Một hệ thống lă ổn định nếu đâp ứng xung lực giảm tới zero khi thời gian tiến tới vô cực.
* Thí dụ 6.1: cho đâp ứng xung lực của văi hệ điều khiển sau đđy. Trong mỗi trướng
hợp, hêy xâc định tính ổn định của hệ thống.
a) g(t) = e-t.
b) g(t) = t.e-t.
c) g(t) = 1.
d) g(t) = e-t.sin3t.
H.6_1. Theo định nghĩa, hệ thống: a) ổn định. b) ổn định. c) bất ổn. d) ổn định. e)bất ổn
III.KHAI TRIỂN PHĐN BỐ TỪNG PHẦN (Parial Fraction expansion)
Có thể tìm đâp ứng xung lực của một hệ thống bằng câch lấy biến đổi laplace ngược hăm chuyễn của hệ.
ta có thể dùng phương phâp khai triển phđn số từng phần Xem hăm chuyển G(s) = C(s)/ R(s). (6.1)
Trong đó, C(s) vă R(s) lă những đa thức theo s. Giả sữ R(s) có bậc lớn hơn C(s). Ða thức R(s) gọi lă đa thức đặc trưng vă có thể viết:
R(s) = sn + a1sn-1 +....+an-1s +an. (6.2) Trong đó, a1,...an lă những hệ số thực.
Những nghiệm của phương trình đặc trưng R(s) = 0 có thể lă thực, hay những cặp phức liín hợp đơn hay đa cấp (có lũy thừa hay khơng).
Ta xem trường hợp những nghiệm năy thực vă đơn cấp, phương trình (6.1) có thể được viết:
(6.3)
Trong đó, -s1, -s2,....-sn lă những nghiệm của phương trình đặc trưng zero của R(s) hay lă những cực của G(s).
(6.4)
Những hệ số Ksi (i=1, 2, 3,...n) được xâc định bằng câch nhóm 2 vế của (6.3) hoặc (6.4) cho (s+si) rồi đặt s = -si.
Thí dụ, để tìm hệ số Ks1, ta nhóm cả hai vế (6.3) cho (s+s1) vă đặt s = -s1.
(6.5)
(6.6). Hêy tìm đâp ứng xung lực của hệ.
Trước hết, ta âp dụng kỹ thuật khai triển phđn số từng phần.
(6.7) câc hệ số K-1, K-2, K-3 được xâc định như sau:
Vậy (6.7) trở thănh:
(6.8).
Bđy giờ ta có thể dùng bảng biến đổi để tính đâp ứng xung lực của hệ thống. g(t) =L-1[G(s)].
g(t) = -e-t + 7e-2t -6e-3t. (6.10)
(6.13)* Thí dụ 6.4: * Thí dụ 6.4:
Khai triển phđn số từng phần:
Biến đổi Laplace ngược : g(t) = - e-t + t e-t + e-2t.