Để chứng minh An: k có thể sét mọi trờng hợp về số dự khi chia n cho k.. Trong mọi trờng hợp + An luôn chứa 1 thừa số chia hết cho 2.. Vậy tồn tại ít nhất 2 số khi chia cho n có cùng số
Trang 1chuyên đề: Giải bài toán chia hết
I.Lí thuyết liên quan đến chuyên đề:
Các tính chất chia hết
1) 0 chia hết b b 0
2) a chia hết a a 0
3) Nếu a chia hết cho b; b chia hết cho c thì a chia hết cho c
4) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho m thì a b chia hết cho m
5) Nếu a chia hết cho m; b không chia hết cho m thì a b không chia hết cho m
6) Nếu a b chia hết cho m; a chia hết cho m thì b chia hết cho m
7) Cho tích a1.a2 an
Nếu ai chia hết cho ; i = 1; n thì a1.a2 an chia hết cho m
8) Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m (n N*)
9) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn
=> a chia hết cho b thì an chia hết cho bn
10) Nếu a chia hết cho b; a chia hết cho c; (b; c) = 1 thì a chia hết cho bc 11) Nếu ab chia hết cho m; (b; m) = 1 thì a chia hết cho m
12) Nếu ab chia hết cho p, p là số nguyên tố thì a chia hết cho p
b chia hết cho p
13) Cho a, b Z; n N; n 1 thì:
(an - bn) chia hết cho a - b nếu a b
(a2n + 1 + b2n +1) chia hết cho (a + b) nếu a - b
Các dấu hiệu chia hết
1) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 <=> chữ số tận cùng của nó
là chữ số chẵn
2) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) <=> tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9)
* Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của
nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu
3) Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 <=> chữ số tận cùng của nó
là 0 hoặc 5
4) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) <=> số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25
5) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) <=> số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của
nó chia hết cho 8 hoặc 125
6) Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 <=> hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho
II Các Phơng pháp giải bài toán chia hết:
(I) Để chứng minh A(n): k có thể sét mọi trờng hợp về số dự khi chia n cho k.
VD: Chứng minh:
a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2
b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3
c) Tổng quát: tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n
Giải a) A(n) = n (n+1)
+ Nếu n không chia hết cho 2 thì (n+1) chia hết cho 2 và ngợc lại Trong mọi trờng hợp
+ A(n) luôn chứa 1 thừa số chia hết cho 2 Vậy A(n) chia hết cho 2 (đpcm)
b) A(n) = n(n+1)(n+2)
Xét mọi trờng hợp : n chia hết cho 3; n=3q+1; n = 3q+2
+ Nếu n chia hết cho 3, hiển nhiên A(n) chia hết cho 3
Trang 2+ Nếu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hết cho 3
+ Nếu n= 3q+2 => n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 chia hết cho 3
Trong mọi trờng hợp A(n) luôn chứa một thừa số chia hết cho 3
Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm)
c) Giả sử dãy số đó là: a; a+1; a+2; ; a+(n-1)
Giả sử trong dãy số không tại số nào chia hết cho n => Khi chia n số của dãy cho n
sẽ có n-1 số d là 1; 2; 3; ; n-1
Dãy có n số mà khi chia cho n lại chỉ có n-1 số d Vậy tồn tại ít nhất 2 số khi chia cho n có cùng số d Giả sử 2 số đó là: a+i; a+k (0 i < k)
=> (a+k) - (a+i) chia hết cho n <=> (k-i) chia hết cho n
mà 0 < k-i < n => (k-i) không chia hết cho n (k-i) chia hết cho n là vô lí
Vậy trong dãy phải tồn tại một số chia hết cho n
=> tích của cả dãy số chia hết cho n (đpcm)
(II) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích k ra thừa số k = p q
+ Nếu (p ; q) =1 ta tìm cách chứng minh
A(n) chia hết cho p và A(n) chia hết cho q
+ Nếu (p, q) khác 1 ta phân tích A(n)= B(n) C(n) rồi chứng minh B(n) chia hết cho p; C(n) chia hết cho q
VD1: chứng minh rằng A(n) = n ( n+1 ).(n+2) chia hết cho 6
Giải
Ta có : 6 = 2.3 ; (2;3) = 1
Theo ví dụ ở phần (I) ta có A(n) chia hết cho 2; A(n) chia hết cho 3
Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm)
VD2: chứng minh rằng: tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải: A(n) = 2n( 2n + 2 ) = 4n( n+1 )
8 = 2.4; ( 2; 4) 1
Nhận xét : 4 chia hết cho 4 => 4.n(n+1) chia hết cho 4.2
n(n+1) chia hết cho 2 =>A(n) chia hết cho 8 (đpcm)
(III) Để chứng minh A(n) chia hết k có thể viết A(n) dới dạng tổng của nhiều
hạng tử và chứng minh các hạng tử này đều chia hết cho k
Để chứng minh A(n) không chia hết cho k ta có thể viết A(n) dới dạng tổng của nhiều hạng tử trong đó có duy nhất một hạng tử không chia hết cho k
VD: Chứng minh rằng:
a) A(n) = n3 - 13n chia hết cho 6
b) B(n) = n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 (với mọi n lẻ)
Giải a) A(n) = (n3 - n) - 12n = (n-1).n(n+1) - 12n
(n-1).n(n+1) chia hết cho 6 (theo ví dụ phần I)
12n chia hết cho 6
Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm)
b) B(n) = n2 + 4n + 5
với n = 2k + 1 ta có: B(n) = (2k + 1)2 + 4(2k +1) + 5
B(n) = 4k(k +1) + 8(k + 1) + 2
Nhận xét: 4k(k +1) chia hết cho 8
8(k + 1) chia hết cho 8 => B(n) = 4k(k +1) + 8(k+1) + 2 chia hết cho 8
Trang 3(IV) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích A(n) thành nhân tử trong
đó có một nhân tử bằng k.
A(n) = k B(n)
Trờng hợp này thờng sử dụng các kết quả:
* (an - bn ) chia hết cho (a - b) với (a b)
* (an - bn ) chia hết cho (a - b) với (a b; n chẵn)
(an - bn ) chia hết cho (a - b) với (a - b; n lẻ)
VD: Chứng minh rằng: 27 + 37 + 57 chia hết cho 5
Giải Vì 7 là số lẻ nên (27 + 37) chia hết cho (2 + 3)
hay 27 + 37 chia hết cho 5
mà 57 chia hết cho 5
(V) Dùng nguyên tắc Đirichlet:
Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng ( k > m ) thì phải nhốt ít nhất 2 chú thỏ vào chung 1 chuồng
VD: Chứng minh rằng : Trong m+1 số nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho m
Giải Khi chia 1 số nguyên bất kì cho m thì số d là 1 trong m số: 0; 1; 2; ; m - 1 Theo nguyên lí Đirichlet khi chia m + 1 số nguyên cho m thì phải có ít nhất 2 số có cùng số d Hiệu của 2 số này chia hết cho m (đpcm)
(VI) Dùng qui nạp toán học:
VD: Chứng minh rằng: 16n - 15n - 1 chia hết cho 225
Giải
Đặt A(n) = 16n - 15n - 1
+ Với n = 1 => A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 chia hết cho 225 (đúng)
+ Giả sử A(n) với n = k Tức là:
16k - 15k - 1 chia hết cho 225
Ta cần chứng minh A(n) đúng với n = k + 1
Tức là: A(k +1) chia hết cho 225 là đúng
Xét A(k +1) = 16k + 1 - 15(k + 1) - 1
= 16.16k - 15k - 15 -1
= (16k - 15k -1) + (15.16k - 15)
= A(k) + 15(16k - 1)
Do A(k) chia hết cho 225
16k - 1 chia hết cho 16 - 1 (= 15) => 15(16k - 1) chia hết cho 225
=> A(k + 1) chia hết cho 225
Khi gặp những bài toỏn chứng minh với là số tự nhiờn, ta vẫn thường dựng phương phỏp quy nạp Cụ thể lược đồ của cỏch giải này là:
Giả sử , ta chứng minh Nhưng để ý rằng nếu thỡ
Vỡ vậy cú thể xem đõy là một biến dạng của phương phỏp quy nạp, để chứng minh ta qua hai bước:
Trang 4 Áp dụng phương phỏp này, ta cú thể giải được một loạt cỏc bài toỏn chia hết khỏ cồng kềnh.
Lời giải:Cú
Xột
Lại ỏp dụng phương phỏp trờn với
Một số bài tập áp dụng
* Sử dụng phơng pháp (I)
Bài tập 1: Chứng minh rằng(CMR): Trong k số nguyên liên tiếp có một và chỉ một
số chia hết cho k
Bài tập 2: CMR: Trong m số nguyên bất kì bao giờ cũng có 1 số chia hết cho m
hoặc ít nhất 2 số có tổng chia hết cho m
* Sử dụng phơng pháp (II)
Bài tập 3: CMR: Tích của 1 số chính phơng với số tự nhiên đứng liền trớc nó là số
chia hết cho 12
Bài tập 5: CMR:
a) n2 + 4n + 3 chia hết cho 8 ( n lẻ)
b) n3 + 4n2 - n - 3 chia hết cho 48 ( n lẻ)
*Sử dụng phơng pháp (III)
Bài tập 7: Cho a, b N CMR:
a) Nếu a + 4b chia hết cho 13 thì 10a + b chia hết cho 13 và ngợc lại
b) Nếu 3a + 2b chia hết cho 17 thì 10a + b chia hết cho 17 và ngợc lại
Bài tập 8: CMR:
a) Nếu 3n + 1 chia hết cho 10 thì 3n + 4 + 1 chia hết cho 10
b) Nếu (mn + pq) chia hết cho (m - p), thì (mq + np) chia hết cho (m - p)
( m, n, p, q Z; m p)
c) Nếu a - b chia hết cho 6 thì: a + 5b chia hết cho 6; a + 17b chia hết cho b;
a - 14b không chia hết cho 6
Bài tập 9: CMR:
a) Nếu bx + 11y chia hết cho 31 thì k + 7y chia hết cho 31 Điều ngợc lại có đúng không ?
b) (5x + 2y) chia hết cho 17 <=> 9x + 7y chia hết cho 17
Trang 5Bài tập 10: CMR: (1 + 3 + 5 + 7 ) chia hết cho 2
S2 = (2 + 2 2 + 2 3 + + 2100) chia hết cho 31 S3 = (16 5 + 2 15) chia hết cho 33
*Sử dụng phơng pháp (V)
hoặc có ít nhất 2 số có tổng chia hết cho m
BT15: CMR: Trong 6 số tự nhiên bất kì tìm đợc 2 số có hiệu chia hết cho 5
BT16: CMR: Tồn tại một bội số của 1989 đợc viết bởi toàn các chữ số 0 và 1
*Sử dụng phơng pháp (V)
a) 4n - 15n - 1 chia hết cho 9
b) 10n + 18n - 28 chia hết cho 27
n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24
*Chứng minh cú:
1
2
3
4