1.2. Một số tính chất và ứng dụng của vật liệu plasmonics
1.2.2.2. Sự tăng cường trường gần (near-field enhancement)
Xét một quả cầu nano kim loại có đường kính a và hằng số điện môi phức phụ thuộc bước sóng ε(ω), ở đây ω là tần số góc. Quả cầu được bao bọc bởi một môi
trường đồng chất, lớn vơ hạn, khơng hấp thụ và khơng từ tính với hằng số điện mơi
εm. Điện trường của ánh sáng là 𝐸⃗ = E0exp{−ωt}𝑥 , ở đây E0 là hằng số, 𝑥 là vectơ
đơn vị của hướng x và khoảng thời gian t. Về mặt khái niệm, các điện tử dẫn trong
quả cầu nano bị dịch chuyển bởi điện trường bên ngồi để tạo ra tâm điện tích âm ở một đầu và tâm điện tích dương ở đầu kia, tạo thành một lưỡng cực (xem Hình 1.6). Nếu ω khơng cao lắm thì lưỡng cực có thể dao động đủ nhanh theo pha của E. Dễ dàng hình dung rằng ở bậc đầu tiên, mơ men lưỡng cực p tỷ lệ tuyến tính với E [12], như cho bởi:
𝑝 = 𝜀𝑚𝛼𝐸⃗ (1.1)
ở đây α là độ phân cực tĩnh điện của quả cầu. Bên ngoài quả cầu, lưỡng cực này tạo ra một điện trường và chồng lên E tới. Độ phân cực được tính như sau [12]:
𝛼 = 4𝜋𝜀0𝑎3 𝜀−𝜀𝑚
Với 𝜀0 là hằng số điên môi trong chân không. Trong trường hợp phần phức của hàm điện mơi Im(𝜀) nhỏ hoặc thay đổi chậm thì mẫu số đạt cực tiểu khi phần
thực của nó tiến tới giá trị -2𝜀𝑚 [12].
𝑅𝑒[𝜀(𝜔)] = −2𝜀𝑚 (1.3) Bên ngồi quả cầu, điện trường tại một vị trí cách tâm nó một khoảng r thì
điện trường tại đó được biểu diễn [12]:
𝐸𝑜𝑢𝑡
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸⃗ + 1 4𝜋𝜀0𝜀𝑚
1
𝑟3[3𝑛̂(𝑛.̂ 𝑝 ) − 𝑝 ] (1.4)
Trong đó 𝑛̂ là vecto đơn vị chỉ phương. Ở vế phải của Phương trình (1.4), số hạng đầu tiên là điện trường ánh sáng tới và số hạng thứ hai biểu diễn bức xạ của lưỡng cực điểm p. Thành phần 1/r3 cho thấy rằng sự đóng góp lưỡng cực giảm đi nhanh chóng khi di chuyển ra xa hình cầu và do đó sự tăng cường của điện trường bị giới hạn ở vùng lân cận gần của bề mặt hình cầu (thường là vài nanomet).