Xem lại sơ đồ khối hình H.4_1, diễn tả một hệ thống tuyến tính với p input vă q output. Ta giả sử hệ thống được đặt trưng bởi tập hợp sau đđy của n phương trình vi phđn cấp 1, gọi lă những phương trình trạng thâi.
Trong đó :ĠĬ, … ,Ġ lă câc biến trạng thâi Ġ.Ĭ, … ,Ġ lă câc input
Ġ : hăm tuyến tính thứ i.
Câc output của hệ thống liín hệ với câc biến trạng thâi vă câc input qua biểu thức sau.
Ġ : hăm tuyến tính thứ k .
Phương trình (4.2) gọi lă phương trình output của hệ. Phương trình trạng thâi vă phương trình output gọi chung lă câc phương trình động của hệ.
Thí dụ, xem một hệ tuyến tính với một input vă một output được mơ tả bởi phương trình vi phđn :
Hăm chuyển mơ tả hệ thống dễ dăng có được bằng câch lấy biến đổi Laplace ở hai vế, với giả sử câc điều kiện đầu bằng 0.
Ta sẽ chứng tõ rằng hệ thống cịn có thể mơ tả bởi một tập hợp câc phương trình động như sau :
Trước nhất, ta định nghĩa câc biến trạng thâi
Phương trình 4.3 được sắp xếp lại sau cho đạo hăm bậc cao nhất ở vế trâi:
Bđy giờ phương trình 4.6 vă 4.7, thay thế câc hệ thức định nghĩa của biến trạng thâi văo 4.8 . Ta sẽ có những phương trình trạng thâi:
Chỉ có phương trình (4.9c) lă tương đương phương trình ban đầu (4.3). cịn hai phương trình kia chỉ lă phương trình định nghĩa biến trạng thâi.
Trong trường hợp năy, output c(t) cũng được định nghĩa như lă biến trạng thâi x1(t), (khơng phải ln ln như vậy). Vậy phương trình (4.5) lă phương trình output.
Tổng quât hơn, nếu âp dụng phương phương phâp mơ tả ở trín, thì phương trình vi phđn cấp n:
Sẽ được trình băy bởi câc phương trình trạng thâi sau :
Vă phương trình output giản dị lă :
Phương phâp định nghĩa câc biến trạng thâi được mơ tả ở trín khơng thích hợp khi vế phải của (4.10) có chứa những đạo hăm của r(t).
Trong trường hợp năy, những hệ thức của câc biến trạng thâi cũng phải chứa r(t).
Câc biến trạng thâi được định nghĩa như sau:
Với câc giâ trị ở đó :
Dùng (14) vă (15) ta đưa phương trình vi phđn cấp n(4.13) văo n phương trình trạng thâi sau đđy dưới dạng bình thường :
Phương trình output, có được từ biểu thức thứ nhất của(4.14): (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});