CHUYÊN đề CHIA hết TOÁN 8

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Tính chất: - Nếu a chia hết cho m n, m, n hai số nguyên tố a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, (b; c) = a chia hết cho c - Với p số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p ( n≥ 1) - Khi chia n + số nguyên dương liên tiếp cho n nhận hai số dư ( n≥ 1) - Trong n số nguyên liên tiếp, ln có số chia hết cho n ( a;b) = d ax + by = d - Nếu tồn hai số nguyên x, y cho: n n a − b = ( a − b) an−1 + − bn−1 => an − bn M( a − b) - Ta có: ( ) ( ) an + bn = ( a + b) an−1 − + bn−1 => an + bn M( a + b) - Ta có: với n số tự nhiên lẻ B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp : Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương HD: n3 + 5n = n3 − n + 6n ( n ta có: ) n3 + 5nM6 n3 − nM6 => n( n − 1) ( n + 1) M6 Ta có: , ta cần chứng minh n( n − 1) ( n + 1) Do tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho n3 + 11nM6,∀n∈ Z Bài 2: Chứng minh : HD : n3 + 11n = n3 − n + 12n = n n2 − + 12n = n( n + 1) ( n − 1) + 12n ( ) Ta có: n( n + 1) ( n − 1) => n( n + 1) ( n − 1) M6 12nM6 => n3 + 11nM6 Vì ba số nguyên liên tiếp A = n( n + 1) ( 2n + 1) M6,∀n∈ N Bài 3: Chứng minh rằng: HD: A = n( n + 1)  ( n − 1) + ( n + 2)  = ( n − 1) n( n + 1) + n( n + 1) ( n + 2) M6 Ta có: Bài 4: Chứng minh rằng: HD: m3 + 3m2 − m− 3M48,∀m lẻ m= 2k + 1,( k ∈ N ) Vì m số lẻ, Đặt A = m3 + 3m2 − m− = ( m+ 3) m2 − = ( m− 1) ( m+ 1) ( m+ 3) ( Khi ta có : ) A = 8( k + 2) ( k + 1) k m= 2k + Thay vào A ta : k ( k + 1) ( k + 2) AM48 M Vì tích ba số tự nhiên liên tiếp nên Vậy n4 − 4n3 − 4n2 + 16nM384,∀n Bài 5: Chứng minh rằng: chẵn HD: n = 2k,( k ∈ N ) Vì n chẵn, Đặt , Khi ta có: A = n − 4n − 4n + 16n = n( n − 4) n2 − n = 2k ( ) , Thay ( k − 2) ( k − 1) k( k + 1) A = 16( k − 2) ( k − 1) k ( k + 1) , Vì Nên chia hết cho B = n5 − 5n3 + 4nM 120,( ∀n∈ N ) vào A ta được: tích số tự nhiên liên tiếp Bài 6: Chứng minh rằng: HD: B = n n4 − 5n2 + = n n2 − n2 − = n( n + 1) ( n − 1) ( n + 2) ( n − 2) M 120 ( ) ( )( ) Ta có: A = n4 − 14n3 + 71n2 − 154n + 120M24 Bài 7: Cho n số nguyên, Chứng minh HD: AM3 AM8 Ta cần chứng minh , ta có : A = n − 14n + 71n − 154n + 120 = n3 ( n − 2) − 12n2 ( n − 2) + 47n( n − 2) − 60( n − 2) A = ( n − 2)  n2 ( n − 3) − 9n( n − 3) + 20( n − 3)  = ( n − 2) ( n − 3)  n( n − 3) − 5( n − 4)  A = ( n − 2) ( n − 3) ( n − 4) ( n − 5) AM3 , Vì A tích số tự nhiên liên tiếp => M M Ngoài số nguyên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, số số M Vậy A n4 + 6n3 + 11n2 + 6nM24 Bài 8: Chứng minh rằng: HD: Ta có: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) AM3 tích số nguyên liên tiếp nên Và A tích số nguyên liên tiếp, nên có số chẵn, số chia hết cho số chia AM8 hết cho 4, Nên Bài 2: CMR: HD : n − n3 − n + n chia hết cho 24 với n ∈Z n − 2n − n + 2n = n n ( n − ) − ( n − )  = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) Ta có: tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho a a2 a3 + + Bài 9: Chứng minh rằng: số nguyên với a nguyên HD: a a2 a3 a( a + 1) ( a + 2) + + = a( a + 1) ( a + 2) 6 M Ta có: Vì tích số nguyên liên tiếp => n5 − nM30,∀n Bài 10: Chứng minh rằng: HD: A = n5 − n = ( n − 1) n( n + 1) n2 + ( ) Ta có: , tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Mặt khác: A = n5 − n = ( n − 1) n( n + 1) n2 − + = ( n − 2) ( n − 1) n( n + 1) ( n + 2) + 5( n − 1) n( n + 1) ( ) ( n − 2) ( n− 1) n( n+ 1) ( n + 2) AM5 tích số nguyên liên tiếp nên n3 + 1964nM48,∀ n Bài 11: Chứng minh rằng: chẵn HD: n = 2k,( k ∈ N ) n3 + 1964n = 8( k − 1) k ( k + 1) + 3888k Vì n số chẵn, Đặt Khi ta có : ( k − 1) k( k + 1) Vì tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho n4 + 7+ 2n3 M64,∀n Thấy ( ) Bài 12: Chứng minh rằng: HD: lẻ ( n = 2k + 1,( k ∈ N ) Vì n lẻ, Đặt Thay ( , Khi ta có: n = 2k + ) ) ( ) A = n4 + 7+ 2n2 = n2 + ( ) A = 16 k2 + k + vào ta được: , k2 + k + = k( k + 1) + 2M2 , Vì > k2 + k + M4 => AM64 Bài 13: Chứng minh rằng: HD: n4 + 6n2 − 7M64,∀n lẻ ( n = 2k + 1,( k ∈ N ) Vì n lẻ, Đặt: Thay )( ) A = n4 + 6n2 − = n2 − n2 + , Khi đó: A = 16k( k + 1) k2 + k + ( n = 2k + , ) vào ta được: A = n2 + 4n + 3M8,∀n Bài 14: Chứng minh rằng: lẻ HD: A = ( n + 1) ( n + 3) n = 2k + 1,( k ∈ N ) => A = ( 2k + 2) ( 2k + 4) M8 Ta có: , Vì n số lẻ, Đặt Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho HD: n − 1; n; n + 1,( ∀n∈ Z) Gọi số nguyên liên tiếp là: ( ) A = ( n − 1) + n3 + ( n + 1) = 3n3 − 3n + 18n + 9n2 + = 3( n − 1) n( n + 1) + n2 + − 18n Gọi ( n − 1) n( n + 1) M3 => 3( n − 1) n( n + 1) M9 Thấy: AM9 Vậy a3 + b3 + c3M6 Bài 16: Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : HD : A = a3 + b3 + c3 − a − b − c = a3 − a + b3 − b + c3 − c ( Xét ) ( ) ( ) a3 − a = a( a − 1) ( a + 1) Mà M Như A => a + b + cM6 a( a − 1) ( a + 1) M6 tích số nguyên liên tiếp nên a + b + c M6 a + b + cM6 3 n12 − n8 − n4 + 1M512,∀n Bài 17: Chứng minh rằng: HD: n = 2k + 1,( k ∈ N ) Vì n lẻ, Đặt , Khi đó: ( )( ) ( lẻ )( ) ( ) A = n12 − n8 − n4 + = n4 − n8 − =  n2 − n2 +  n4 +   Thay ( ) ( n + 1) A = 64 k ( k + 1)  2k2 + 2k + n = 2k + vào A ta được: ( n + 5) ( n + 6) M6n Bài 18: Tìm số tự nhiên n cho: HD: A = ( n + 5) ( n + 6) = n2 + 11n + 30 = 12n + n2 − n + 30 Ta có:  n( n − 1) M3  n2 − nM6 n2 − n + 30M6n   30M6n 30Mn 12nM6n Vì cần chứng minh (1) (2) Từ (1) => n = 3k n = 3k + 1,( k ∈ N ) => n∈ { 1;2;3;5;6;10;15;30} => n∈ { 1;3;10;30} Từ (2) thỏa mãn Bài 20: Chứng minh 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HD: n, n + 1, n + 2, , n + 1989 Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: (1) n, n + 1, n + 2, , n + 999 Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: phải có số chia hết cho 1000, n0 n0 giả sử , Khi có tận chữ số n0 n0, n0 + 9, n0 + 19, , n0 + 899 Giả sử tổng chữ số s 27 số s, s + 1, s + 2, , s + 26 Có tổng chữ số là: , có số chia hết cho 27 ab − a − b + Bài 3: Cho a, b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: chia hết cho 48 ab − a − b + = ( a − 1) ( b − 1) ta có: , HD : Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: 2 a = ( 2n + 1) ; b = ( 2n + 3) ∈Z với n 2 ab − a − b + = (a − 1)(b − 1) = ( 2n + 1) − 1 ( 2n + ) − 1 = 16n ( n + 1) ( n + )    Nên Nên chia hết cho 16 chia hết chia hết cho 48 Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA n A = n( 2n + 7) ( 7n + 7) M6 Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên ta có : HD : 7n+ AM2 Ta có : n số chẵn với số tự nhiên n nên n = 3k + r ( k ∈ N,0 ≤ r ≤ 2) Lấy n chia cho ta : r = => n = 3k => AM3 Với r = => n = 3k + = 2n + = 6k + 9M3 => AM3 Với r = => n = 3k + => 7n + = 21k + 15M3 => AM3 Với A = 4a2 + 3a + 5M6 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 3, Chứng minh : HD : a = 6m± 1,( m∈ Z) Vì a khơng chia hết cho nên a có dạng : ( ) a = 6m+ => A = 4( 6m+ 1) + 3( 6m+ 1) + = 24m2 + 11m+ M6 Với ( ) a = 6m− 1=> A = 4( 6m− 1) + 3( 6m− 1) + = 24m2 − 5m+ M6 Với n2 + 9n − 2M 11 Bài 3: Tìm tất số nguyên dương n cho: HD: n2 + 9n − 2M 11 n2 − 2n − 2M 11 n2 − 2n − M 11 4n2 − 8n + 1M 11 ( ) Ta có: ( 2n − 1) ( 2n − 3) M 11 , Khi đó: 2n− 1M 11 2n− 3M 11 => n = 11m+ n = 11m+ 7,( m∈ N ) 4n + 1M5 Bài 4: Chứng minh có vơ số tự nhiên n cho chia hết cho 13 HD: n = 65k + r,( k ∈ N,0 ≤ r ≤ 64) Đặt n = 65k ± 4r + 1= 65 r = ±4 r Chọn cho , Vậy với số thỏa mãn n/M3 A = 32n + 3n + 1M 13,∀ n∈ N Bài 5: Chứng minh HD: / => n = 3k + r,( k ∈ N,1≤ r ≤ 2) nM Vì A= 3( 3k+ r ) Khi đó: ( ) 36k − 1= 33 ( ) ( ) + 33k+r + = 32r 36k − + 3r 33k − + 32r + 3r + 2k ( ) ( ) 33k − = 33 − N = 26N M 13 − = 33 − M = 26M M 13 Thấy: 2r r r = => + + = + 3+ 1M 13 => AM 13 Với 13 r = => 32r + 3n + = 34 + 32 + = 91M 13 => AM Với 2n − 1M7 Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để HD: n = 3k + r ,( k ∈ N ,0 ≤ r ≤ 2) Lấy n chia cho ta có: r = => n = 3k => 2n − = 23k − = 8k − = ( 8− 1) M = 7M M7 Với r = => n = 3k + => 2n − = 28k+1 − = 2.23k − = 23k − + ( Với ) , k − 1M7 => − n Mà chia dư r = => n = 3k + => 2n − = 23k+2 − = 23k − + ( ) Với Mà 23k − 1M7 => 2n − n = 3k,( k ∈ N ) Vậy với chia dư 2n − 1M7 A = n n2 + n2 + M5,( ∀n∈ Z) ( Bài 7: Chứng minh rằng: HD: )( ) n = 5q + r,( q,r ∈ Z,0 ≤ r ≤ 4) Lấy n chia cho ta được: r = => nM5 => AM5 Với r = 1,4 => n2 + 4M5 => AM5 Với r = 2,3 => n2 + 1M5 => AM5 Với A = a1 + a2 + + an B = a15 + a25 + + an5 A − BM30 Bài 8: Cho , Chứng minh rằng: HD: B − A = a15 − a1 + + an5 − an ( ) ( ) Ta có: a15 − a1 = a1 a14 − = a1 ( a1 + 1) ( a1 − 1) a12 + M30 ( Xét Bài 9: Chứng minh ) ( ( n;6) = ) n2 − 1M24,∀n∈ Z HD: ( n;6) = 1=> n = 6k + r,( k,r ∈ N,r = ±1) Vì Với r = ±1 => n2 − 1M24 22n + 2n + 1M7 Bài 10: Tìm số tự nhiên n để: HD: n = 3k + r,( k,r ∈ N,0 ≤ r ≤ 2) Xét 22n + 2n + 1= 22r 26k − + 2r 23k − + 22n + 2n + ( ) ( ) Ta có: Xét TH cụ thể ta được: 22n + 2n + 1M7 24m4 + = n2 mnM5 Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: , Chứng minh rằng: HD: 24m4 + = n2 = 25m4 − m4 − = 25m4 − ( m− 1) ( m+ 1) m2 + ( ) ( ) Ta có: mM5 => mnM5 => Nếu ĐPCM m5 − m= m m4 − = m( m− 1) ( m+ 1) m2 + / => ( m;5) = mM ( ) ( ) Nếu => = m( m− 1) ( m+ 1) m2 − + = ( m− 2) ( m− 1) m( m+ 1) ( m+ 2) + 5m( m− 1) ( m+ 1) M5 ( Nên ) m4 − 1M5 => n2 M5 => nM5 => mnM5 , ĐPCM x − 8x2 + 2xMx2 + Bài 12: Tìm tất số nguyên x cho : HD : x3 − 8x2 + 2x = x x2 + − x2 + + x + 8Mx2 + => x + 8Mx2 + ( ) ( ) Ta có : x + = => x = −8 Nếu thỏa mãn x ≠ => x + ≥ x + 1=> x∈ { ± 1; ±2} => x∈ { 0;2} Nếu 5a2 + 15ab − b2 M49 3a + bM7 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: HD: 5a2 + 15ab − b2 M49 => 5a2 + 15ab − b2 M7 => 9a2 + 6ab + b2 M7 => ( 3a + b) M7 => 3a + bM7 Ta có: 3a + bM7 => 3a + b = 7k( k ∈ Z) => b = 7k − 3a => 5a2 + 15ab − b2 Mặt khác: ( ) = 5a2 + 15a( 7k − 3a) − ( 7k − 3a) = 49 3ak − a2 M49 a2 + b2 Bài 15: Cho a, b số nguyên dương cho chia hết cho tích a.b 2 a +b A= ab Tính giá trị biểu thức: HD:  a = da1 d = ( a;b) =>  ,( a1;b1) = a2 + b2 = d2 ( a1 + b1) ab = d2ab b = db1 1 Gọi , ta có: b1 => a12 Mb1 a2 + b2 Mab => a12 + b12 Mab => a12 + b12 Ma1 b12 Ma1 1 Vì và ( a1;b1) = 1=> a1Mb1 b1Ma1 => a1 = b1 = Vì 2 d a1 + b1 2.d2a12 A= = =2 2 d2ab d a 1 Vậy ( ) Bài 16: Cho m, n hai số nguyên tố Hãy tìm ước số chung lớn hai số B = m2 + n2 HD : d = UCLN ( A; B) ( m; n) = 1=> A, B Gọi , Vì tính chẵn lẻ : 2 2mn = A − BMd 2mn + 2n = 2nAMd => 2n2 Md (1) 2Md => d = Nếu A, B chẵn m, n lẻ d chẵn, Từ (1) => ( 1) => n2 Md m2 Md Nếu A, B lẻ d lẻ, Từ , tương tự : ( m;n) = => d = Vì 2n = 10a + b,( < b < 10) n> abM6 Bài 17: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: HD: 2n = 10a + b => bM2 => abM2 abM3 Ta có: , ta cần chứng minh 2n = 10a + b => 2n Mặt khác : có chữ số tận b n = 4k + r,( k,r ∈ N,0 ≤ r ≤ 3) => 2n = 16k.2r Đặt r = => 2n = 16k => b = => abM6 Nếu có tận 1≤ r ≤ => 2n − 2x = 2r 16k − M 10 => 2n 2r => b = 2r ( A = m+ n ) Nếu tận n x r k => 10a = − = 16 − M3 => aM3 => abM6 ( ) S = 15 + 25 + 35 + + n5M( 1+ + 3+ + n) n≥ Bài 18: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: HD: 2A = 2( 1+ + 3+ + n) = n( n + 1) Đặt: an + bn Ma + b,(a, b∈ N* ) Mặt khác, với n lẻ ta có: 2S = 15 + n5 +  25 + ( n − 1)  + n5 + Mn +   Nên 5 => 2S =  15 + ( n − 1) + 25 + ( n − 2) + + ( n − 1) +  + 2n5Mn   ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( n;n + 1) = 1=> 2SMn( n + 1) = 2A => SMA Mà p 1 = 1− + − + ,( p,q∈ Z) q 1319 Bài 19: Cho HD: pM 1979 Chứng minh 1 p  1   =  1+ + + − 2 + + + ÷ q  1319 1318÷ 2  Ta có:  1   1  1 =  1+ + + − 1+ + + + + + ÷ ÷= 1319 659     660 1319 =>  2.p  1   1   1979.A = + + + + +  + ÷ ÷ ÷= B q  660 1319   661 1318  1319 660  => q = 2p.B 1979.A / 1979 => pM BM 1979 Mà ( a1, a2, a3, an ∈ { 1; −1} , n∈ N* Bài 20: Cho , thỏa mãn: Chứng minh rằng: HD: ) a1a2 + a2a3 + a3a4 + + ana1 = , nM4 x1 = a1a2, x2 = a2a3, , xn = ana1 => x1, x2, x3 ∈ { 1; −1} Đặt , Hơn x1 + x2 + + xn = (m∈ N * ) Thì số -1 Giả sử có m số m số -1 => n = 2m x1x2x3 xn = ( −1) m x1x2x3 xn = ( a1a2 an ) = và Từ ta m số chẵn => n chia hết cho ( a + b) /7 ab( a + b) M Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b cho: HD: − a7 − b7M77 10 ( a + b) ( − a7 − b7 = 7ab( a + b) a2 + ab + b2 ) Ta có: / => a2 + ab + b2 M73 ab( a + b) M Vì b = => a2 + a + = 73 => a Chọn 11 Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG Bài 1: Chứng minh : HD: / 49,∀n∈ N S = n2 + 3n − 38M S = n2 + 3n − 38M49 Giả sử tồn số tự nhiên n để S = n2 + 3n − 38− 7( n − 6) = n2 − 4n + Khi đó: , SM49 => SM7 => ( n − 2) M7 => n − 2M7 => n = 7t + 2 Mà S = 49 t2 + t − 28 => S/M49 ( , thay vào S ta được: ) trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với số tự nhiên n / 15,∀n∈ Z n + n + 2M Bài 2: Chứng minh: HD: n2 + n + 2M 15 => n2 + n + 2M3 => n( n + 1) + 2M3 Giả sử:  n = 3k + / =>  => nM ,k ∈ Z  n = 3k − Từ (1) => n2 − = ( n − 1) ( n + 1) M3 Lại có: /3 n2 + n + = n2 − 1+ n + 3M (1) mâu thuẫn với giả thiết, Vậy / 121,∀n∈ N n + 3n + 5M / 15 n2 + n + 2M Bài 3: Chứng minh rằng: HD: Giả sử: n2 + 3n + 5M 121 => n2 + 3n + 5M 11 => 4n2 + 12n + 20M 11 => 4n2 + 12n + + 11M 11 => ( 2n + 3) + 11M 11 Nhưng A = n2 + 3n + 5M 11 A= A/M121 11 / 121 M n2 + n+ Bài 4: Xét phân số Hỏi có phân số tự nhiên n khoảng từ đến 2002 cho phân số A chưa tối giản HD: d = n2 + 4; n + => d > ( ) Giả sử A chưa tối giản Đặt ( n + 5) − ( n 2 ) + Md => 10n + 21Md => 10( n + 5) − 29Md => 29Md => d = 29 Ta có: n + 5M29 => n + = 29k, k ∈ N* => n2 + = 29 29m2 − 5k + M29 => A ( Nếu ) ( ( n + = 29k, k ∈ N * ) ) Ngược lại: tối giản => 1≤ n ≤ 2002 1≤ m≤ 69 Do đó, ta cần tìm n cho 12 Vậy có tất 69 giá trị m n có 69 giá trị để A chưa tối giản Bài 5: Chứng minh rằng: HD: / 343,∀n∈ N 9n3 + 9n2 + 3n − 16M Bài 6: Có tồn số tự nhiên n cho HD: Giả sử tông số tự nhiên n để n2 + n + 2M49 không n2 + n + 2M49 => 4n2 + 4n + 8M49 => ( 2n + 1) + 7M49 => ( 2n + 1) M7 2 => 2n + 1M7 => ( 2n + 1) + 7M49 => 7M49 Vì số ngun tố từ ( vơ lý) * n + n + 1M9,∀n∈ N Bài 7: Chứng minh rằng: HD: n2 + n + 1M9 => ( n + 2) ( n − 1) + 3M9 Giả sử tồn số tự nhiên n cho ( n+ 2) M3 ( n− 1) M3 Vì số nguyên tố nên ( n + 2) M3 => ( n + 2) ( n − 1) + 3M3 Nếu không chia hết cho ( n − 1) M3 => ( n + 2) ( n − 1) M3 Nếu không chia hết cho 4n − 4n + 18M289,∀n∈ N Bài 8: Chứng minh rằng: HD: 4n2 − 4n + 18M289 => ( 2n − 1) + 17M 172 => ( 2n − 1) M 17 Giả sử tồn số tự nhiên n để ( 2n − 1) M17 => ( 2n − 1) Vì 17 số nguyên tố nên ( ( a;b) ( 2n − 1) M289 / 289 + 17M Khi đó: a + b2 Ma2b − )( ) Bài 9: Tìm tất cặp số nguyên dương cho: HD: a + b2 Ma2b − => ∃k ∈ N * : a + b2 = k a2b − a + k = b ka2 − b ( Gỉả sử m= ka2 − b,( m∈ Z) => a + k = mb ) ( ) a,b, k ∈ N * => m∈ N * Đặt , Do ( m− 1) ( b − 1) = mb − m− b + 1= a + k − ka2 + 1= ( a + 1) ( k − ka + 1) , mb , ∈ N => ( m− 1) ( b − 1) ≥ => 1≥ k( a − 1) * Vì TH1 : k( a − 1) = => a = , ta có: , Do k, a∈ N* => a − ≥ ta có : ( m− 1) ( b − 1) = ( a + 1) ( k − ka + 1) thay vào đẳng thức ta : 13  m− =  m= ( m− 1) ( b − 1) = => b − 1= b =  Ta được: k ( a − 1) = => k = a − = 1=> k = TH2: ( m− 1) ( b − 1) = ( a + 1) ( k − ka + 1) Nếu m=  a= k = 1, a = , Thay vào đẳng thức ta được: ( m− 1) ( b − 1) = => m= b = ta được: a + k = mb => b = từ ( a;b) = ( 1;2) ,( 1;3) ,( 2;1) ,( 2;3) Vậy cặp số 14 An + BnM( A + B) ,∀n Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: LẺ A = 2005n + 60n − 1897n − 168n M2004,∀n∈ N Bài 1: Chứng minh HD: AM 12, AM 167 2004 = 12.167 Ta có: , ta cần chứng minh n A = 2005 − 1897n − 168n − 60n ( ) ( Ta có : ) an − bnM( a − b) , a− b ≠ Áp dụng tính chất : với n tự nhiên 2005n − 1897n M( 2005− 1897) 168n − 60nM( 168− 60) M Khi : => Vậy A 12 A = 2005n − 168n − 1897n − 60n AM 167 ( ) ( Tương tự : Bài 2: Cho HD: n∈ N ) Khi A = 5 + − + M91 n ( n ) n ( n n ) , CMR : AM7 AM 13 Ta cần chứng minh n n n A = 25 + − 18 − 12n = 25n − 18n − 12n − 5n ( Ta có : ) ( ) an − bn M( a − b) => AM7 Áp dụng tính chất : A = 25n − 12n − 18n − 5n => AM 13 ( ) ( ) Tương tự : n∈ N 62n + 19n − 2n+1M 17 Bài 3: Cho , Chứng minh rằng: HD: A = 62n + 19n − 2n+1 = 36n + 19n − 2.2n = 36n − 2n + 19n − 2n ( ) ( ) Ta có: 36n − 2nM( 36 − = 34) 19n − 2nM 17 Vì 13 + 33 + 53 + 73M23 Bài 4: Chứng minh rằng: HD : A = 13 + 33 + 53 + 73 = 13 + 73 + 33 + 53 = 8N + 8M M ( ) ( ) Ta có: 28n.56n − 1980n − 441n + 1M 1979,∀n∈ N Bài 5: Chứng minh rằng: HD: A = 28n.56n − 1980n − 441+ = 46n − 441n − 1980n − 1n ( ) ( ) Ta có: 15 Vì 46n − 441n = 4000000n − 441n M3999559 − M35,∀n∈ N 6n Bài 6: Chứng minh rằng: HD: 1980n − 1n M 1979 6n ( ) − ( ) = ( − ) M = ( + ) ( − ) M = 35.19M M35 36n − 26n = 36 n n 6 3 3 Ta có: 5n +2 + 26.5n + 82 n +1 M 59 Bài 7: CMR với số tự nhiên n ta có : HD : n n n n n n n 5n + + 26.5n + 82 n+1 M 59 51.5 + 8.64 = ( 59 − ) + 8.64 = 59.5 + ( 64 − ) Ta có: = n ( 64 − ) M( 64 − 5) Vì nên ta có đpcm 92n + 14M 15 Bài 8: Chứng minh rằng: HD: 92n + 14 = 92n − 1+ 15 = 81n − + 15 = 80n + 15M5 ( ) Ta có: A = 20n + 16n − 3n − 1M232,∀n∈ N Bài 9: Chứng minh rằng: HD: 232 = 17.19 Tách n A = 20 − 3n + 16n − ( Khi đó: ) ( ) 20n − 3n = ( 20 − 3) M = 17M M 17 Lại có: Khi đó: 16n − = ( 16 + 1) N = 17N M 17 , AM 17 ( ) ( A = 20n − + 16n − 3n ) Mặt khác: , n 20 − = ( 20 − 1) P = 19.P M 19 16n − 3n = ( 16 + 3) Q = 19.QM 19 => AM 19 Mà nn − n2 + n − 1M( n − 1) ,∀n > Bài 10: Chứng minh rằng: HD: n = => nn − n2 + n − = 1M( n − 1) = Với ( ) n > => A = nn − n2 + n − = nn − n2 + ( n − 1) Với 16 ( ) ( ) = n2 nn−2 − + ( n − 1) = n2 ( n − 1) nn−3 + nn−4 + + + ( n − 1) ( ) ( ) ( ) 2 = ( n − 1) nn−1 + nn−2 + + n2 + = ( n − 1)  nn−1 − + + n2 − + ( n − 1)  = ( n − 1) M M( n − 1)   Bài 11: Chứng minh rằng: HD: 32n+1 + 22n+2 M7,∀n∈ N 32n+1 + 22n+2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n = 3.( 7+ 2) + 4.2n = 7.M + 7.2n M7 n Ta có: ( ) mn m4 − n4 M30,∀m, n∈ N Bài 12: Chứng minh rằng: HD: mn m4 − n4 = mn m2 − m2 + − mn n2 − n2 + M30 ( ) ( )( ) ( )( ) Ta có: A = 3n + 63M72, n∈ N, n ≥ Bài 13: Chứng minh rằng: n số chẵn HD: n = 2k,( k ∈ N ) => 3n + 63 = 32k + 63 = 32k − + 64 = 9k − + 64M ( ) ( Đặt ) hay AM8 63M9 => AM9 A = 20n + 16n − 3n − 1M323 n≥ => M9 n Mặt khác: Bài 14: Tìm giá trị n để: HD: 323 = 17.19 Ta có: Bài 15: Tìm số tự nhiên n để HD: Ta có: A = 32n+3 + 24n+1M25 A = 32n+3 + 24n+1 = 32n.27+ 24n.2 = 32n.25+ 32n.2 + 24n.2 ( = 32n.25+ 9n + 16n ) a( a − 1) ( b − 1) M 192 Bài 16: Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: HD: a = ( 2k − 1) , b = ( 2k + 1) ,( k ∈ N ) 2 Đặt ( a − 1) ( b − 1) = 16k( k + 1) ( k − 1) M64 , Khi ta có: M abcM60 a2 = b2 + c2 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: , Chứng minh rằng: HD : M = abc Ta có : 60=3.4.5, đặt => a2,b2,c2 Nếu a, b, c không chia hết cho chia hết cho dư 2 => a ≠ b + c MM3 , Do có số chia hết cho Vậy 17 => a2,b2,c2 Nếu a, b, c không chia hết cho chia dư 2 2 => b + c => a ≠ b + c2 M chia dư hoặc , Do có số chia hết cho => M => b2 + c2 ≡ ( mod4) => a2 ≠ b2 + c2 => b2,c2 Nếu a, b, c số lẻ chia dư Do hai số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn: M + Nếu c số chẵn =>M => b2 = ( a − c) ( a + b) a2 = b2 + c2 => a + Nếu c số lẻ, mà số lẻ  b  a + c   a − c  b =>  ÷ =  => ÷ ÷  2     Vậy M = abcM3.4.5 chẵn => bM4 => M M4 36n2 + 60n + 24M24 Bài 18: Chứng minh rằng: HD : = 36n2 + 60n + 24 = 12n( 3n + 5) + 24 Ta có: , n;3n+ Thấy không đồng thời chẵn lẻ > n( 3n + 5) M2 => ĐPCM 18 Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP A = 16n − 15n − 1M225,∀n∈ N * Bài 1: Chứng minh HD: n = => A = 0M225 Với n= k ≥ A = 16k − 15k − 1M225 Giả sử 16k+1 − 15( k + 1) − 1M225 n= k+1 Ta cần chứng minh với k+1 16 − 15( k + 1) − = 16.16k − 15k − 16 = 16k − 15k − + 15.16k − 15 ( Thật vậy: = 16k − 15k − 1+ 15.15.M = A + 225.M M 225 3n+ 3 Bài 2: Chứng minh rằng: HD: Bài 3: Chứng minh rằng: HD: Vậy ) A = 16n − 15n − 1M225,∀n∈ N * − 26n − 27M29,∀n ≥ 42n+ − 1M 15,∀n∈ N* 19 ... không chia hết cho chia hết cho dư 2 => a ≠ b + c MM3 , Do có số chia hết cho Vậy 17 => a2,b2,c2 Nếu a, b, c không chia hết cho chia dư 2 2 => b + c => a ≠ b + c2 M chia dư hoặc , Do có số chia hết. .. 2) ( n − 1) + 3M3 Nếu không chia hết cho ( n − 1) M3 => ( n + 2) ( n − 1) M3 Nếu không chia hết cho 4n − 4n + 18M 289 ,∀n∈ N Bài 8: Chứng minh rằng: HD: 4n2 − 4n + 18M 289 => ( 2n − 1) + 17M 172 =>... = n ( n − 1) ( n + 1) ( n − ) Ta có: tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho a a2 a3 + + Bài 9: Chứng minh rằng: số nguyên với a nguyên HD: a a2