông A – cmt) n? ?n SDO D n? ?n. .. thu? ??c đường tr? ?n đường kính SO (1) Lại có OI vng góc v? ??i BC (t/c đường kính dây cung) n? ?n tam giác SOI vuông I n? ?n ba điểm S, O, I thu? ??c đường tr? ?n đường kính SO (2) Từ (1) (2) suy b? ?n điểm S,... đường tr? ?n (O) điểm S n? ??m ngồi đường tr? ?n Kẻ tiếp tuy? ?n SA cát tuy? ?n SBC (B n? ??m S C) đường tr? ?n (O) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh b? ?n điểm S, A, O, I thu? ??c đường tr? ?n 2) Qua A kẻ đường thẳng