trạng thái tương ứng.
Việc giải phương trình Schrođinger chỉ thực hiện được một cách chính xác đối với nguyên tử hiđro và những ion giống hiđro (hệ có một electron). Đối vói các nguyên tử phức tạp phải giải theo các phương pháp gần đúng.
Nguyên tử hiđro (và những ion giống hiđro như He+, Li++, Be+++, v.v...) cỏ một electron duy nhất chuyển động trong trường lực của hạt nhân với một điện tích +e (hay +ze). Chuyển động của electron trong nguyên tử hiđro là trường hợp quan trọng nhất của những chuyển động xuyên tâm (1).
Bài toán về chuyển động của electron trong nguyên tử hiđro
là bài toán cơ bản nhất của cơ học lượng tử về cấu tạo nguyên tử. Những kết quả thu được ở đây sẽ là cơ sở cho lí thuyết chung về cấu tạo nguyên tử.
Trong trường hợp th ế năng u chỉ phụ thuộc vào khảng cách r giữa
hạt lượng tử và một điểm nào đó gọi là tăm thì trường th ế được gọi là trường xuyên tăm.
2.2.2. Phương trìn h S ch ro d in g er cho bài toán hiđro
Nguyên tử hiđro gồm một electron và một proton. Khôl lượng của electron nhỏ hơn khôi lượng của proton chừng 1840 lần. Vì vậy để đơn giản, có thể coi proton đứng yên ở gốc tọa độ và chỉ có electron chuyến động xung quanh proton (hạt nhân +e) đó. Tương tác tĩnh điện giữa hạt nhân và electron được mô tả bởi định luật Cu-lông. Do đó thê năng
9
,, 0“
của hệ được tính theo biêu thức u = - —
r
Phương trình Schrođinger đối với bài toàn nguyên tử hiđro có dạng: ( s-l tì ^‘2 Ó tì^2 X + —-- (p(x, y.z) +. 2m <E + —e 2 ì ^ :2 ^ C X CV '2 d z J ỉr l r J(p(x,y,z) = 0 (2.13) Hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ của electron. Vì nguvên tử có đối xứng cầu nên việc dùng các tọa độ cầu (r, 9. z) (hình 5) thay cho các tọa độ X, y, z) là tiện lợi hơn.
Hình 5. Hệ tọa ổộ cáu
Trong hệ tọa độ cầu, phương trìn h Schrodinger có dạng: 1 tì d r ổcp õr 1 1 2m + A cp + - ; r h 2 ' e 2 ) E + - - tp = 0 (2.14)
Trong đó (p là hàm của các tọa độ cầu (p(r, 0. <p). Do tính chất của trường xuyên tâm , nó có thể biểu thị bằng tích của
hàm chỉ phụ thuộc vào b án k ín h (hàm bán kính) R(r) và hàm chỉ phụ thuộc vào các góc 0, (p (hàm góc): Y(0, (p).
ọ(r,e,cp) = R(r).Y(9,<p) (2.15)
A - p h ần góc của to án tử Lap-lace. (V 2):
A =
sin 9 59Vsin 9ae +s in 2 9 5(p2 A (2.16) m - khối lượng của electron (m = 9,1091.10 28 g)
Đ ặt (2.15) vào (2.14) và qua vài biến đồi đơn giản phương trìn h (2.14) sẽ được tách ra th à n h hai phương trình: Một phương trìn h chỉ p h ụ thuộc vào các góc gọi là phương trìn h góc (2.17) và một phương trìn h chỉ phụ thuộc vào bán kính r gọi là phương trìn h b án k ín h (2.18).
M 2 Y(9, (p) = xtì2 Y(9, (p) trong đó: M 2 = ti2 X, X - h ằn g sô
9 dR> dr dr + r 2m 2 E + — R = XR (2.17) (2.18)
Các phương trìn h có m ột tập hợp vô h ạ n các nghiệm. N hững nghiệm được chấp n h ậ n phải thoả m ãn các tiêu chuẩn của một hàm sóng (xem tiểu lục 2.2.3, chương 2) và sô các nghiệm này là h ữ u hạn . C húng ta không giải cụ thể các phương trìn h vi p h â n nói trê n vì việc làm này vượt khỏi phạm vi của giáo trìn h ... như ng sẽ nghiên cứu cặn kẽ các kết quả th u được từ việc giải các phương trìn h đó.
2.2.3. N g h iệm v à cá c k ế t q u ả bài to á n h iđ ro