(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ LINH CHI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - VŨ THỊ LINH CHI VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Vũ Vinh Quang THÁI NGUYÊN - 2021 Mục lục Bảng ký hiệu viết tắt i Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm kết đặc trưng không gian Hilbert 1.2 Bài toán điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 12 Chương Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 2.1 Phương pháp gradient tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động khơng gian Hilbert 2.2 2.3 14 14 Phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 22 Một số ví dụ 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 i Bảng ký hiệu viết tắt R H ∅ ∀x ∃x x, y x PC (x) inf y∈C x − y T I G(T ) Fix(T ) V I(A, C) tập số thực không gian Hilbert thực tập rỗng với x tồn x tích vơ hướng hai véc-tơ x y chuẩn véc-tơ x hình chiếu x lên C infimum tập { x − y : y ∈ C} tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert toán tử đồng H đồ thị toán tử T tập hợp điểm bất động T toán bất đẳng thức biến phân Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động chung chủ đề thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học ngồi nước Bài tốn tìm điểm bất động giải bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert: Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert H Ánh xạ A : C → H liên tục Bài tốn bất đẳng thức biến phân tìm x ∈ C cho A(x), y − x 0, ∀y ∈ C (0.1) Bài toán bất đẳng thức biến phân ký hiệu V I(A, C) Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ T : H → H tốn tìm x ∈ H cho T (x) = x (0.2) Mục đích đề tài luận văn trình bày tốn điểm bất động chung ánh xạ nửa co bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đơn điệu liên tục Lipchitz khơng gian Hilbert Tức tìm nghiệm chung toán (0.1) toán (0.2) Dưới hướng dẫn TS Trần Xuân Quý TS Vũ Vinh Quang, chọn đề tài luận văn: “Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert” Nội dung luận văn trình bày hai chương, cụ thể sau: Chương 1: Trình bày số kết đặc trưng khơng gian Hilbert Trình bày số phương pháp lặp có liên quan tới tốn tìm điểm bất động tốn bất đẳng thức biến phân Chương 2: Trình bày hai phần Phần thứ trình bày khái quát phương pháp lặp giải tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert, phần hai trình bày phương pháp lặp hữu hiệu giải tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Trong q trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy cô Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin Với luận văn này, em mong muốn góp phần nhỏ cơng sức vào việc gìn giữ phát huy vẻ đẹp, hấp dẫn cho định lý toán học đẹp Đây hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun nói chung Khoa Tốn – Tin nói riêng, truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu thời gian em học viên trường Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Phú Lương, Thái Nguyên toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho em thời gian học Cao học; cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học Toán K12 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ em trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, TS Trần Xuân Quý TS Vũ Vinh Quang quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp K12 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ hai bên anh chị em cháu gia đình Xin chân thành cảm ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Cuối tơi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tơi q trình học tập làm luận văn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, 26 tháng 01 năm 2021 Học viên Vũ Thị Linh Chi Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức không gian Hilbert số khái niệm, định nghĩa Đồng thời trình bày tốn tử, tốn tìm điểm bất động tốn bất đẳng thức biến phân Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1, 17] Chương trình bày số kết khơng gian Hilbert số phương pháp lặp có liên quan tới tốn tìm điểm bất động tốn bất đẳng thức biến phân 1.1 Một số khái niệm kết đặc trưng không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H khơng gian tuyến tính R, tích vơ hướng xác định H ánh xạ , : H × H −→ R (x, y) −→ x, y thỏa mãn điều kiện sau đây: x, y = y, x với x, y ∈ H; x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H; λx, y = λ x, y với x, y ∈ H, λ ∈ R; x, x ≥ với x ∈ H x, x = ⇔ x = Số x, y gọi tích vơ hướng hai vectơ x, y H Định nghĩa 1.1.2 Cặp (H, , ), H khơng gian tuyến tính R, , tích vơ hướng H gọi không gian tiền Hilbert thực Định lý 1.1.3 (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H với x, y ∈ H ta ln có đẳng thức sau: x, y x, y | x, y |2 Định lý 1.1.4 Mọi không gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định công thức x = (1.1) ∀x ∈ H x, x Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Định nghĩa 1.1.5 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.1) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.6 Khơng gian Rn khơng gian Hilbert với tích vơ hướng n x, y = xk yk , k=1 x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , chuẩn cảm sinh n x = x, x = n xk xk = k=1 xk2 k=1 Ví dụ 1.1.7 Không gian     l = x = (xn )n ∈ R :   ∞ n=1     |xn | < +∞   khơng gian Hilbert với tích vơ hướng, ∞ xn yn , x, y = x = (xn )n∈N , y = (yn )n ∈ l2 n=1 chuẩn ∞ ∞ x = x, x = |xn |2 = ( n=1 |xn |2 ) n=1 Ví dụ 1.1.8 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng b x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] , x, y = a chuẩn    x =    21   |x(t)| dt  b a Mệnh đề 1.1.9 (Đẳng thức hình bình hành) Trong khơng gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau: x+y + x−y = 2( x 2 + y ), với x, y ∈ H Chứng minh Ta ln có x+y = x + xx, y + y , x−y = x − xx, y + y Cộng hai đẳng thức ta nhận điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.10 Trong không gian Hilbert thực H ta ln có đẳng thức sau x−y + x−z = y−z + x − y, x − z , với x, y, z ∈ H Chứng minh Thật vậy, ta có y−z + x − y, x − z = y, y + z, z + x, x − x, z − x, y = [ x, x − x, y + y, y ] + [ x, x − x, z + z, z ] = x−y + x − z Vậy ta điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.11 Trong không gian Hilbert thực H , ta ln có (i) λx + (1 − λ)y (ii) x + y x 2 =λ x + (1 − λ) y + y, x + y − λ(1 − λ) x − y với x, y ∈ H Chứng minh (i) Ta có λx + (1 − λ)y = λ2 x + 2λ(1 − λ) x, y + (1 − λ)2 y =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ)( x =λ x + (1 − λ) y − λ(1 − λ) x − y − x, y + y ) Ta điều phải chứng minh (ii) Với x, y ∈ H , ta có x+y = x + x, y + y x + x, y + y = x + y, x + y 2 Ta điều phải chứng minh Định nghĩa 1.1.12 Cho H không gian Hilbert Dãy {xn } ⊂ H Khi ta có khái niệm sau (a) Dãy {xn }∞ n=1 gọi hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H lim xn , y = x, y , n→∞ ∀y ∈ H (b) Dãy {xn }∞ n=1 gọi hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H lim xn − x = n→∞ Kí hiệu xn x hội tụ yếu, xn → x hội tụ mạnh dãy {xn } đến phần tử x ∈ H Định nghĩa 1.1.13 (a) Tập hợp C ⊆ H gọi tập lồi ∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C (b) Tập C ⊂ H gọi tập đóng dãy hội tụ {xn } ⊂ C có giới hạn thuộc C, nghĩa với {xn } ⊂ C cho xn → x n → ∞ kéo theo x ∈ C 29 đó, với n n0 , từ (i) ta có (1 − γn )an + γbn an+1 < (1 − γn )an − γn = an − γn (an + 1) a n − γn Theo quy nạp, ta có n an+1 γi an − i=n0 Lấy giới hạn hai phía bất đẳng thức cuối cùng, ta có n lim sup an n→∞ γi = −∞ an0 −1 − lim n→∞ i=n0 Điều mâu thuẫn với dãy {an }∞ n=0 dãy số thực khơng âm Do đó, lim supn→∞ bn −1 Trong bổ đề tiếp theo, ta điểm tụ yếu {xn }∞ n=0 thuộc tập Ω∩Fix(T ), tập nghiệm cung toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động Bổ đề 2.2.9 ([5]) Giả sử xn − yn → 0, wn − yn → xn+1 − → n → ∞ Cho p ∈ H giới hạn yếu dãy {xnk }∞ n=0 Khi p ∈ Ω ∩ Fix(T ) Chứng minh Do xn − yn → xnk p, ta có ynk p yn ∈ C, nên ta có p ∈ C Với x ∈ C áp dụng (2.21), ta có (do A đơn điệu) ynk − xnk + βnk A(xnk ), x − ynk = ynk − xnk , x − ynk + βnk A(xnk ), xnk − ynk + βnk A(xnk ), x − xnk ynk − xnk , x − xnk + βnk A(xnk ), xnk − ynk + βnk A(x), x − xnk Cho qua giới hạn, ta A(x), x − p ∀x ∈ C Từ Bổ đề 1.3.5, ta có p ∈ Γ Hơn nữa, từ (2.24), ta có − T (vn ) = xn+1 − → 0, ω n → ∞ 30 Cũng từ (2.24) ta có − wn → 0, n → ∞ Vì wn − yn → xn − yn → 0, ta có wn − xn → đó, − xn → Do xnk p, ta có vnk p từ tính nửa đóng I − T , ta có p ∈ Fix(T ) Do đó, ta có p ∈ Ω ∩ Fix(T ) Định lý 2.2.10 ([5]) Cho Giả thiết 2.2.2 2.2.3 Khi dãy {xn }∞ n=0 sinh Thuật toán 2.2.1 hội tụ mạnh đến nghiệm z ∈ Ω ∩ Fix(T ), z nghiệm x − z, G(z) ∀x ∈ Ω ∩ Fix(T ) (2.36) Chứng minh Để thu hội tụ mạnh Thuật toán 2.2.1, giống Bổ đề 2.2.8, ta đặt an := xn − z chứng minh theo hai trường hợp sau Trường hợp 1: Giả sử tồn n0 ∈ N cho { xn − z }∞ n=0 khơng tăng Khi { xn − z }∞ n=0 hội tụ ta có an − an+1 → 0, (2.37) n → ∞ Từ (2.24), ta có xn+1 − z = (1 − ω)vn + ωT (vn ) − z = − z − 2ω − z, − T (vn ) + ω2 − T (vn ) − z − ω(1 − β − ω) − T (vn ) (2.38) Thực tế (xn+1 − ) ω từ (2.24), ta có từ (2.38) (áp dụng (2.31) Mệnh đề 1.1.11 (ii)) suy T (vn ) − = xn+1 − z (1 − β − ω) xn+1 − ω − z − xn+1 − vn − z − = (wn − z) − αnG(wn ) = wn − z − xn+1 − 2 − 2αn G(wn ), − z − xn+1 − (2 − γ) xn − z − wn − xn γ − 2αn G(wn ), − z − xn+1 − (2 − γ) xn − z − wn − xn γ 2 31 + αn M3 − xn+1 − , (2.39) với M3 > Suy an+1 − an + xn+1 − + (2 − γ) wn − xn γ αn M3 (2.40) Áp dụng (2.37) (2.40), ta có n → ∞ xn+1 − → 0, wn − xn → 0, n → ∞ Từ (2.30) (2.27), ta có xn − yn , d(xn , yn ) = wn − xn 2 γ + β2n L2 wn − xn (1 − βn L)γ (2.41) Áp dụng (2.25), từ (2.41) suy xn − yn xn − yn , d(xn , yn ) − βn L + β2n L2 wn − xn 2 (1 − βn L) γ (2.42) Áp dụng Giả thiết 2.2.3 (b) wn − xn → 0, n → ∞, ta có xn − yn → 0, n → ∞ Suy wn − yn wn − xn + xn − yn → 0, n → ∞ Từ (2.24), ta M4 > 0, − wn = αn G(wn ) αn M4 → 0, n → ∞ Do đó, xn+1 − + − wn + wn − xn → 0, xn+1 − xn n → ∞ Ta có xn − xn+1 − xn + xn+1 − ∞ ∞ Do {xn }∞ n=0 tập bị chặn H, ta chọn dãy {xnk }k=0 {xn }n=0 cho xnk p ∈ H lim sup G(z), xn − z = lim G(z), xnk − z n→∞ k→∞ 32 Theo Bổ đề 2.2.9, ta có p ∈ Ω ∩ Fix(T ) Vì vnk − xnk → 0, k → ∞ nên ta có k p ∈ Ω Đưa z nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.36), ta µ lim −G(z), vnk − z ν k→∞ µ =2 lim −G(z), xnk − z ν k→∞ µ lim −G(z), vnk − xnk +2 ν k→∞ µ −G(z), p − z ν lim sup bn = n→∞ (2.43) Áp dụng Bổ đề 1.3.2 (2.43) Bổ đề 2.2.8 (i), ta limn→∞ xn − z = Vậy, ta có xn → z, n → ∞ Trường hợp 2: Giả sử khơng có n0 ∈ N cho { xn − z }∞ n=n0 đơn điệu tăng Đặt τ : N → N ánh xạ xác định với n τ(n) := max{k ∈ N : k n, ak n0 (với n0 đủ lớn) ak+1 }, nghĩa τ(n) số lớn k {1, , n} cho ak tăng k = τ(n); ý rằng, Trường hợp 2, τ(n) xác định với n đủ lớn Rõ ràng, τ dãy không tăng cho τ(n) → ∞ n → ∞ aτ(n) aτ(n)+1 ∀n n0 Như Trường hợp (thay n τ(n)), ta suy xτ(n) − yτ(n) → 0, n → ∞ wτ(n) − yτ(n) → 0, n → ∞, Hơn nữa, ta suy xτ(n)+1 − vτ(n) → 0, n→∞ xτ(n)+1 − xτ(n) xτ(n)+1 − wτ(n) + wτ(n) − xτ(n) → 0, n → ∞ ∞ ∞ Do {xτ(n) }∞ n=0 bị chặn, tồn dãy {xτ(n) }n=0 , ký hiệu {xτ(n) }n=0 , hội tụ yếu đến p ∈ H, theo Bổ đề 2.2.9 tương đương với p ∈ Ω ∩ Fix(T ) Tương tự, Trường hợp (2.43), suy lim sup bτ(n) n→∞ 33 Áp dụng Bổ đề 2.2.8 (i), ta γτ(n) aτ(n) aτ(n) − aτ(n)+1 + γτ(n) bτ(n) γτ(n) bτ(n) Vì γτ(n) > nên aτ(n) bτ(n) lim sup aτ(n) ≤ lim sup bτ(n) n→∞ n→∞ Do đó, limn→∞ aτ(n) = Khi đó, ta có √ aτ(n)+1 = xτ(n)+1 − z xτ(n) − z + xτ(n)+1 − xτ(n) → 0, n → ∞ Suy lim aτ(n) = aτ(n)+1 = n→∞ Hơn nữa, với n aτ(n)+1 (ta có τ(n) n0 , dễ thấy an n với n n0 xét ba trường hợp: τ(n) = n, τ(n) = n − τ(n) < n − 1) Đối với trường hợp thứ thứ hai, rõ ràng an aτ(n)+1 , với n n0 Trong trường hợp thứ ba τ(n) ta có từ định nghĩa τ(n) với số nguyên n τ(n) + j đủ lớn n − Vậy aτ(n)+1 an aτ(n)+2 an−1 n0 mà a j n − 2, a j+1 với an Do đó, ta có với n aτ(n)+1 Do limn→∞ an = Do đó, {xn }∞ n=0 hội tụ mạnh đến z Nếu cho T = I, ánh xạ đồng G := I − x1 , từ Thuật tốn 2.2.1 ta có thuật toán sau ∞ Thuật toán 2.2.11 ([5]) Bước 0: Chọn dãy {αn }∞ n=0 ⊂ (0, 1) {βn }n=0 cho điều kiện Giả thiết 2.2 γ ∈ (0, 2) Cho x1 ∈ H điểm xuất phát Đặt n := Bước 1: Tính yn := PC (xn − βn A(xn )) Nếu xn − yn = 0: Dừng Bước 2: Tính d(xn , yn ) = (xn − yn ) − βn (A(xn ) − A(yn )), ∀n (2.44) n 1, (2.45) Bước 3: Tính xn+1 = αn x1 + (1 − αn )(xn − γρn d(xn , yn )), 34 {ρn }∞ n=0 cho  xn − yn , d(xn , yn )    ,   d(xn , yn ) ρn =     0, d(xn , yn ) = d(xn , yn ) 0, Bước 4: Đặt n ← n + quay lại Bước Áp dụng thuật toán 2.2.11, ta thu kết hội tụ mạnh cho nghiệm VI(A, C) Bổ đề 2.2.12 ([5]) Cho Giả thiết 2.2.2 2.2.3 Khi dãy {xn }∞ n=0 sinh thuật toán 2.2.11 hội tụ mạnh đến nghiệm z ∈ Ω , z := PΩ (x1 ) 2.3 Một số ví dụ Trong phần này, trình bày ví dụ số để chứng minh hiệu suất Thuật toán 2.2.1 cách so sánh với Thuật tốn Maingé (9) ([11], Phương trình (3.6)) Kraikaew Thuật tốn Saejung (11) ([9], Phương trình (8)) Ví dụ này, ta xét tốn tử T ([4] [10]) VI(A, C) từ [7] Ví dụ 2.3.1 ([5]) Cho H = R2 , B := {x ∈ R2 | x B2 := {x ∈ B | x 1}, B1 := {x ∈ B | x ≤ 12 } 1} Cho x = (a, b) ∈ H, đặt x⊥ = (b, −a) Ánh xạ T : B → B xác định   ⊥    x + x T (x) =  x  ⊥    x −x+x x ∈ B1 , (2.46) x ∈ B2 Như [4], Fix(T ) = {0} T 5-Lipschitz 1-nửa co Bây giờ, VI(A, C), ta xét ví dụ từ [7] R2 Cho tốn tử tuyến tính A(x) = Mx + q, M = BBT + S + D B, S D ma trận cỡ × với S phản đối xứng D ma trận đường chéo không âm q ∈ R2 Cho C ⊂ R2 lồi đóng (khối đa diện) định nghĩa C := {x ∈ R2 |Qx b}, Q ma trận cỡ × b véc tơ khơng âm Rõ ràng A đơn điệu liên tục M -Lipschitz Để đảm bảo VI(A, C) ∩ Fix(T ) ∅, ta lấy q = {0} nghiệm Ta so sánh Thuật toán 2.2.1 với thuật tốn Maingé (9) [[11], phương trình (3.6)] Kraikaew thuật tốn Saejung (11) [[9], phương trình (8)] chọn G := I − x0 , với điểm xuất phát x0 ∈ R2 , xét [−5, 5] Tham số ta 35 ∞ sử dụng là: dãy {αn }∞ n=0 = {1/(n + 1)}n=0 ∞ {βn }∞ n=0 = {(1/4) + ((n((1/ M ) − (1/4)))/(n + 1))}n=0 , γ = ω = 0.5 Các ε = 10−8 Các hình quy tắc dừng số lần lặp tối đa, 500 xk − yk chiếu lên C tính cách sử dụng phần mềm MATLAB Thuật toán Số lần lặp s CPU (s) A(xk ) Thuật toán 2.1 100 38.0625 6.65e - Thuật toán 100 73.2656 7.44e - Thuật toán 11 100 85.8750 5.31e - Bảng 2.1: So sánh Thuật toán 2.2.1 với Thuật toán Maingé (9) Thuật toán Kraikaew Saejung (11) Hình 2.1: So sánh Thuật tốn 2.2.1 với Thuật toán Maingé (9) Thuật toán Kraikaew Saejung (11) Trong Bảng 2.1 Hình 2.1, so sánh trình bày liên quan đến số khía cạnh Vì ba thuật tốn có chung điểm đặc trưng, tương tự, đặc biệt trường hợp kích thước nhỏ Ưu điểm thuật tốn tính tốn, cần phải tính hình chiếu lên tập C khả thi lần cho lần lặp Trong trường hợp tập C khơng "đơn giản", ví dụ, C khối đa diện ví dụ trên, Q ∈ Rm×n , hình chiếu lên C để giải hệ bất phương trình tuyến tính lần lặp Tuy nhiên, trường hợp kích thước nhỏ, quan sát thấy Thuật toán 2.2.1 hiệu thời gian tính tốn x k − yk ε = 10−8 Ví dụ cuối minh họa hội tụ mạnh Thuật tốn 2.2.1 Ví dụ 2.3.2 ([5]) Lấy H = l2 := {x = (x1 , x2 , , xi , )| l2 |xi 0, i ∞ i=1 |xi | < ∞}, C := {x ∈ 1}, A(x) = (x1 , 0, x3 , 0, , x2i−1 , 0, ) T (x) = x, x ∈ l2 Ta có A 36 đơn điệu liên tục L-Lipschitz với L = Tương tự, T nửa co (I − T ) nửa đóng điểm gốc Hơn nữa, Ω := V I(A, C) ∩ Fix(T ) = {x ∈ l2 |x2i−1 = 0, xi 0, i ≥ 1} ∅ Chọn βn = αn = (1/(n + 1)), n Dễ thấy Giả thiết 2.2.2 2.2.3 Chọn x1 = (0, x21 , 0, x41 , , 0, x2i , ) ∈ l2 Khi đó, áp dụng Thuật tốn 2.2.1, ta có yn = PC xn − A(xn ) n n n n n = PC x1 , x2 , x3 , , x2i−1 , x2i , 2 2 1 n n , x2i , , = x1n , x2n , x3n , , x2i−1 2 1 n xn − yn = x1n , 0, x3n , , x2i−1 , 0, 2 A(xn ) − A(yn ) = n n n , 0, x1 , 0, x3 , , x2i−1 2 Hơn nữa, d(xn , yn ) = (xn − yn ) − (A(xn ) − A(yn )) 1 n , 0, = x1n , 0, x3n , , x2i−1 2 Khi đó, d(x , y ) n n = ∞ n (x2i−1 )2 i=1 x − y , d(x , y ) = n n Do ρn = n (0, 0, ) ∞ n )2 (x2i−1 n i=1 xn − yn , d(xn , yn ) = d(xn , yn ) Lấy γ = ta có wn = xn − d(xn , yn ) = n n n n n x1 , x2 , x3 , , x2i−1 , x2i , 2 xn+1 = αn x1 + (1 − αn )wn 37 = αn x11 + (1 − αn ) x1n , αn x21 + (1 − αn )x2n , n n , αn x2i + (1 − αn )x2i , + αn x2i−1 + (1 − αn ) x2i−1 Do đó, 1 n xn+1 = (1 − αn ) x1n , αn x21 + (1 − αn )x2n , , (1 − αn ) x2i−1 , 2 n αn x2i + (1 − αn )x2i , 1 Ta thu dãy {xn }∞ n=0 hội tụ mạnh đến z = (0, x2 , 0, x4 , , 0, x2i , ) ∈ Ω, x n+1 −z n+1 x1 ∀n 38 Kết luận Luận văn “Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert” trình bày số nội dung sau: Trình bày số khái niệm kết đặc trưng khơng gian Hilbert Trình bày toán điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân số tính chất liên quan Trình bày phương pháp lặp giải tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Trình bày phương pháp lặp hữu hiệu giải tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 39 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐH Quốc gia HN Tiếng Anh [2] Y Censor, A Gibali, S Reich (2011), “Strong convergence of subgradient extragradient methods for the variational inequality problem in Hilbert space”, Optim Methods Softw, 26, pp 827–845 [3] Y Censor, A Gibali, S Reich (2011), “The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space”, J Optim Theory Appl., 148, pp 318–335 [4] C E Chidume, S A Mutangadura (2001), “An example of the Mann iteration method for Lipschitz pseudocontractions” Proc Amer Math Soc., 129, pp 2359–2363 [5] A Gibali, Y Shehu (2019), “An efficient iterative method for finding common fixed point and variational inequalities in Hilbert spaces”, A Journal of Mathematical Programming and Operations Research, 68(1), pp 13-32 [6] K Goebel, W A Kirk (1990), Topics on Metric Fixed-Point Theory, Cambridge University Press, England [7] P T Harker, J S Pang (1990), “A damped-Newton method for the linear complementarity problem, in Computational solution of nonlinear systems of equations”, Lectures in Appl Math., 26, pp 265–284 40 [8] GM Korpelevich (1976), “The extragradient method for finding saddle points and other problems”, Ekonomika i Mat Metody, 12, pp 747–756 [9] R Kraikaew, S Saejung (2014), “Strong convergence of the Halpern subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces”, J Optim Theory Appl., 163, pp 399–412 [10] R Kraikaew, S Saejung (2014), “On a hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems”, Numer Funct Anal Optim, 35, pp 32–49 [11] P E Maingé (2008), “A hybrid extragradient-viscosity method for monotone operators and fixed point problems”, SIAM J Control Optim, 47, pp 1499–1515 [12] G Marino, H K Xu (2007), “Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces”, J Math Anal Appl., 329, pp 336–346 [13] N Nadezhkina, W Takahashi (2006), “Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings”, Journal of Optimization Theory and Applications, 128, pp 191–201 [14] N Nadezhkina, WW Takahashi (2006), “Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipschitz-continuous monotone mappings”, SIAM J Optim, 16, pp 1230–1241 [15] T Suzuki (2005), “Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s Type sequences for one-parameter nonexpansive semigroups without Bochner integrals”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 305, pp 227–239 [16] W Takahashi, M Toyoda (2003), “Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings”, J Optim Theory Appl., 118, pp 417–428 [17] W Takahashi (2000), Nonlinear Functional Analysis, Yokohama, Japan [18] H K Xu (2004), “Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 298, pp 279–291 41 [19] L C Zeng, J C Yao (2006), “Strong convergence theorem by an extragradient method for fixed point problems and variational inequality problems”, Taiwanese J Math., 10, pp 1293–1303 [20] L C Zeng, J C Yao (2007), “An extragradient-like approximation method for variational inequality problems and fixed point problems”, Applied Mathematics and Computation, 190, pp 205–215 ... tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert, phần hai trình bày phương pháp lặp hữu hiệu giải tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Trong. .. Chương Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert 2.1 Phương pháp gradient tăng cường giải toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động khơng gian. .. điểm bất động toán bất đẳng thức biến phân số tính chất liên quan Trình bày phương pháp lặp giải tốn tìm điểm bất động chung bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert Trình bày phương pháp lặp