Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 63 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
63
Dung lượng
2,04 MB
Nội dung
THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A>B TA XÉT HIỆU A-B >0, CHÚ Ý BĐT x + y + z ≥ xy + yz + zx Bài 1: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: 2 2 ( x + y + z − xy − yz − zx ) ≥ ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x ) ≥ Dấu xảy x = y = z x + y + z ≥ xy + yz − zx Bài 2: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: x + y + z − xy − yz + zx ≥ ( x − y + z ) ≥ Dấu xảy x+z=y x2 + y + z + ≥ ( x + y + z ) Bài 3: CMR : với x,y,z HD: Xét hiệu ta có: 2 ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) ≥ Dấu x=y=z=1 a + b2 a + b ≥ ÷ Bài 4: CMR : với a,b ta có : HD : Xét hiệu ta có : a + b a + 2ab + b − ≥0 2a + 2b − ( a − 2ab + b ) ≥ a + 2ab + b ≥ ( a + b ) ≥ 2 Dấu a=b a2 + b2 + c2 a + b + c ≥ ÷ 3 Bài 5: CMR : với a,b,c ta có : HD: Ta có: a + b + c a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 3a + 3b + 3c − ( a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac ) ≥ 2a + 2b2 + 2c − ab − 2bc − ac ≥ A2 ≥ THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 , Dấu a=b=c a + b2 + c ≥ ( a + b + c) Bài 6: CMR : HD: Ta có: 3a + 3b + 3c ≥ a + b2 + c + 2ab + 2bc + 2ca 2a + 2b2 + 2c − ab − 2bc − ac ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 , Dấu a=b=c a +b 2 ( a + b) ≥ Bài 7: CMR : HD: a +b 2 ≥ 2ab ( a + b) ≥ 2 Ta chứng minh: 2a + 2b ≥ a + 2ab + b a + b − 2ab ≥ ( a − b ) ≥ Dấu a=b ( a + b ) ≥ 2ab Ta chứng minh a + 2ab + b ≥ 4ab ( a − b ) ≥ Dấu a=b a2 + Bài 8: Cho a,b,c số thực, CMR: HD: Ta có: 4a + b − 4ab ( 2a − b ) ≥ b2 ≥ ab Dấu b=2a Bài 9: Cho a,b,c số thực, CMR : HD: Ta có: a + b + − ab − a − b ≥ a + b + ≥ ab + a + b 2a + 2b2 + − 2ab − 2a − 2b ≥ ( a − 2ab + b ) + ( a − 2a + 1) + ( b − 2b + 1) ≥ THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) ≥ 2 Dấu a=b=1 a + b + c + d + e2 ≥ a ( b + c + d + e ) Bài 10: Cho a,b,c,d số thực : CMR : HD: Ta có: a + b + c + d + e − ab − ac − ad − ae ≥ 4a + 4b2 + 4c + 4d + 4e − 4ab − 4ac − 4ad − 4ae ≥ (a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + ( a − 4ae + 4e ) ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e ) ≥ 2 2 Dấu xảy a=2b=2c=2d=2e 1 + ÷1 + ÷ ≥ a b Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1, a>0, b>0 CMR: HD: b a a + b a + b a b = 1 + ÷1 + ÷ = + ÷ + ÷ = + + ÷+ a b a b b a ta có: VT a b = + + ÷ ≥ + 2.2 = b a Dấu a b = => a + b a = b = b a 2 x+ y x, y ≥ 0, CMR : ÷ ≥ xy Bài 12: Cho HD: Ta có: x + y + xy ≥ xy x − xy + y ≥ ( x − y ) ≥ , Dấu x=y a + b ≥ a 2b + ab Bài 13: Cho a > 0, b > 0, CMR: HD: Ta có: ( a3 − a 2b ) + ( b3 − ab2 ) ≥ a ( a − b ) − b2 ( a − b ) ≥ a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a + b ) ≥ ( Dấu a=b a ≥ b ≥ 1, Bài 14: Cho HD: Xét hiệu: CMR: 1 + ≥ 2 + a + b + ab THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 1 − − ÷+ ÷≥ 2 + a + ab + b + ab a ( b − a) b ( a − b) + ( + a ) ( + ab ) ( + b ) ( + ab ) 2 ( b − a ) ( ab − 1) 2 ( + ab ) ( a + 1) ( b + a ) ≥0 ≥0 Dấu a=b a=b=1 x2 + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) Bài 15: CMR : với số thực x,y,z,t ta ln có : HD: Ta có: x + y + z + t − xy − xz − xt ≥ 2 2 x + y + z + 4t − xy − xz − xt ≥ ( x − xy + y ) + ( x − xz + z ) + ( x − xt + 4t ) + x ≥ Dấu x= 2y=2z=2t=0 a2 + b + c ≥ ab − ac + 2bc Bài 17: CMR : HD: Ta có: a + 4b + 4c − 4ab + 4ac − 8bc ≥ a − 4a ( b − c ) + ( b + c − 2bc ) ≥ a − 4a ( b − c ) + ( b − c ) ≥ ( a − 2a + 2c ) ≥ x + y + z ≥ xy − zx + yz Bài 19: CMR : HD: Ta có: x + y + z − xy − yz + zx ≥ x − x ( y − z ) + y − yz + z ≥ x − x ( y − z ) + ( y − z ) ≥ ( x − y + z ) ≥ 2 x + y + z + ≥ x ( xy − x − z + 1) Bài 20: CMR : HD: Ta có: x + y + z + − x y + x − xz − x ≥ THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 (x + y − x y ) + ( x − xz + z ) + ( x − x + 1) ≥ (x − y ) + ( x − z ) + ( x − 1) ≥ 2 ±1 Dấu x=z=1, y= a + b + c ≥ ab + bc + ca Bài 21: CMR : HD: Ta có : a + b + c − ab − bc − ca ≥ 2a + 2b + 2c − 2ab − 2bc − 2ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ 2 a + b ≥ ab Bài 22: CMR : HD: ta có: b b 3b b 3b a − 2a + + ≥ a − ÷ + ≥0 4 2 a + b − ab ≥ x + xy + y ≥ Bài 23: CMR : HD: Ta có: y y2 3y2 y y2 x + x + + ≥ x + ÷ + ≥0 4 2 a ( a + b ) ( a + c ) ( a + b + c ) + b 2c ≥ Bài 24: CMR : HD: a ( a + b + c ) ( a + b ) ( a + c ) + b 2c ≥ Đặt (a + ab + ac ) ( a + ab + ac + bc ) + b 2c ≥ a + ab + ac = x bc = y x ( x + y ) + y ≥ x + xy + y ≥ Khi ta có: (a + b ) ( a + b ) ≥ ( a + b3 ) Bài 25: CMR : HD: Ta có: a + a 2b + a 4b + b ≥ a + 2a 3b3 + b ( a 4b − a3b ) + ( a 2b − a 3b3 ) ≥ THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 2 a b ( a − b ) + a b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a 3b − a 2b3 ) ≥ a 2b2 ( a − b ) ≥ ( a + b ) ( a + b3 ) ≤ ( a + b ) Bài 26: CMR : HD: Ta có: a + ab3 + a 3b + b ≤ 2a + 2b a − ab3 + b − a 3b ≥ ( 3 a3 − b3 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a 2 ( a + b3 ) ≥ ( a + b ) ( a + b ) Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : HD: Ta có: 2a + 2b3 ≥ a + ab + a 2b + b3 3 a − a b + b − ab ≥ a ( a − b ) + b2 ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ ( a + b3 ) ≥ ( a + b ) Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: HD: Ta có: 4a + 4b3 ≥ a + 3a 2b + 3ab + b3 3 3a − 3a b + 3b − 3ab ≥ 3a ( a − b ) + 3b ( b − a ) ≥ ( a − b ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) ( a + b) ≥ a + b3 + abc ≥ ab ( a + b + c ) Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: HD: Ta có: a + b3 + abc ≥ a 2b + ab + abc 3 a − a b + b − ab ≥ a ( a − b ) + b2 ( b − a ) ≥ ( a − b ) (a 2 ( a + b) ≥ + b ) ≥ ab ( a + b ) 2 Bài 30: CMR: HD: + ab + b ) ≥ THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 Ta có: a + 2a 2b + b ≥ ab ( a + 2ab + b ) = a 3b + 2a 2b + ab ( a − a3b ) + ( b − ab3 ) ≥ 3 a ( a − b ) + b ( b − a ) ≥ a ( − b3 ) ( a − b ) ≥ ( a − b ) (a + ab + b ) ≥ a2 + b2 + c2 ≥ a ( b + c ) Bài 31: CMR: HD: ta có: a + b + c − ab − ac ≥ 2 4a + 4b + 4c − 4ab − 4ac ≥ ( a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + 2a ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + 2a ≥ 2 a + b2 + c + d ≥ a ( b + c + d ) Bài 32: CMR: HD: a + b + c + d − ab − ac − ad ≥ 2 2 4a + 4b + 4c + 4d − 4ab − 4ac − 4ad ≥ (a − 4ab + 4b ) + ( a − 4ac + 4c ) + ( a − 4ad + 4d ) + a ≥ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a ≥ a2 + b2 + c2 + Bài 33: CMR: HD: Ta có: (a 2 ≥ ( a + b + c) − a ) + ( b2 − b ) + ( c2 − c ) + ≥0 1 1 1 a − a + ÷+ b − b + ÷+ c − c + ÷ ≥ 4 4 4 2 1 1 1 a − ÷ + b − ÷ + c − ÷ ≥ 2 2 2 a + b + ≥ 4ab Bài 34: CMR: HD: ta có: a + b − 4ab + ≥ THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 4 2 2 a + b − 2a b + 2a b − 4ab + ≥ (a a ( − b ) + ( a 2b − 2ab + 1) ≥ − b ) + ( ab − 1) ≥ 2 x4 − x + > Bài 35: CMR: HD: ta có: ( x − x2 + ) + ( x − x + 1) > (x − ) + ( x − 1) > 2 Không xảy dấu x4 − x + > Bài 36: CMR: HD: Ta có: 1 1 x − x + ÷+ x − x + ÷ ≥ 4 4 2 1 1 x − ÷ +x− ÷ ≥ 2 2 x3 + x + > x ( x > 0) Bài 37: CMR: HD: x3 − 3x + x + > ta có: x x2 − x + 4) + x2 + > ( x ( x − ) + x + > , Vì x > ( x − 1) ( x − ) ( x − 3) ( x − ) ≥ −1 Bài 39: CMR: HD: ( x − 1) ( x − ) ( x − ) ( x − 3) + ≥ ( Đặt x2 − 5x + 4) ( x − 5x + ) + ≥ x2 − 5x + = t ( t − 1) ( t + 1) + ≥ Khi ta có: t ≥ , Dấu t=0 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 x + x3 + x2 + x + > Bài 40: CMR: HD: x ( x + 1) + ( x + 1) + x > Ta có : x + 1) ( x3 + 1) + x > ( ( x + 1) ( x x − x +1 + x > ) 2 ( ĐPCM) a + 4b + 4c ≥ 4ab + 8bc − 4ac 2 Bài 41: CMR : HD: Ta có: a + 4b + 4c − 4ab − 8bc + 4ac ≥ a + ( 2b ) + ( 2c ) − 2.a.2b − 2.2b.2c + 2.a.2c ≥ 2 ( a − b + c ) ≥ ( a + b3 + c ) ≥ ( a + b ) + ( b + c ) + ( c + a ) 3 Bài 42: CMR : với a, b, c >0 HD: Ta có: 8a + 8b3 + 8c ≥ 2a3 + 2b3 + 2c + 3a 2b + 3ab + 3b 2c + 3bc + 3a 2c + 3ac 3 2 2 2 6a + 6b + 6c − 3a b − 3ab − 3b c − 3bc − 3a c − 3ac ≥ ( 3a − 3a 2b ) + ( 3a − 3a c ) + ( 3b3 − 3b a ) + ( 3b3 − 3b c ) + ( 3c − 3bc ) + ( 3c − 3ac ) ≥ 3a ( a − b ) + 3a ( a − c ) + 3b ( b − a ) + 3b ( b − c ) + 3c ( c − b ) + 3c ( c − a ) ≥ 3( a − b ) ( a2 − b2 ) + 3( a − c ) ( a − c ) + 3( b − c ) ( b2 − c ) ≥ ( a − b ) ( a + b) + 3( a − c) ( a + c ) + 3( b − c ) ( b + c ) ≥ ( a + b + c) ≥ a + b3 + c + 24abc Bài 43: CMR: với a,b,c>0 HD: Ta có: a + b3 + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ a + b3 + c + 24abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 24abc Vì a + b ≥ ab b + c ≥ bc c + a ≥ ca , Nhân theo vế ta ĐPCM THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 Bài 44: CMR: Với x, y # ta có: HD: Ta có: x + y + x y ≥ xy ( x + y ) x ( ( + y ) − xy ( x + y ) + x y − xy ( x + y ) ≥ x + y ) ( x + y − xy ) + xy ( xy − x − y ) ≥ (x ( x y x2 y + + ≥ 3 + ÷ y x y x + y − xy ) ( x + y − xy ) ≥ x − y) (x − xy + y ) ≥ a3 + b3 ≥ a +b ≥1 Bài 45: CMR : Nếu , HD: Ta có: b ≥ − a => b3 ≥ − 3a + 3a − a 1 1 a + b ≥ 3a − 3a + = a − ÷ + ≥ 2 4 ab + bc + ca ≤ a + b + c Bài 46: Cho a,b,c > 0, CMR : HD: Ta có: a + b + c − ab − bc − ca ≥ ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) ≥ Bài 47: CMR : HD: Ta có: 2 a2 + a + >0 a2 − a + 1 a + a + = a + a + ÷+ > 0, ∀a 4 1 a − a + = a − a + ÷+ > 0, ∀a 4 Nên VT > 4a ( a + b ) ( a + 1) ( a + b + 1) + b ≥ Bài 48: CMR : HD: 10 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 3.2 a a 3a S = + + ÷+ ≥ 33 + = + = 64 4 4 8 a 0 = = k.2 => k = a Dấu S = + 8a + 8a ÷− 14a ≥ 3 64 − 14a a , mà , Khi ta có : a ≤ => −14a ≥ −7 => S ≥ 3.4 − = A=a+ 1 +b + +c+ a b c ≥ ≥ ≥ Bài 10: Cho a 10, b 100, c 1000, Tìm Min của: HD : 1 a = 10 => = = k 10 => k = a 10 100 Dấu , Tương tự với b c, Khi ta có : 99.10 101 a 99a B= + ≥ + = ÷+ 10 100 100 a 100 100 , Tương tự với b c P = a +b+c+ 1 + + a b c a + b + c ≤1 Bài 11: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min của: HD : 1 1 1 P = + 9a ÷+ + 9b ÷+ + 9c ÷− ( a + b + c ) a=b=c= a b c Dấu , Khi P ≥ + + − 8( a + b + c) a + b + c ≤ => −8 ( a + b + c ) ≥ −8 Mà P ≥ + + − = 10 Vậy P = ab + bc + ca Bài 12: Cho a,b,c ba số thực thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max của: HD : a+b+ 1 a = b = c = => ab = 3 a.b ≤ 3 3 Ta có : Dấu 1 b+c+ c+a+ 3 , ca ≤ 3 bc ≤ 3 3 Tương tự ta có : 2a + 2b + 2c P ≤ 3 + ÷= 3 3 Cộng theo vế ta : 49 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 a +b+c ≤ P = a +b +c + Bài 13: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min của: HD : 1 1 1 a = b = c = => P = + 4a ÷+ + 4b ÷+ + 4c ÷− ( a + b + c ) a b c Dấu 15 P ≥ + + − = 2 a +b + c ≤1 Bài 14: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: , 1 P = a + b + c + 2 + + ÷ a b c Tìm Min của: HD : 2 2 2 a = b = c = => P = 18a + ÷+ 18b + ÷+ 18c + ÷− 17 ( a + b + c ) a b c Dấu => P ≥ 19 Bài 15: Cho a,b,c ba số thực dương thỏa mãn: a3 b3 c3 A= + + 2 ( − a ) ( − b ) ( − c2 ) a +b + c =1 , , Tìm Min của: HD : a=b=c= Dấu Khi : a 1− a 1− a + + ≥ a 8 (1− a) b3 ( 1− b) + 1− b 1− b + ≥ b 8 , Tương tự ta có : c (1− c) + 1− c 1− c + ≥ c 8 A≥ Cộng theo vế ta : ( a + b + c) = 4 a +b ≤1 Bài 16: Cho a,b số thực dương thỏa mãn: , Tìm của: HD : 1 a = b = => = = 16ab ab Ta có : Dấu S = 16ab + ÷− 15ab ≥ 16 − 15ab ab Khi ta có : 50 S = ab + ab 1 + + a b c THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 a + b ≥ ab => ≥ ab => ab ≤ mà S ≥ 2.4 − Vậy −15 => −15ab ≥ 4 15 15 17 = 8− = 4 A = a+b+ 1 + a2 b2 a +b ≤1 Bài 17: Cho a,b số thực thỏa mãn: , Tìm HD : 1 a = b = => A = 8a + 8a + ÷+ 8b + 9b + ÷− 15 ( a + b ) a b Dấu => S ≥ 3.4 + 3.4 − 15.1 = a+b+c ≤ P = a+b+c+ Bài 18: Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: , Tìm Min HD : a=b=c= Dấu 1 1 P = 8a + 8a + ÷+ 8b + 8b + ÷+ 8c + 8c + ÷− 15 ( a + b + c ) a b c Khi đoa : 45 27 P ≥ 3.4 + 3.4 + 3.4 − 15 = 36 − = 2 a+b+c ≤ A = a + b2 + c + Bài 19: Cho a,b,c sơ thực dương thỏa mãn: , Tìm Min: HD : a=b=c= Dấu : 1 1 1 31 1 => P = a + + ÷+ b + + ÷+ c + + ÷+ + + ÷ 8a 8a 8b 8b 8c 8c a b c P≥ 3 3 27 + + + ÷= 4 4 a +b+c x + y ≤1 Bài 20: Cho x,y số thực dương thỏa mãn: A = 1 − ÷ − ÷ x y Tìm Min của: HD : x = y = => A = A≥9 Dấu : , Ta cần chứng minh 51 1 + + a2 b2 c2 1 + + a b c THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 Xét 2 2 1 − ÷1 − ÷ ≥ ( x − 1) ( y − 1) ≥ x y x y ≥ ( x + y) => ≥ x + y + x y ( x + y) 2 , , Nên ta cần chứng minh : 2 ≥ x + y + x y xy ( − xy ) ≥ 2 ( x + y) < xy ≤ BĐT do: P= ≤ => Min A = x= y= a+b ab + ab a + b Bài 21: Cho a,b>0 Tìm Min của: HD : a+b ab = m ab a + b => m = a = b Dấu : Khi ta có : a+b ab a + b 3.2 ab 3.2 P= + + ≥2 + = 1+ = 4 ab 4 ab a + b ab Bài 22: Cho HD : a + b ≤1 P= a,b>0, Tìm của: a =b = 1 + a +b ab 2 Dấu P= + ≥ + ÷+ 2 2ab 2ab ( a + b ) 2ab a +b Khi : 4 P≥ + ≥ + = ≥6 2 2 ( a + b ) 4ab ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) Bài 23: Cho a,b>0 HD : a +b ≤1 a =b= P= , Tìm Min của: 1+ a + b = + 2ab 3.2ab 1+ a + b Dấu : Khi : 1 => P = + ≥ + ÷+ 2 6ab 3ab ( a + b + 6ab + 1) 3ab 1+ a + b 2 P≥ => a + b ≥ ab => ab ≤ Mặt khác : => P ≥ + = + 3 52 ( a + b ) + 4ab + 3ab + THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 Dấu Bài 24: Cho a,b>0, HD : 1 + a + b = 6ab => a = b = a = b a + b = a +b ≤1 P= , Tìm Min của: a =b = 1 + + 4ab a + b ab 2 Dấu P= + + 4ab ÷ ≥ + 4ab + ÷+ ÷+ 2 2ab 2ab 4ab 4ab a +b ( a + b) Khi : a + b = 2ab 2 4ab => a = b = a b = P≥ + + ≥ 16 2 4ab ( a + b) a + b = Dấu 1 S= 3+ + a +b ≤1 a + b a b ab Bài 25: Cho a,b>0 , Tìm Min của: HD : a =b = a + b3 + 3a 2b + 3ab = ( a + b ) Dấu 1 = = 3 a +b 2a b 2ab Khi : 1 1 25 S= 3+ + + + ≥ 2 a + b 2a b 2ab 2a b 2ab ( a + b ) + ab ( a + b ) 25 S≥ ( a + b) ( a + b) + Bài 26: Cho a,b,c>0 HD : 4ab ≤ ( a + b ) ( a + b) => ab ≤ a + b2 + c2 = 1 , Vì a=b=c= Dấu , Tìm Min của: S ≥ 20 P = a +b+c+ abc 1 = 3, a = abc , Khi : 1 = a = b = c => m = m.abc Tìm m cho : abc P = a+b+c + ≥ 44 + ÷+ 9abc 9abc 9abc 9abc 53 => a=b= , Dấu THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 P≥ + 9abc a + b + c ≥ 3 ( abc ) ≥ 3 ( abc ) => a 2b 2c ≤ 2 , Ta lại có : 12 3 => P ≥ + = =4 => 9abc ≤ = => ≥ = 9abc 3 3 3 3 1 + + =4 x y z Bài 27: Cho x,y,z>0 HD : P= 27 1 + + 2x + y + z x + y + z x + y + 2z , Tìm Max : x= y=z= 1 1 => x = y + z => = + + + 2x + y + z x y z x Dấu xảy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ≤ + + + ÷+ + + + ÷+ + + + ÷ 16 x x y z 16 x y y z 16 x y z z Nên : 4 4 ≤ + + ÷= 16 x y z a + b + c =1 Bài 28 : Cho a,b,c số thực dương , CMR: HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu : a+b + b+c + c+a ≤ 2 ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) ≤ 3 Khi ta có : Tương tự ta có : => 2 +a+b +b+c +c+a 3 VT ≤ + + =2 2 2 +a+b ( a + b) ≤ 3 , A = a +b + b+c + c+a Bài 29: Cho a,b,c dương thỏa mãn: a+b+c=1, Tìm Max HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu : 2 a+b+ + 2 3 a + b = 3 ( a + b) ≤ 3 3 Nên : Tương tự ta có : 2 2 b+c+ + a+c+ + 9 3 3 3 b+c ≤ c+a ≤ 4 54 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 P≤ 2( a + b + c) + = 18 Cộng theo vế ta : x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x Bài 30: Cho x,y,z>0 xyz=1, CMR: HD : x = y = z = => x2 1+ y = = => α = 1+ y α Ta có Dấu x2 + y y2 1+ z z2 1+ x + ≥x + ≥y + ≥z 1+ y 1+ z 1+ x Khi : , tương tự ta có : 3 P ≥ ( x + y + z) − ( x + y + z) − = ( x + y + z) − = 4 4 Cộng theo vế ta : P = 3x2 + y + z xy + yz + zx = Bài 31: Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn : , Tìm Min : HD : x + y ≥ xy 2 2 x + z ≥ xz 2 2 y + z ≥ yz P ≥ ( xy + yz + zx ) = 10 Ta có : , Cộng theo vế ta : Dấu x=y=1, z=2 P = x2 + y x + y + xy = Bài 32: Cho x,y số thực dương thỏa mãn : , Tìm Min : HD : x + y) ( t2 = x + y + xy ≤ x + y + + t ≥ => t ≤ −8 t≥4 4 Ta có : x + y) ( 2 =8 ( x + y ) ≥ 16 => P = x + y ≥ Hay x + y = => x = y = x = y x + y + xy = Dấu ≤ a ≤ 3,8 ≤ b ≤ 11 Bài 33 : Cho a,b số thực thỏa mãn : a+b=11, P = ab Tìm Max : HD : a = 3, b = => 8a = 3b Dấu 55 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 ( 33 + 5.3) = 24 1 ( 8a + 3b ) 1 P = ( 8a.3b ) ≤ = 3 ( a + b ) + 5a ≤ ( 3.11 + 5a ) ≤ 24 24 96 96 96 Khi : Bài 34: Cho x,y > 0, HD : x + y ≥ 6, CMR : A = x ( x − 1) + y ( y − 1) ≥ 12 x= y=3 Dấu A = ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + ) + ( y + ) − ( x + y ) − 18 Khi : A ≥ 2.3x + 2.3 y − ( x + y ) − 18 A ≥ ( x + y ) − ( x + y ) − 18 = ( x + y ) − 18 ≥ 30 − 18 = 12 => a + b + c = 1, CMR : S = a + b + b + c + c + a ≤ 16 Bài 35: Cho a,b,c > 0, Thỏa mãn : HD : a = b = c = => a + b = b + c = c + a = 3 Dấu +a +b a + b ≤ ( ) Co si ngược ta có : , 2 +b+c +c+a 2 , ( b + c) ≤ ( c + a) ≤ 3 Tương tự ta có : 2( a + b + c) S ≤ + = => S ≤ = 2 Cộng theo vế ta : a b − + b a − ≤ ab Bài 36: Cho a,b > 1, CMR: HD : b − = a − = => a = b = Dấu : Co si ngược ta có : ( b − 1) + = ab a ( b − 1) ≤ a 2 b ( a − 1) ≤ b a − + ab = 2 Cộng theo vế ta : a ( b − 1) + b ( a − 1) ≤ ab ab + = ab 2 P= Bài 37: Cho x,y,z > 0, x+y+z = 2, tìm GTNN của: HD : 56 x2 y2 z2 + + y+z x+z x+ y THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 x=y=z= Dáu x2 y+z = = => k = y+z k Khi : x2 y+z + ≥x y+z Nên : , Tương tự ta có : x+ y+ z x+ y+ z P+ ≥ x + y + z => P ≥ =1 2 x2 y2 + ≥8 y −1 x −1 Bài 38: Cho x,y > 1, CMR : HD : x= y Dấu , Thay vào ta : 2 x x + = => x = y = x −1 x −1 x2 + ( y − 1) ≥ x y −1 y2 + ( x − 1) ≥ y x −1 Khi : VT ≥ ( x + y ) − ( y − 1) − ( x − 1) = a +b + c =1 Bài 39: Cho a,b,c > 0, thỏa mãn: HD : a=b=c= 2 a b c 3 + 2+ 2≥ b +c a +c a +b 2 , CMR: Dấu Khi : a2 a 2a 2a 27 a a 3 a = = ≥ = ≥ 2÷ b + c ( − a2 ) ( − a ) ( − a2 ) 2a 27 VT ≥ a Tương tự ta có : 3 3 3 3 2 3 +b +c = a +b +c ) = ( 2 2 57 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 BẤT ĐẲNG THỨC CHƯA SOẠN a + b = x + y, a2 + b2 = x2 + y2 Bài : Cho HD: a2010 + b2010 = x2010 + y2010 , Chứng minh : a + b = x + y => a − x = y − b Từ a2 + b2 = x2 + y2 => a2 − x2 = y2 − b2 => ( a + x) ( a − x) = ( y + b) ( y − b) Mặt khác: a − x = 0,(1) => ( a + x) ( a − x) = ( y + b) ( a − x) => a + x = b + y,(2) Với Với a − x = => b = y => a2010 + b2010 = x2010 + y2010 a + b = x + y a + b = x + y => a = y => b = c => a2010 + b2010 = x2010 + y2010 a + x = b + y x 2011 + y 2011 ≤ x 2012 + y 2012 Bài : Cho x+y=2, CMR: HD : ( x 2012 + y 2012 ) − ( x 2011 + y 2011 ) = x 2011 ( x − 1) + y 2011 ( y − 1) x2011 ( − y ) + y 2011 ( y − 1) Xét = Do x-1=1-y ( x2012 + y 2012 ) − ( x2011 + y 2011 ) = ( − y ) ( x 2011 − y 2011 ) Vậy ( − y ) ( x 2011 − y 2011 ) ≥ ( dpcm ) x1 ≥ ≥ y x ≥ y => x 2011 ≥ y 2011 Giả sử : : 2011 2011 ( − y ) ( x 2011 − y 2011 ) ≥ ( dpcm ) y ≥ x => y ≥ x y ≥1≥ x Tương tự lấy đo dấu = x=y=1 a b c A= + + ≥3 b + c −a a + c −b a +b −c Bài 3: CMR: HD: b + c − a = x > 0, c + a − b = y > 0, a + b − c = z > Đặt , từ đó: y−z x+z x+ y a= ,b = ,c = 2 thay vào A ta y + z x + z x + y y x x z y z A= + + = + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ ( + + ) ≥ 2x 2y 2z x y z x z y Bài 4: CMR: a, b, c độ dài cạnh tam giác A 58 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 b+c+a > b−c−a < b−c +a > Vậy A 0, Chứng tỏ rằng: nguyên a b c d + + + a+b+c b+c+d c+d +a d +a+b có giá trị khơng x + y + z ≤ xy + y + z − Bài 6: Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn: HD: 2 y y x − + − ÷ ÷ + ( z − 1) ≤ 2 2 Ta có gt=> => a , b, c > Bài 7: Cho HD: a + b + c ≤1 1 + + ≥9 a + 2bc b + ac c + ab , CMR: x = a + 2bc, y = b2 + 2ac, z = c + 2ab Đặt 1 + + ≥9 x y z ( a + b + c) ≤ Khi x+y+z= x + y + z ≤1 với 1 1 + + ≥ 33 x y z xyz x + y + z ≥ xyz Áp dụng Co si cho số : ta 1 1 1 1 + + ≥9 ( x + y + z ) + + ÷≥ x y z x + y + z ≤ x y z => mà => đảng thức xảy x=y=z= a + b2 + c2 ≤ Bài 8: Cho a, b, c số không âm không lớn thỏa mãn: a+b+c=3 CMR: HD: ( − x ) ( − b ) ( − c ) ≥ + ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) − abc ≥ Theo giả thiết ta có: a + b2 + c2 Cộng hai vế với sau thu gọn ta được: 2 2 ( a + b + c ) ≥ a + b + c + abc + a + b + c + abc ≤ abc ≥ => a + b + c ≤ , Mà Đẳng thức xảy ba số a,b,c có số 0, số số x + y ≥ x3 + y x3 + y ≤ Bài 9: Cho x,y >0 thỏa mãn: , CMR : , dấu xảy ? HD: x + x3 ≥ x , y + y ≥ y Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có: 2 3 x + x + y + y ≤ x + y => x + y ≥ ( x + y − x − y ) ≥ x + y 59 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 x + y ≥ x3 + y x + ≥ x, y + ≥ y Do Mà Nên 2 3 + x +1 + y ≥ 2x + y ≥ 2x + y ≥ x + y + x + y4 x3 + y ≤ dấu x=y=1 x + y − xy ≥ x + y − 2 Bài 10: CM: HD: x + y − xy ≥ x + y − => ( x + y − xy ) ≥ ( x + y − 1) x + y − xy ≥ x + y − => ( x − y) + ( x − 1) + ( y − 1) ≥ 2 => đúng, dấu x=y=1 −4 −5 > x − 2x + Bài 11: CMR khơng có giá trị x thỏa mãn: HD: −4 −4 −5 < 0, −5 < 2 ( x − 1) + ( x − 1) + Ta có: mà => đpcm 3 a + b = a + b5 a + b ≤ + ab Bài 12: Cho a, b số dương thỏa mãn: , CMR: HD: a + b ≤ + ab => a + b − ab ≤ => ( a + b ) ( a + b − ab ) ≤ a + b => a + b ≤ a + b Ta có: ( a3 + b3 ) ( a3 + b3 ) ≤ ( a + b ) ( a5 + b5 ) => 2a3b3 ≤ ab5 + a5b => => ab ( a − 2a 2b + b ) ≥ => ab ( a − b ) ≥ ∈ [ 0;1] a, b dương a + b + c − ab − bc − ca ≤ Bài 13: Cho số a, b, c , CMR: HD: ∈ [ 0;1] ( − a ) ( − b ) ( − c ) ≥ => − a − b − c + ab + bc + ca − abc ≥ Do a,b,c Nên ∈ [ 0;1] b ≤ b, c ≤ c a + b + c − ab − bc − ca ≤ − abc ≤ => , Do a,b,c nên , từ ta có: a + b + c − ab − bc − ca ≤ a + b + c − ab − bc − ca ≤ 1 + ≥ a +1 b +1 Bài 14: Cho a>0, b>0 a+b=1, CMR: HD: 1 + ≥ => ( a + + b + 1) ≥ ( a + 1) ( b + 1) a +1 b +1 => ( a − b) ≥ ≥ 4ab + => ≥ 4ab => ( a + b ) ≥ 4ab => ≥ ( ab + a + b + 1) => 60 a+b=1 với a, b THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 a+b c+b + ≥4 2a − b 2c − b 1 + = a c b Bài 15: Cho a, b, c ba số dương , CMR : HD: 1 ab bc + = => 2a − b = 2c − b = a c b c a a+b c+b a+b c+b c c a a ac + = + = + + + ≥ 44 ≥ ab bc 2a − b 2c + b b a b c b c a => Áp dụng BĐT Cô si cho số a, b, c dương , dấu a=b=c < a < b, ax + bx + c = Bài 16: Cho a,b,c số thỏa mãn hai điều kiện sau: vô nghiệm, a+b+c =3 b−a CMR: HD: a+b+c > => a + b + x > ( b − a ) => 4a + c > 2b 0 4a + c > 4a + ≥ 4a = 2b 4a 4a 4a => a +b+c >3 b−a từ suy ra: (*) hay a + b3 = a − b a + b + ab < Bài 17: Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn : , CMR : 2 A = 4x y − ( x + y2 + z2 ) > Bài 18: Cho x,y,z ba cạnh tam giác: CMR: x + 2012 x − 2011x + 2012 > Bài 19: CMR : với x −2 ≤ a , b , c , d ≤ a + 2b + 3c + 5d = 10 Bài 20: Cho a, b, c, d thỏa mãn: CMR: a + 2b + 3c + 5d ≤ 140 1 1 1 + + ≤ + + ÷ x + yz y + xz z + xy xy yz xz Bài 21 : CMR : HD : VT ≤ x2 + yz ≥ x2yz = 2x yz Ta có : y+ z x + z x + y + + 2 ÷ ≤ VT ≤ xyz Khi : 1 x + y+ z = xyz ÷ 1 1 yz + xz + xy + + ÷= ÷ ÷ x yz y xz z xy ÷ xyz 1 1 + + yz zx xy ÷ , Dấu ‘’=’’ x=y=z 61 THAM KHẢO KHÔNG GIỚI HẠN 0932344231 x1 + 1 1 = x2 + = x3 + = = xn + x2 x3 x4 x1 Bài 22 : CHứng minh : x1.x2.x3 xn = : , 2< Bài 23 : Cho a, b, c, d >0, CMR : a+ b b+ c c+ d d+ a + + + 3 b− a Chứng minh rằng: HD: a+ b+ c > => a + b + c > 3( b − a) => 4a + c > 2b 0< a< b b− a Do , nên bất đẳng thức: ax2 + bx + c = b2 < 4ac Vì phương trình: vơ nghiệm nên => c > b2 b2 b2 => 4a + c > 4a + ≥ 4a = 2b 4a 4a 4a Từ suy ra: a + b+ c >3 b− a 63 ... 17 : Cho a,b,c số không âm ,CMR : a b c 1 + + ≤ ≤ + + 2 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c HD: ? ?1 + a ≥ 2a a b c a b c + + ≤ + + = ? ?1 + b ≥ 2b => 2 1+ a 1+ b 1+ c 2a 2b 2a ? ?1 + c ≥ 2c Ta có: ? ?1. .. , Mà: 1? ?? 1? ?? 1 a+ b 1 + ≥ 16 a + b ≥ 16 abc => ≥ 16 c => + ≥ 16 c => + ÷ ≥ 16 => c a b ac bc ab a b Cách 2: Ta có: 1 1 1? ?? 4 + = + ÷≥ = = ac bc c a b c a + b c 1? ?? c −c + c 1? ?? 1 −c +... : 1 a = 10 => = = k 10 => k = a 10 10 0 Dấu , Tương tự với b c, Khi ta có : 99 .10 10 1 a 99a B= + ≥ + = ÷+ 10 10 0 10 0 a 10 0 10 0 , Tương tự với b c P = a +b+c+ 1 + + a b c a + b + c ≤1