Chương 2 NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ
2.2. Thể chế dạy học toán ở lớp 9 (I2)
2.2.1. Thể chế hiện hành
Như đã phân tích ở chương I để làm rõ đặc trưng mối quan hệ thể chế với đối tượng rà soát, kiểm tra cần thiết nghiên cứu đồng thời cả 2 thể chế chính thức và thể
chế địa phương cụ thể trong phần này chúng tôi sẽ nghiên cứu so sánh giữa chương trình SGK hiện hành và tài liệu địa phương cụ thể tại TP.HCM.
Về phương pháp phân tích:
- Nghiên cứu đồng thời các tổ chức tri thức: T,,,và K,,,. Trong đó T là kiểu nhiệm vụ “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”; K là kiểu nhiệm vụ “kiểm tra” gắn với việc thực hiện T.
- Không nghiên cứu chi tiết tổ chứcR,,, với R là kiểu nhiệm vụ “rà soát” gắn với việc thực hiện T, mà chỉ làm rõ đặc trưng của 3 trong 6 thành phần của đối tượng rà sốt OR (ngồi thành tố kiểm tra và hợp thức hóa). Đó là: Cảm nhận; Phân định và lựa chọn; Nhận thức về sai sót, cảm nhận về các mâu thuẫn.
- Nghiên cứu chủ yếu bước 4 của quá trình MHH và pha kết luận.
Mặt khác, để tiết kiệm công sức, chúng tôi sẽ sử dụng kết quả của một số cơng trình nghiên cứu đã có.
2.2.2. Chương trình, sách giáo khoa, sách bài tập và sách giáo viên Toán 9 hiện hành (tương ứng mối quan hệ thể chế chính thức)
Theo luận văn của Phạm Anh Lý (2012) [Nghiên cứu về việc dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mơ hình hóa Tốn học], một trong những nguyên tắc xây dựng chương trình THCS được đề cập trong SGV Tốn 9 (tr.3) là:
“Khơng q coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức tốn học trong chương trình; hạn chế đưa vào chương trình những kết quả có ý nghĩa lý thuyết thuần túy và các phép chứng minh dài dịng, phức tạp khơng phù hợp với đại đa số học sinh. Tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kỹ năng tính tốn và vận dụng các kiến thức tốn học vào đời sống và các môn học khác.”
(Phạm Anh Lý, 2012, tr.3) Như vậy tính thực tiễn của mơn Tốn nói chung và của chương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nói riêng đã được chú ý và tăng cường.
Liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, Nguyễn Thị Thùy Trang (2006) [?] làm rõ các kiểu nhiệm vụ và tỷ lệ tương ứng như sau:
- Kiểu nhiệm vụ T2: “Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình” (44/148 bài tập).
- Kiểu nhiệm vụ T3: “Đốn số nghiệm của hệ phương trình.” (25/148 bài tập). Trong khuôn khổ luận văn chúng tôi chủ yếu quan tâm đến kiểu nhiệm vụ T2 và kiểu nhiệm vụ T1 được xem là kiểu nhiệm vụ con của T2.
A. Kiểu nhiệm vụ T1
Trước khi phân tích chi tiết T2 chúng tơi sẽ phân tích sơ bộ về T1 Theo tác giả Phạm Anh Lý (2012), tr.37
“ Sách giáo khoa nhắc lại phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình
( đã biết ở lớp 8) và trình bày một cách đặt hai ẩn tương ứng với hai đại lượng chưa biết trong bài tốn, […].Sau đó SGK trình bày định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của chúng. Tiếp đó, các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính ( phương pháp thế và phương pháp cộng đại số ) được đưa vào. Hầu hết các ví dụ và bài tập đều xoay quanh kiểu nhiệm vụ giải hệ phương trình với một hệ phương trình được cho sẵn để áp dụng các kỹ thuật vừa được trình bày.”
(Phạm Anh Lý, 2012, tr.37)
Kiểu nhiệm vụ T1: “Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn”
Nếu hệ phương trình đã cho (sau khi rút gọn) có dạng
2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a Kĩ thuật
- Bước 1: Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
- Bước 2: Kết luận nghiệm của hệ phương trình. Cụ thể là kết luận số nghiệm của hệ phương trình. Kết luận được thể hiện bằng đáp số chẳng hạn “ Đáp số: x;y 1;3 ” hoặc “Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x;y 1;3 ” hoặc “Trả lời: Vô nghiệm.”
Cơng nghệ : Phương trình bậc nhất. Nếu hệ phương trình chưa có dạng
2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a
Kĩ thuật
- Bước 1: Biến đổi và đặt ẩn phụ để đưa phương trình về dạng
2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a - Bước 2: Giải hệ 2 2 2 1 1 1 c y b x a c y b x a
bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số. - Bước 3: Trả về ẩn cũ để tìm nghiệm của hệ phương trình.
- Bước 3: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Cơng nghệ : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ minh họa VD2 Giải hệ phương trình 5 1 1 1 5 4 1 1 y x y x Bài giải: Hình 2.1. SBT Tốn 9 tập 2, tr.25
Ngoài ra các bài tập giải hệ phương trình mà cách giải dẫn tới phương trình bậc 2 khơng xuất hiện trong SGK và SBT Tốn 9. Hầu hết các bài tập chỉ dừng lại ở cách giải đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc nhất hai ẩn.
Về đối tượng rà sốt và kiểm tra
- Một số thành tố rà soát cụ thể là thành tố “cảm nhận” và thành tố “ phân định, lựa chọn sáng suốt” được ghi nhận từ SGV Tốn 9 qua trích dẫn từ bài 3 “ Giải hệ
phương trình bằng phương pháp thế” mục B - Những điểm cần lưu ý tr.11 và bài 4 “ Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số” mục B - Những điểm cần lưu ý tr.15.
“Trước khi giải hệ phương trình nói chung HS nên có thói quen đốn nhận về số nghiệm của hệ phương trình sẽ giải để sơ bộ biết trước rằng hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất hay vô nghiệm hay vô số nghiệm. Chẳng hạn đối với hệ
0 4 6 1 2 3 y x y x , ta chỉ cần biến đổi thành hệ 0 2 3 1 2 3 y x y x
rồi kết luận hệ vơ nghiệm.”
“ Nói chung trước khi giải hệ phương trình, nên tạo cho HS thói quen nhận xét về số nghiệm của hệ ( có nghiệm duy nhất, vơ nghiệm hay vơ số nghiệm ). Nếu không chắc rằng hệ vơ nghiệm hay có vơ số nghiệm thì giải bằng phương pháp cộng đại số ( hoặc phương pháp thế ). Nếu chắc chắn rằng hệ vô nghiệm hay có vơ số nghiệm thì nên lập luận để rút ra tập nghiệm mà không cần dùng phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế.”
(SGV Toán 9 tập 2, tr.15) Hơn nữa thành tố “ cảm nhận” và “ phân định, lựa chọn sáng suốt” cịn thể hiện ở các ví dụ sau
(SGK Toán 9 tập 2, tr.9) Nhận xét: Sau khi xác định được tọa độ giao điểm M(2;1) SGK Tốn 9 có bước
thử lại (2;1) có đúng là nghiệm của hệ phương trình khơng tức xuất hiện thành tố kiểm tra của đối tượng rà sốt.
Hình 2.3. SBT Tốn 9 tập 2, tr. 10
(SGK Tốn 9 tập 2, tr.10) Ở ví dụ 3 có xuất hiện thành tố “cảm nhận” và “ phân định, lựa chọn sáng suốt” HS sẽ nhận thức được trường hợp đặc biệt này khi 2 đường thẳng có phương trình giống hệt nhau thì lúc đó họ khơng cần phải giải thủ cơng hệ phương trình này mà chỉ cần nhận xét được điểm đặc biệt này là đã có thể đưa ra đáp án.
Nhận xét: Tuy rằng ở phần này đối tượng kiểm tra và rà sốt khơng xuất hiện như
một đối tượng chính thức ở SGK nhưng lại xuất hiện như một yêu cầu dạy học cho GV khi giải quyết kiểu nhiệm vụ giải hệ phương trình.
Kiểu nhiệm vụ T2 “ Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình”
Trước tiên chúng tôi xem xét mục tiêu của SGK về kiểu nhiệm vụ này được đề cập trong SGV Toán 9 tập 2, tr.20:
“- HS nắm được phương pháp giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
- HS có kĩ năng giải các loại tốn được đề cập đến trong SGK.”
(SGV Toán 9 tập 2, tr.20) Yêu cầu của SGV9 chủ yếu rèn luyện cho HS kĩ năng biến đổi và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đối với kiểu nhiệm vụ “ Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình” thì yêu cầu của SGV9 là HS nắm được phương pháp giải và giải quyết được các
loại toán đề cập trong SGK. Việc mở rộng các loại toán cũng như kĩ năng mơ hình hóa Tốn học khơng được nêu tường minh.
SGK Toán 9 tập 2, tr.20 mở đầu bài “ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” bằng việc yêu cầu HS nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình ( đã học ở lớp 8 ):
Như vậy, giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hồn tồn tương tự như kiểu nhiệm vụ giải bài tốn bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn mà HS đã được học. Điểm khác biệt là ở chỗ chọn 2 ẩn x,y phù hợp thay vì một ẩn:
“Trước đây học sinh đã làm quen với cách giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn. Do đó khi chuyển sang bài học này, HS khơng cịn bỡ ngỡ về phương pháp giải nữa. Điều khác biệt duy nhất là việc chọn 2 ẩn thay vì trước đây chỉ chọn một ẩn. Do đó GV có điều kiện tập trung vào phân tích các mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài tốn để từ đó đưa ra cách chọn ẩn thích hợp và lập được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.”
(SGV Toán 9 tập 2, tr.20). Kĩ thuậtcủa T2 được trình bày tường minh trong mục “Tóm tắt các kiến thức cần nhớ” cuối chương III “Hệ hai phương trình bận nhất hai ẩn” của SGK, đó cũng chính là các bước của chu trình mơ hình hóa:
Cơng nghệ : Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Nhận xét
Kiểu nhiệm vụ T2 được chương trình quan tâm với số lượng bài tập tương đối nhiều 44/148 bài tập SGK9 và SBT9. Tất cả các bài tập đều sử dụng câu hỏi đóng. Trong đó có 33 bài tốn đưa được về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và 11 bài tốn đưa về hệ phương trình hai ẩn khơng bậc nhất. Tuy nhiên tất cả các bài toán này đều cho ra kết quả thỏa điều kiện ban đầu và đã mặc định là hợp lý trong thực tế. Việc kiểm tra kết quả có phù hợp với thực tiễn hay khơng hồn tồn khơng được đề cập ở bất cứ bài tập nào tức thể chế ko yêu cầu.
Hơn nữa tất cả các bài toán trong phần này hầu hết đáp án đều thõa mãn điều kiện đặt ra ban đầu càng làm cho việc so điều kiện ở học sinh trở nên hình thức và khơng có ý nghĩa gì. Trong lời giải của SGV9 chúng tơi thấy ln ln có bước đặt điều kiện cho ẩn. Tuy vậy, bước này dường như chỉ là hình thức vì các dữ liệu bài tốn ln ln được chọn sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn các điều kiện của ẩn. Điều này cũng là một phần lí do gây cản trở khả năng kiểm tra ở HS.
Về đối tượng rà soát và kiểm tra
Khơng có đối tượng nào được nêu tường minh. Nhưng một số dấu vết sau đây của chúng có thể ghi nhận.
Dấu vết thứ nhất xuất hiện ở ví dụ 3, SGK Tốn 9, tr.12
Hình 2.4. SBT Tốn 9 tập 2, tr.12
Trong ví dụ này đã xuất hiện thành tố “cảm nhận”, tác giả thể hiện bằng những lập luận ban đầu. Cảm nhận thứ nhất số phần công việc mà mỗi đội làm được trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hồn thành cơng việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Cảm nhận thứ hai mà tác giả đưa ra là số ngày là đại lượng không nhất thiết phải nguyên dương trong bài toán này. Sự xuất hiện của thành tố cảm nhận này tuy chưa đưa ra đáp án chính thức của bài tốn nhưng là một manh mối để HS cẩn trọng trong việc đặt điều kiện cho bài toán và kiểm tra kết quả của bài toán ( một thành tố khác của đối tượng rà soát ).
Và cũng từ bài toán trên một vấn đề khác cũng cần được nghiên cứu thêm là: Điều kiện của ẩn (trong bước 1) thế nào thì được xem là hợp lí? Chẳng hạn, với ẩn x là “số ngày nghỉ ở khách sạn”, thì điều kiện x nguyên dương, hay x dương là hợp lí?
Chúng tơi khơng tìm được câu trả lời cho câu hỏi này qua phân tích SGK và SGV Tốn 9. Nói cách khác, thể chế khơng nêu rõ ràng buộc trên điều kiện của ẩn và do đó, có thể dự đoán sự đa dạng trong quan hệ cá nhân của GV cũng như HS về vấn đề này.
Ngoài ra trong Bước 3 (Trả lời) nêu trên, xuất hiện kiểu nhiệm vụ K2 “Kiểm tra kết quả cuối cùng” với kĩ thuật: kiểm tra xem nghiệm có thích hợp với bài tốn hay khơng.
Như vậy, các hình thức kiểm tra khác có thể có trong quá trình giải đã khơng được yêu cầu tường minh, chúng thuộc về trách nhiệm riêng của HS và không bắt buộc.
Nhưng, thế nào là thích hợp với bài tốn? Thích hợp với điều kiện đặt ra trong bước 1 hay với thực tế (nghĩa là bài tốn thực tế)?
Mơ tả của bước 1 và kiểm tra các lời giải mong đợi trong SGK9, SGV9 và SBT9, cho phép nhận định: thích hợp ở đây là có thỏa điều kiện của ẩn đã xác định trong bước 1. Chính xác hơn, kĩ thuật kiểm tra là kĩ thuật 4 đã làm rõ trong phân tích thể chế I1 ở phần trên, chứ không phải so với thực tế như trong bước 4 của chu trình mơ hình hóa đã nêu trong phần cơ sở lí luận:
Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây
người ta phải xác định mức độ phù hợp của mơ hình và kết quả tính tốn với vấn đề
thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.
Chính xác hơn, kiểu nhiệm vụ kiểm tra ở đây chỉ khu trú trong phạm vi bài toán toán học và bài toán phỏng thực tiễn (với những thông tin đã được gọt giũa cho “thỏa đáng”).
Một ghi nhận đáng chú ý khác là: trong tất cả các bài toán của SGK (19 bài) và SBT Tốn 9 (25 bài), tất cả các nghiệm tìm được trong bước 2 “giải hệ phương trình” đều thỏa điều kiện của ẩn, khơng có nghiệm nào bị loại. Khơng có bài tập nào dẫn tới kết quả mẫu thuẫn với thực tiễn.
Nếu chỉ dựa vào phân tích SGK, SBT và SGV như trên, có thể dự đoán về sự tồn tại các quy tắc hợp đồng sau đây:
- QT hợp đồng liên quan đến kiểu nhiệm vụ T2
RT2.1: “Hệ phương trình ln có nghiệm duy nhất và số liệu là các số nguyên đẹp”
RT2.2: “Các nghiệm tìm được khơng mâu thuẫn với thực tiễn”.
RT2.3: “Chỉ có đại lượng cần tìm xuất hiện tường minh trong câu hỏi” dẫn đến việc HS có thói quen ln đặt ẩn là đại lượng xuất hiện ở câu hỏi.
RT2.4: “Kết quả giải bài tốn ln phù hợp với điều kiện của ẩn” - QT hợp đồng liên quan đến đối tượng kiểm tra
RK2.1 “HS chỉ kiểm tra kết quả so với điều kiện ban đầu, khơng có trách nhiệm
so sánh với thực tế.”
Tuy nhiên, do sự khác biệt giữa thể chế chính thức và thể chế địa phương nên rất có khả năng dự đoán về quy tắc hợp đồng “Kết quả giải bài tốn ln phù hợp với
điều kiện của ẩn” và “hệ phương trình ln có nghiệm duy nhất và số liệu là các số nguyên đẹp” không cịn đúng trong thể chế địa phương. Chúng tơi tiếp tục phân tích
các tài liệu Tốn 9 dùng ở TP.HCM và nhận thấy có một số điểm khác biệt cụ thể bên dưới.
2.2.3. Tài liệu địa phương (TP.HCM)