CĐ 3 chuyên đề chia hết (r)

CHUYÊN ĐỀ CHIA HẾT A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Tính chất: - Nếu a chia hết cho m n, m, n hai số nguyên tố a chia hết cho m.n - Nếu tích a.b chia hết cho c, (b; c) = a chia hết cho c - Với p số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p - Khi chia n + số nguyên dương liên tiếp cho n  số dư - Trong n  - Nếu n 1 - Ta có: ln nhận hai số ngun liên tiếp, ln có số chia hết cho n  a;b  d - Ta có: n 1 tồn hai số nguyên x, y cho: ax  by  d    a  b  a    a  b M a  b an  bn   a  b an1   bn1  an  bn M a  b an  bn n1   bn1 n n với n số tự nhiên lẻ B LUYỆN TẬP Dạng 1: SỬ DỤNG TÍCH CÁC SỐ LIÊN TIẾP Phương pháp : Bài 1: Chứng minh với số nguyên dương n ta có: n  5nM6 HD: Ta có:   n3  5n  n3  n  6n n  nM6  n n  1  n  1 M6 , ta cần chứng minh    tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Do  Bài 2: Chứng minh : n  11nM6,n Z HD : n n n Ta có: Vì n n  1  n  1 12nM6  n  11nM6   n3  11n  n3  n  12n  n n2   12n  n n  1  n  1  12n ba số nguyên liên tiếp  n n  1  n  1 M6 Bài 3: Chứng minh rằng: HD: A  n n  1  2n  1 M6,n N A  n n  1  n  1   n  2    n  1 n n  1  n n  1  n  2 M6   Ta có: Bài 4: Chứng minh rằng: m  3m  m 3M48,m lẻ HD: Vì m số lẻ, Đặt Khi ta có : m 2k  1, k  N    A  m3  3m2  m   m 3 m2    m 1  m 1  m 3 A  8 k  2  k  1 k Thay m 2k  vào A ta : k k  1  k  2 Vì  tích ba số tự nhiên liên tiếp nên M6 Vậy AM48 Bài 5: Chứng minh rằng: n  4n  4n  16nM384,n chẵn HD: Vì n chẵn, Đặt n  2k, k  N  , Khi ta có:   A  n  4n  4n  16n  n n  4 n2  4 A  16 k  2  k  1 k  k  1 , Vì , Thay n  2k vào A ta được:  k  2  k  1 k k  1 tích số tự nhiên liên tiếp Nên chia hết cho Bài 6: Chứng minh rằng: HD:  B  n5  5n3  4nM 120, n N      B  n n4  5n2   n n2  n2   n n  1  n  1  n  2  n  2 M 120 Ta có: Bài 7: Cho n số nguyên, Chứng minh A  n  14n  71n  154n  120M24 HD: Ta cần chứng minh AM3 AM8 , ta có : A  n4  14n3  71n2  154n  120  n3  n  2  12n2  n  2  47n n  2  60 n  2 A   n  2  n2  n  3  9n n  3  20 n  3    n  2  n  3  n n  3  5 n 4  A   n  2  n  3  n  4  n  5 , Vì A tích số tự nhiên liên tiếp => AM3 Ngoài số nguyên liên tiếp có hai số chẵn liên tiếp, số M2 số M4 Vậy A M8 Bài 8: Chứng minh rằng: n  6n  11n  6nM24 HD: Ta có: A  n4  6n3  11n2  6n  n n  1  n  2  n  3 tích số nguyên liên tiếp nên AM3 Và A tích số nguyên liên tiếp, nên có số chẵn, số chia hết cho số chia hết cho 4, Nên AM8 Bài 2: CMR: n  2n  n  2n chia hết cho 24 với n  Z HD : n  2n  n  2n  n  n  n     n     n  n  1  n  1  n   Ta có: tích số tự nhiên liên tiếp nên có số chia hết cho số chia hết chia hết cho chia hết cho a a2 a3   Bài 9: Chứng minh rằng: số nguyên với a nguyên HD: a a2 a3 a a  1  a  2    a a  1  a  2 Ta có: Vì  tích số ngun M liên tiếp => Bài 10: Chứng minh rằng: n  nM30,n HD:   A  n5  n   n  1 n n  1 n2  Ta có: chia hết cho Mặt khác:  , tích số nguyên liên tiếp nên  A  n5  n   n  1 n n  1 n2     n  2  n  1 n n  1  n  2  5 n  1 n n  1 n  2  n  1 n n  1  n  2 Thấy  tích số nguyên liên tiếp nên AM5 Bài 11: Chứng minh rằng: n  1964nM48, n chẵn HD: Vì n số chẵn, Đặt n  2k, k  N  n  1964n  8 k  1 k k  1  3888k Khi ta có : Vì  k  1 k k  1 tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho Bài 12: Chứng minh rằng: HD:   n4  7 2n3 M64,n lẻ n  2k  1, k  N  Vì n lẻ, Đặt , Khi ta có:    A  16 k2  k  n  k  Thay vào ta được:      A  n4  7 2n2  n2  , k2  k   k  k  1  2M2 , Vì  k2  k  M4  AM64 Bài 13: Chứng minh rằng: n  6n  7M64,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt: n  2k  1, k  N  , Khi đó:     A  16k  k  1 k  k  Thay n  2k  vào ta được: Bài 14: Chứng minh rằng: A  n  4n  3M8,n lẻ HD: Ta có:  A  n4  6n2   n2  n2  A   n  1  n  3 , , Vì n số lẻ, Đặt n  2k  1, k  N   A   2k  2  2k  4 M8 Bài 15: Chứng minh rằng: tổng lập phương ba số nguyên liên tiếp chia hết cho HD: Gọi số nguyên liên tiếp là: Gọi n  1; n; n  1, n Z   A   n  1  n3   n  1  3n3  3n  18n  9n2   3 n  1 n n  1  n2   18n 3        Thấy:  Vậy AM9 3 Bài 16: Cho a, b, c số nguyên Chứng minh : a  b  c M6 a  b  cM6 HD : n  n n  M3  n  n n  M9 Xét Mà       A  a3  b3  c3  a  b  c  a3  a  b3  b  c3  c a3  a  a a  1  a  1 a a  1  a  1 M6 tích số nguyên liên tiếp nên Như AM6 => a  b  c M6  a  b  cM6 12 Bài 17: Chứng minh rằng: n  n  n  1M512,n lẻ HD: Vì n lẻ, Đặt 3 n  2k  1, k  N    , Khi đó:       A  n12  n8  n4   n4  n8    n2  n2   n4    Thay n  2k  vào A ta được: Bài 18: Tìm số tự nhiên n cho: HD: Ta có:    n  1 A  64 k  k  1  2k2  2k   n  5  n  6 M6n A   n  5  n  6  n2  11n  30  12n  n2  n  30  n n  1 M3 (1)  n2  nM6 n  n  30M6n     30M6n (2) 30Mn Vì 12nM6n cần chứng minh n  3k  1, k  N   n  3k Từ (1)     thỏa mãn Từ (2) Bài 20: Chứng minh 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số chia hết cho 27 HD: Giả sử 1900 số tự nhiên liên tiếp là: n, n  1,n  2, ,n  1989 (1) Trong 1000 số tự nhiên liên tiếp: n, n  1, n  2, ,n  999 phải có số chia hết cho 1000,  n 1;2;3;5;6;10;15;30  n 1;3;10;30 giả sử n0 , Khi n0 có tận chữ số Giả sử tổng chữ số n0 s 27 số n0, n0  9, n0  19, , n0  899 Có tổng chữ số là: s, s  1, s  2, , s  26 , có số chia hết cho 27 Bài 3: Cho a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp, CMR: ab  a  b  chia hết cho 48 ta có: HD : ab  a  b    a  1  b  1 , Vì a,b bình phương hai số nguyên lẻ liên tiếp nên: a   2n  1 ; b   2n  3 2 với n Z 2 ab  a  b   (a  1)(b  1)   2n  1  1  2n  3  1  16n  n  1  n       Nên Nên chia hết cho 16 chia hết chia hết cho 48 Dạng 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA   Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta có : HD : Ta có : n 7n số chẵn với số tự nhiên n nên AM2 A  n 2n  7n  7 M6   Lấy n chia cho ta : Với r   n  3k  AM3 Với r   n  3k   2n   6k  9M3  AM3 Với r   n  3k   7n   21k  15M3  AM3 Bài 2: Cho số nguyên a không chia hết cho 3, Chứng minh : n  3k  r k  N,0  r  A  4a2  3a  5M6 HD : Vì a khơng chia hết cho nên a có dạng : a  6m 1, m Z   a  6m  A  4 6m 1  3 6m 1   6 24m  5m 1 M6 Với a  6m  A  4 6m 1  3 6m 1   24m2  11m M6 Với 2 Bài 3: Tìm tất số nguyên dương n cho: n  9n  2M11 HD: Ta có:   n2  9n  2M 11 n2  2n  2M 11 n2  2n  M 11 4n2  8n  1M 11   2n  1  2n  3 M 11 ,   Khi đó: 2n 1M11 2n 3M11  n  11m Bài 4: Chứng minh có vơ số tự nhiên n cho 4n  1M5 chia hết cho 13 HD: n  11m 7, m N   Đặt Chọn r cho 4r   65  r  4 , Vậy với số n  65k  thỏa n  65k  r, k  N,0  r  64 mãn 2n n Bài 5: Chứng minh nM3 A    1M13, n N HD: Vì   n  3k  r, k  N,1 r  2 nM Khi đó: A 3 3k r    36k  1 33      33kr   32r 36k   3r 33k   32r  3r  2k     33  M  26M M 13  Lấy n chia cho ta có: Với Với  33k   33  N  26N M 13 Thấy: 2r r Với r       3 1M13  AM13 2r n Với r         91M13  AM13 n Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để  1M7 HD: n  3k  r, k  N,0  r  2 r   n  3k  2n  1 23k  1 8k    8 1 M  7M M7   r   n  3k   2n   28k1   2.23k   23k   Mà k 1M7   chia dư n   r   n  3k   2n  1 23k   23k   Với 3k n Mà  1M7   chia dư Vậy với n  3k, k  N  Bài 7: Chứng minh rằng: HD: n  1M7    A  n n2  n2  M5, n Z n  5q  r, q,r  Z,0  r  4 Lấy n chia cho ta được: Với r   nM5  AM5 Với r  1,4  n  4M5  AM5 Với r  2,3  n  1M5  AM5 , 5 Bài 8: Cho A  a1  a2   an B  a1  a2   an , Chứng minh rằng: A  BM30 HD:     a  a  a  a  1  a  a  1  a  1  a  1 M30 Xét Ta có: B  A  a15  a1   an5  an 1 1  n;6  Bài 9: Chứng minh HD: 1 n  1M24,n Z  Vì   Với r  1  n  1M24 2n n Bài 10: Tìm số tự nhiên n để:   1M7 HD: n;6   n  6k  r, k,r  N,r  1 Xét n  3k  r, k,r  N,0  r  2     22n  2n   22r 26k   2r 23k   22n  2n  Ta có: 2n n Xét TH cụ thể ta được:   1M7 Bài 11: Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m  1 n , Chứng minh rằng: mnM5 HD:     24m4   n2  25m4  m4   25m4   m 1  m 1 m2  Ta có: Nếu mM5  mnM5  ĐPCM Nếu    m;5  mM  =>     m5  m m m4   m m 1  m 1 m2    m m 1  m 1 m2     m 2  m 1 m m 1  m 2  5m m 1  m 1 M5 Nên m  1M5  n M5  nM5  mnM5 , ĐPCM 2 Bài 12: Tìm tất số nguyên x cho : x  8x  2xMx  HD :     x3  8x2  2x  x x2   x2   x  8Mx2   x  8Mx2  Ta có : Nếu x    x  8 thỏa mãn     Nếu 2 Bài 13: Cho hai số tự nhiên a, b, Chứng minh rằng: 5a  15ab  b M49  3a  bM7 HD: Ta có: x   x   x2   x  1; 2  x 0;2 5a2  15ab  b2 M49  5a2  15ab  b2 M7  9a2  6ab  b2 M7   3a  b M7  3a  bM7 Mặt khác: 3a  bM7  3a  b  7k  k  Z  b  7k  3a  5a2  15ab  b2    5a2  15a 7k  3a   7k  3a  49 3ak  a2 M49 2 Bài 15: Cho a, b số nguyên dương cho a  b chia hết cho tích a.b a2  b2 A ab Tính giá trị biểu thức: HD:  a  da1  d   a; b   , a ; b   a2  b2  d2  a1  b1 b  db1 1   1 Gọi , ta có: ab  d ab 2 2 2 2 a  b Mab  a1  b1 Mab  a1  b1 Ma1 b1 Ma1 b1  a1 Mb1 1 Vì Vì  a ;b   1 a Mb 1 A  d2 a12  b12 d2ab 1 và b1Ma1  a1  b1    2.d a 2 2 da 2 Vậy Bài 16: Cho m, n hai số nguyên tố Hãy tìm ước số chung lớn hai số A  m n 2 B  m  n HD : Gọi d  UCLN  A; B , Vì  m; n  1 A, B tính chẵn lẻ : 2mn  A  BMd 2mn  2n  2nAMd  2n Md (1) Nếu A, B chẵn m, n lẻ d chẵn, Từ (1) => 2Md  d  2 Nếu A, B lẻ d lẻ, Từ Vì  m; n  1 d   1  n Md , tương tự : m Md 2 2n  10a  b,  b  10 n Bài 17: Cho số tự nhiên , Chứng minh rằng: abM6 HD: n Ta có:  10a  b  bM2  abM2 , ta cần chứng minh abM3 n n Mặt khác :  10a  b  có chữ số tận b n  4k  r, k,r  N,0  r  3  2n  16k.2r Đặt n k Nếu r    16 có tận  b   abM6 Nếu   1 r   2n  2x  2r 16k  M 10  2n    10a  2n  2x  2r 16k  M3  aM3  abM6 Bài 18: Cho số tự nhiên n , Chứng minh rằng: S  15  25  35   n5M 1  3  n HD: r r tận  b  Đặt: 2A  2 1  3  n  n n  1 n n * Mặt khác, với n lẻ ta có: a  b Ma  b,(a,b N )     2S  15  n5   25   n  1   n5  Mn     Nên 5  2S   15   n  1  25   n  2    n  1    2n5Mn    n;n  1  1 2SMn n 1  2A  SMA       Mà p 1  1    , p, q Z 1319 Bài 19: Cho q Chứng minh pM1979 HD: 1 p  1     1         1319  1318  2 Ta có: q   1   1  1   1    1        1319 659     660 1319  2.p  1   1   1979.A 2p.B            B  q  q  660 1319  661 1318 1319 660   1979.A  1979  pM 1979 Mà B M   a1, a2, a3, an   1; 1 , n N * Bài 20: Cho Chứng minh rằng: nM4 HD: Đặt  , thỏa mãn: a1a2  a2a3  a3a4   ana1  , x1  a1a2, x2  a2a3, , xn  ana1  x1, x2, x3   1; 1 , Hơn x1  x2   xn  Thì số -1 Giả sử có m số m số -1 (m N ) *  n  2m x1x2x3 xn   1 m x1x2x3 xn   a1a2 an   Từ ta m số chẵn => n chia hết cho Bài 21: Tìm hai số nguyên dương a, b cho: HD:  a  b  a  b  7ab a  b  a Ta có:   a  ab  b M7 ab a  b M Vì  7 2 3 Chọn b  1 a  a  1  a 7 ab a  b M  ab  b2  a  b   a7  b7M77 Dạng 3: CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG  49,n N Bài 1: Chứng minh : S  n  3n  38M HD: Giả sử tồn số tự nhiên n để S  n  3n  38M49 S  n2  3n  38 7 n  6  n2  4n  Khi đó: , SM49  SM7   n  2 M7  n  2M7  n  7t  2 Mà   S  49 t  t  28  SM49 , thay vào S ta được: trái với giả sử, Vậy S không chia hết cho 49 với số tự nhiên n  15,n Z Bài 2: Chứng minh: n  n  2M HD: Giả sử: n2  n  2M 15  n2  n 2M3  n n  1  2M3 (1)  n  3k      nM ,k  Z n  k   Từ (1)  n    n  1  n  1 M3 2  mâu thuẫn với giả thiết, Vậy n2  n  2M  15 Lại có: n  n   n  1 n  3M  121,n N Bài 3: Chứng minh rằng: n  3n  5M HD: Giả sử: n2  3n  5M 121  n2  3n  5M 11  4n2  12n  20M 11  4n2  12n   11M 11   2n  3  11M 11 2  121 Nhưng A  n  3n  5M11 AM121 11 M A n2  n  Hỏi có phân số tự nhiên n khoảng từ Bài 4: Xét phân số đến 2002 cho phân số A chưa tối giản HD: Giả sử A chưa tối giản Đặt   d  n2  4; n   d   n  5   n Ta có: 2   Md  10n  21Md  10 n  5  29Md  29Md  d  29 Ngược lại: Nếu     n  5M29  n   29k, k  N*  n2   29 29m2  5k  M29  A tối giản Do đó, ta cần tìm n cho   n   29k, k  N *  1 n  2002  1 m 69 Vậy có tất 69 giá trị m n có 69 giá trị để A chưa tối giản  343,n N Bài 5: Chứng minh rằng: 9n  9n  3n  16M HD: Bài 6: Có tồn số tự nhiên n cho n  n  2M49 không HD: Giả sử tông số tự nhiên n để n2  n  2M49  4n2  4n  8M49   2n  1  7M49   2n  1 M7 2  2n  1M7   2n  1  7M49 Vì số nguyên tố * Bài 7: Chứng minh rằng: n  n  1M9,n N HD: Giả sử tồn số tự nhiên n cho từ  7M49 ( vơ lý) n2  n  1M9   n  2  n  1  3M9  n 2 M3  n 1 M3 n  2 M3   n  2  n  1  3M3 Nếu  không chia hết cho n  1 M3   n  2  n  1 M3 Nếu  không chia hết cho Vì số nguyên tố nên Bài 8: Chứng minh rằng: 4n  4n  18M289,n N HD: Giả sử tồn số tự nhiên n để 4n2  4n  18M289   2n  1  17M 172   2n  1 M 17 2n  1 M 17   2n  1 Vì 17 số nguyên tố nên   2n  1 2 M289 Khi đó:  289  17M a;b Bài 9: Tìm tất cặp số nguyên dương   HD: Gỉả sử   a  b  M a b  1 cho:    a  b2 Ma2b   k  N * : a  b2  k a2b   a  k  b ka2  b Đặt m ka2  b, m Z  a  k  mb * * , Do a,b, k  N  m N , ta có:  m 1  b  1  mb  m b  1 a  k  ka  1  a  1  k  ka  1 , mb ,  N   m 1  b  1   1 k a  1 Vì , Do k, a N  a  1 k a  1   a  TH1 :  thay vào đẳng thức ta :  m 1  b  1   a  1  k  ka  1 * Ta được: *  m   m   ta có :  m 1  b  1   b  1  b  k a  1  1 k  a    k  TH2: thức ta được:  m 1  b  1   a  1  k  ka  1 ta được: Nếu m từ a  k  mb  b  Vậy cặp số a  2, Thay k  1, a  vào đẳng  m 1  b  1   m b   a;b   1;2 , 1;3 , 2;1 , 2;3 Dạng 4: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT: An  Bn M A  B ,n LẺ Bài 1: Chứng minh A  2005  60  1897  168 M2004,n N HD: Ta có: 2004  12.167 , ta cần chứng minh AM12, AM167 n Ta có :  n n   A  2005n  1897n  168n  60n Áp dụng tính chất : Khi : an  bn M a  b ,   với n tự nhiên a  b  2005n  1897n M 2005 1897 Tương tự : n   168n  60n M 168 60 A  2005  168  1897  60 n n  n  n  => Vậy A M12 Khi AM167   A  5n 5n   6n 3n  2n M91 n  N Bài 2: Cho , CMR : HD: Ta cần chứng minh AM7 AM13 Ta có :    A  25n  5n  18n  12n  25n  18n  12n  5n Áp dụng tính chất :   an  bn M a  b  AM7    A  25n  12n  18n  5n  AM 13 Tương tự : 2n n n1 Bài 3: Cho n N , Chứng minh rằng:  19  M17 HD: Ta có:    A  62n  19n  2n1  36n  19n  2.2n  36n  2n  19n  2n    19  M17 Vì 3 3 Bài 4: Chứng minh rằng:    M2 HD : 36n  2n M36   34 n n     A  13  33  53  73  13  73  33  53  8N  8M M Ta có: 8n 6n n n Bài 5: Chứng minh rằng:  1980  441  1M1979,n N HD:    A  28n.56n  1980n  441  46n  441n  1980n  1n  Ta có: 6n n n n n n Vì  441  4000000  441 M3999559 1980  M1979 6n 6n Bài 6: Chứng minh rằng:  M35,n N HD:         M        M  35.19M M35 n Ta có: 36n  26n  36  26 n 6 Bài 7: CMR với số tự nhiên n ta có : HD :  3 5n   26.5n  82 n 1 M 59  n n n n n n n  26.5n  82 n1 M 59 = 51.5  8.64   59    8.64  59.5  64  64n  52 M 64   Ta có: Vì n2  nên ta có đpcm 2n Bài 8: Chứng minh rằng:  14M15 HD: Ta có:   92n  14  92n  1 15  81n   15  80n  15M5 n n n Bài 9: Chứng minh rằng: A  20  16   1M232,n N HD: Tách 232  17.19 Khi đó:   20n  3n   20  3 M  17M M 17 Lại có: Khi đó: AM17 Mặt khác: Mà   A  20n  3n  16n     A  20n   16n  3n 20  1  20  1 P  19.P M 19 n  , , 16n  1  16  1 N  17N M 17 16n  3n   16  3 Q  19.QM 19  AM 19  nn  n2  n  1M n  1 ,n  Bài 10: Chứng minh rằng: HD: n   nn  n2  n 1 1M n 1  Với Với   n   A  nn  n2  n   nn  n2   n  1      n2 nn2    n  1  n2  n  1 nn3  nn4     n  1         n  1 nn1  nn2   n2    n  1  nn1    n2    n  1      n  1 M M n  1 2 2n1 2n Bài 11: Chứng minh rằng:  M7,n N HD: 32n1  22n2  3.32n  2.2n  3.9n  4.2n  3. 7 2  4.2n  7.M  7.2n M7 n Ta có: Bài 12: Chứng minh rằng: HD:     mn m4  n4 M30,m, n N       mn m4  n4  mn m2  m2   mn n2  n2  M30 Ta có: n Bài 13: Chứng minh rằng: A   63M72,n N, n  n số chẵn HD:     n  2k, k  N   3n  63  32k  63  32k   64  9k   64M Đặt n Mặt khác: n  M9 63M9  AM9 n n n Bài 14: Tìm giá trị n để: A  20  16   1M323 HD: Ta có: 323  17.19 2n 4n1 Bài 15: Tìm số tự nhiên n để A   M25 HD: 2n 4n1 2n 4n 2n 2n 4n Ta có: A    27 2  25  2 HD: a   2k  1 ,b   2k  1 , k  N  Đặt  a  1  b  1  16k k  1  k  1 M64 , Khi ta có: M3   32n.25 9n  16n Bài 16: Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: a a  1  b  1 M 192 hay AM8  2 Bài 17: Cho ba số nguyên dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c , Chứng minh rằng: abcM60 HD : Ta có : 60=3.4.5, đặt M  abc 2 Nếu a, b, c không chia hết cho  a ,b ,c chia hết cho dư  a2  b2  c2 , Do có số chia hết cho Vậy MM3 2 Nếu a, b, c không chia hết cho  a ,b ,c chia dư  b2  c2 chia dư hoặc  a2  b2  c2 , Do có số chia hết cho => M M5 Nếu a, b, c số lẻ  b ,c chia dư Do hai số a, b phải số chẵn Giả sử b số chẵn: + Nếu c số chẵn =>M M4 2  b2  c2   mod4  a2  b2  c2 2  b2   a  c  a  b a  b  c  a + Nếu c số lẻ, mà số lẻ  b  a  c   a c  b          chẵn  bM4  M M4  2     Vậy M  abcM3.4.5 Bài 18: Chứng minh rằng: 36n  60n 24M24 HD : Ta có:  36n2  60n  24  12n 3n  5  24 ,  n 3n  5 M2 Thấy n;3n không đồng thời chẵn lẻ => ĐPCM Dạng 5: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Bài 1: Chứng minh A  16  15n  1M225,n N HD: Với n  1 A  0M225 k Giả sử n  k  A  16  15k  1M225 n * 16k1  15 k  1  1M225 Ta cần chứng minh với n  k  Thật vậy:   16k1  15 k  1   16.16k  15k  16  16k  15k   15.16k  15 n *  16k  15k  1 15.15.M  A  225.M M225 Vậy A  16  15n  1M225,n N 3n Bài 2: Chứng minh rằng:  26n  27M29,n  HD: 2n * Bài 3: Chứng minh rằng:  1M15,n N ... nM3 A    1M 13,  n N HD: Vì   n  3k  r, k  N,1 r  2 nM Khi đó: A 3? ?? 3k r    36 k  1 33      33 kr   32 r 36 k   3r 33 k   32 r  3r  2k     33  M  26M M 13 ...    19  M17 Vì 3 3 Bài 4: Chứng minh rằng:    M2 HD : 36 n  2n M36   34 n n     A  13  33  53  73  13  73  33  53  8N  8M M Ta có: 8n 6n n n Bài 5: Chứng minh rằng:  1980... n chia cho ta có: Với Với  33 k   33  N  26N M 13 Thấy: 2r r Với r       3? ?? 1M 13  AM 13 2r n Với r         91M 13  AM 13 n Bài 6: Tìm tất số tự nhiên n để  1M7 HD: n  3k