2.2.5.1. Một số sai lầm thường gặp của học sinh
Ở đây chúng tôi không thống kê mọi sai lầm của học sinh lớp 5 khi giải toán có lời văn, mà chỉ nêu lên một số sai lầm phổ biến chủ yếu có nguyên nhân từ kiến thức của học sinh.
- Sai lầm khi giải toán liên quan đến tỉ số:
Xét các bài toán có dạng: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số; Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số; Toán về đại lượng tỉ lệ thuận; Toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
Các sai lầm phổ biến của học sinh khi giải các dạng toán trên: + Tính sai tổng (hoặc hiệu, tỉ).
+ Lầm lẫn giữa đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng tỉ lệ nghịch. + Thực hiện các phép tính không cùng đơn vị đo.
- Sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm
Toán về tỉ số phần trăm có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Khi giải các bài toán về tỉ số phần trăm, học sinh thường bộc lộ một số hạn chế sau:
+ Lúng túng khi chọn đại lượng làm đơn vị quy ước (100%).
+ Biểu thị sai các đại lượng còn lại sau khi đã chọn đại lượng làm đơn vị quy ước.
+ Thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo. - Sai lầm khi giải toán có nội dung hình học
+ Sai lầm khi áp dụng công thức tính chu vi, diện tích, thể tích các hình. + Sai lầm khi vận dụng công thức một cách máy móc vào các tình huống biến đổi của thực tiễn đời sống.
- Sai lầm khi giải một số bài toán vui và toán cổ
Đặc điểm của các bài toán vui và toán cổ là luôn chứa đựng những yếu tố thú vị và bất ngờ, đó là những yếu tố hoặc tình tiết dễ làm người khác bị “đánh lừa”. Học sinh tiểu học thường thiếu kinh nghiệm và vốn sống thực tế nên khả năng bị “sa bẫy” khi gặp các bài toán này là rất cao.
2.2.5.2. Một số biện pháp sư phạm nhằm khắc phục sai lầm của học sinh Tiểu học khi giải bài toán thực tiễn
* Rèn cho học sinh tính cẩn thận, nghiêm túc khi làm bài.
Do tâm lí chủ quan nên khi làm bài học sinh đã mắc phải một số sai lầm. Để giúp học sinh tránh khỏi tâm lí chủ quan, nóng vội khi làm bài, với mỗi bài toán giáo viên cần giúp học sinh đọc kĩ đề bài, nếu cần thiết học sinh có thể đọc 5 – 6 lượt. Sở dĩ học sinh cần phải đọc kĩ như vậy bởi học sinh nắm được một cách toàn diện và sâu sắc đề bài bài toán, nắm được các dữ kiện, điều kiện và ẩn số của toán. Để thực hiện được biện pháp này trong mỗi tiết học đòi hỏi giáo viên phải luôn giúp học sinh tìm hiểu và phân tích kĩ đề bài, giúp học sinh tự đặt và trả lời được các câu hỏi sau:
Bài toán cho biết gì? Bài toán hỏi gì?
Sau khi đặt và trả lời được các câu hỏi đó học sinh xác định dạng toán, đưa bài toán về dạng cơ bản rồi tìm phép tính thích hợp để làm bài. Giáo viên yêu cầu học sinh phải tự đặt và trả lời câu hỏi để phân tích đề bài bởi như vậy khi học sinh học tập ở nhà khi mà không có ai hướng dẫn các em làm bài tập thì các em vẫn có thể tìm hiểu kĩ đề bài và làm bài tốt.
Với mỗi bài toán, khi học sinh đã tạo được cho mình thói quen đặt được các câu hỏi để phân tích đề bài như trên thì lúc đó học sinh đã bước đầu rèn luyện cho mình tính cẩn thận, nghiêm túc khi làm bài. Để rèn cho học sinh tính cẩn thận, nghiêm túc khi làm bài thì trong quá trình học sinh học tập tại lớp giáo viên cần giúp học sinh cân nhắc khi lựa chọn phép tính, công thức,… để áp dụng cho bài toán. Qua nhiều bài tập, học sinh sẽ hình thành cho mình
tính cẩn thận, nghiêm túc, lòng kiên trì, ý chí vượt khó khăn ki gặp các bài toán phức tạp.
* Cung cấp đầy đủ, chính xác các kiến thức về bộ môn toán Biện pháp này nhằm giải quyết các tình huống cụ thể sau đây:
- Giúp học sinh nắm chắc các khái niệm toán học để tránh được sai lầm khi giải toán.
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm khi giải toán là do hiểu không đầy đủ, không chính xác các thuộc tính của khái niệm toán học. Nội dung sách giáo khoa toán tiểu học được xây dựng theo cấu trúc đồng tâm, lấy số học làm hạt nhân, do vậy các khái niệm toán học cũng có sự mở rộng theo các lớp. Trong quá trình giảng dạy, cần đặc biệt lưu ý khắc sâu các mối quan hệ giữa các kiến thức có liên quan. Không ít mối quan hệ giữa các kiến thức không được trình bày trong sách giáo khoa mà phải do giáo viên cung cấp. Chẳng hạn khi học về hình tam giác thì cần lưu ý học sinh: Hình tam giác vuông mà có cạnh huyền chính là đường chéo của hình chữ nhật thì có diện tích bằng nửa diện tích của hình chữ nhật tạo nên nó, nắm vững khái niệm hình tam giác, hình chữ nhật, học sinh sẽ tránh được sai lầm.
Nội dung kiến thức về trung bình cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế cuộc sống. Một dấu hiệu nào đó biểu thị mối quan hệ về số lượng của sự vật có thể được biểu thị bằng nhiều giá trị khác nhau, thì số trung bình cộng được xem là giá trị “đại diện”cho dấu hiệu đó. Ở lớp 5 chỉ có một bài lí thuyết về số trung bình cộng. Lí thuyết đó giúp học sinh có thể tìm được trung bình cộng của hai hay nhiều số cho trước nhưng chưa đảm bảo chắc chắn để tránh được các sai lầm đã nêu trong một số ví dụ trên mà chưa giải quyết được các bài toán. Để hạn chế mắc sai lầm cho học sinh, khi dạy dạng toán trung bình cộng, giáo viên cần bổ sung thêm:
- Mối quan hệ giữa số trung bình cộng với tổng các số của nó. Mối quan hệ này được thể hiện: khi biết tổng của các số thì tính được trung bình cộng. Ngược lại khi biết trung bình cộng thì tính được tổng của các số.
Tỉ số phần trăm cũng là một dạng toán mà nhiều học sinh gặp khó khăn và dễ mắc sai lầm. Học sinh vẫn còn gặp nhiều khó khăn mà qua nghiên cứu chúng tôi thấy rằng: nguyên nhân là do chưa nắm vững khái niệm tỉ số phần trăm, ký hiệu phầm trăm (%) và mối quan hệ giữa tỉ số phần trăm với tỉ số. Học sinh càng lúng túng và dễ mắc sai lầm khi giải các bài toán tỉ số phần trăm có liên quan đến việc kinh doanh, mua bán do không nắm chắc các khái niệm vốn, lãi, giá mua, giá bán và mối quan hệ giữa chúng.
Nhằm giúp học sinh vượt qua những khó khăn trên, khi dạy giải toán về tỉ số phần trăm, giáo viên cần dành thời gian ôn lại tỉ số, nhấn mạnh mối quan hệ tỉ số với tỉ số phần trăm; tỉ số phần trăm với phân số (tỉ số phần trăm là một dạng của tỉ số (hay phân số) khi số chia (hay mẫu số) bằng 100). Với các bài toán về tỉ số phần trăm có liên quan đến kinh doanh cần cung cấp cho học sinh các khái niệm:
- Vốn: tương ứng với giá mua hay chi phí ban đầu. - Lãi: bằng giá bán trừ giá mua.
- Giá bán: bao gồm cả vốn và lãi.
Khi giải loại toán này, điểm mấu chốt là biết chọn đại lượng quy ước nào đó làm đơn vị (100%) và biểu diễn đại lượng còn lại thông qua đại lượng đơn vị.
Sai lầm đáng tiếc mà học sinh dễ mắc phải kể cả học sinh khá giỏi là thực hiện các phép toán không cùng đơn vị đo. Trong quá trình dạy học, giáo viên phải hết sức lưu ý đến điều này.
Nội dung cuối cùng chúng tôi trình bày về những sai lầm của học sinh có liên quan đến việc hiểu không đầy đủ khái niệm toán học là sự mờ nhạt về biểu tượng hình học khi giải các bài toán có lời văn liên quan đến hình học. giải pháp khắc phục sai lầm là cần tăng cường cho học sinh thực hành và thao tác trên mô hình hoặc mẫu vật, đây là biện pháp tốt nhất để hình thành biểu tượng hình học cho học sinh.
* Cung cấp và bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tìm tòi lời giải cho một bài toán có lời văn.
Trong sách giáo khoa có đề cập một số dạng toán điển hình với những cách giải mẫu mực. Song thực tế các bài toán nói chung và toán có lời văn mang nội dung thực tế nói riêng phát triển rất đa dạng, mà muốn giải được đòi hỏi phải có suy luận và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo chứ không đơn thuần chỉ áp dụng công thức một cách máy móc.
Chúng tôi quan niệm hoạt động giải toán bản chất là hoạt động tư duy vì thế chúng tôi chọn trình bày phương pháp chung giải toán có lời văn dựa trên các cơ chế của tư duy.
Giải toán là hoạt động tư duy và là quá trình tìm tòi lời giải cho bài toán, về bản chất, cũng tương đồng với quá trình giải quyết một vấn đề. Mỗi cá nhân có một cách tiếp cận và giải quyết một cấn đề. Mỗi cá nhân có một cách tiếp cận và giải quyết vấn đề khác nhau, điều này lí giải cho sự khác biệt trong cách mô tả các bước giải toán của các tác giả. Dưới đây là quy trình giải một bài toán có lời văn mà chúng tôi cho là có mục đích nhằm hạn chế các dai lầm của học sinh.
+ Bước 1: Tìm hiểu bài toán.
Bước này giải quyết 2 nhiệm vụ:
. Xác định các yếu tố, dữ kiện bài toán đã cho (trả lời cho câu hỏi: “Bài toán cho biết gì?”).
. Xác định yêu cầu của bài toán (trả lời cho câu hỏi: “Bài toán hỏi gì? Yêu cầu gì?”).
+ Bước 2: Lập kế hoạch giải. Gồm các hành động tư duy sau:
. Xuất hiện liên tưởng: Từ các dữ kiện và yêu cầu của bài toán, liên hệ tới các kiến thức có liên quan, các dạng toán điển hình đã được học.
. Hình thành giả thuyết: Vận dụng tất cả kiến thức đã có của cá nhân, qua các thao tác tư duy để làm xuất hiện các mối quan hệ toán học giữa các yếu tố trong bài toán, từ đó tìm ra hướng giải. Qúa trình này thường được diễn ra bằng hai hình thức thể hiện: hoặc đi từ câu hỏi của bài toán với các số liệu, dữ kiện đã cho hoặc đi từ số liệu, dữ kiện đã cho đến câu hỏi của bài toán.
. Sàng lọc và kiểm tra giả thuyết: Bao gồm tìm các giả thuyết khác, lựa chọn giả thuyết (cách giải) tối ưu; đối chiếu kết quả (hay ý tưởng) với dữ kiện bài toán để xác lập tính đúng đắn của giả thuyết. Nếu giả thuyết đúng thì chuyển qua bước 3 (trình bày lời giải), nếu giả thuyết sai lại tiến hành tìm giả thuyết khác.
+ Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải bài toán: . Vẽ sơ đồ, hình vẽ minh họa bài toán (nếu cần).
. Đặt các câu trả lời và phép tính tương ứng với mỗi câu trả lời (ở một số bài toán có thể kèm theo các phân tích, lập luận trước khi đưa ra phép tính).
. Ghi đáp số.
+ Bước 4: Nhìn lại bài toán.
Soát lại lời giải vừa trình bày, sửa chữa, bổ sung (nếu có). Với học dinh khá, giỏi cần khuyến khích các em phát triển thành bài toán mới. Học sinh trả lời 2 câu hỏi:
. Bài toán vừa giải thuộc dạng toán nào đã học?
. Thay đổi dữ kiện bài toán đã cho như thế nào để được bài toán mới? Chúng tôi không đồng nhất những cái bài toán đã cho với những cái đã biết của học sinh. Những cái bài toán đã cho là những dữ kiện được nêu trong bài toán, còn những cái đã biết là tất cả kiến thức, kỹ năng học sinh đã có được tính đến thời điểm giải bài toán. Tương tự như vậy, khái niệm những cái phải tìm cũng rộng hơn khái niệm những cái bài toán yêu cầu.
Chúng tôi cho rằng, thao tác thử lại tuy không bắt buộc trình bày trong lời giải, song trong quá trình giải toán, ý thức kiểm tra lại lời giải phải xuất hiện ngay từ khi học sinh trình bày từng bước giải. Có như vậy mới mong hạn chế sai lầm và kịp thời phát hiện sai lầm (nếu xảy ra).
Ví dụ 2.12: 12 người làm xong công việc phải hết 6 ngày. Nay muốn
làm xong công việc đó trong 3 ngày thì cần bao niêu người? - Một số học sinh giải:
6 ngày thì gấp 3 ngày số lần là: 6 : 3 = 2 (lần)
Muốn làm xong công việc đó trong 3 ngày thì cần số người là: 12 : 2 = 6 (người)
Đáp số: 6 người.
- Học sinh đã nhầm lẫn dạng toán tỉ lệ và sai ở bước tính thứ hai. Học sinh suy nghĩ sai lầm: Số ngày làm giảm đi 2 lần thì số người cũng giảm đi 2 lần.
- Hướng dẫn học sinh: giáo viên cần lưu ý mối quan hệ giữa 2 đại lượng trên. Giáo viên có thể lấy một ví dụ tương tự như trên nhưng gần gũi với các em hơn để các em nắm chắc rằng: Khi làm chung một công việc nào đó, nếu số người tăng lên hay giảm đi bao nhiêu lần thì số ngày lại giảm đi hay tăng lên bấy nhiêu. Như vậy với bài toán tren ta cần sửa lại bước tính thứ 2 như sau:
6 ngày thì gấp 3 ngày số lần là: 6 : 3 = 2 (lần)
Muốn làm xong công việc đó trong 3 ngày thì cần số người là: 12 x 2 = 24 (người)
Đáp số: 24 người.
Ví dụ 2.13: Một tổ sản xuất làm được 1200 sản phẩm, trong đó anh Ba làm được
126 sản phẩm. Hỏi anh Ba làm được bao nhiêu phần trăm sản phẩm của tổ. - Học sinh giải:
Tỉ số phần trăm của số sản phấm anh Ba làm so với số sản phẩm của tổ là: 1200 : 126 = 9,523
9,523 = 952,3%
- Khi học về tỉ số phần trăm, học sinh thường mắc sai lầm khi tìm tỉ số phần trăm của 2 số bằng cách lấy đại lượng thứ nhất chia cho đại lượng thứ hai mà không quan tâm đến qua hệ tỉ lệ của các đại lượng (đại lượng thứ nhất so với đại lượng thứ hai hay đại lượng thứ hai so với đại lượng thứ nhất).
- Hướng dẫn học sinh kĩ năng lập tỉ số phần trăm. Giáo viên cần khắc sâu cho học sinh tỉ số phần trăm của hai số thực chất là tỉ số của hai số được viết dưới dạng phân số có mẫu số là 100. Tỉ số của hai số a và n là a : b hay
a
b . Vì vậy muốn tìm tỉ số phần trăm của hai đại lượng trên, giáo viên cần
giúp học sinh xác định tỉ số phần trăm của hai đại lượng: Số sản phẩm của anh Ba so với số sản phẩm của tổ là 126 : 1200. Từ đó học sinh sẽ có phép tính thích hợp.
Ví dụ 2.14: Kiểm tra sản phẩm của một xưởng may người ta nhận
thấy rằng có 732 sản phẩm đạt chuẩn, chiếm 91,5% tổng số sản phẩm. Tính tổng số sản phẩm.
- Một số học sinh thường nhầm lẫn dạng toán tìm một số khi biết một số phần trăm của số với tìm một số phần trăm của một số đó nên có cách giải sau:
Tổng số sản phẩm là:
732 : 100 x 91,5 = 669,78 (sản phẩm)
- Học sinh trên đã sai khi chọn đơn vị quy ước 100% là 732 sản phẩm hoặc đã không nhớ cách tìm một số khi biết một số phần trăm của số đó.
- Hướng dẫn học sinh: Đọc thật kĩ bài toán, loại bỏ những từ ngữ không thiết yếu (ta chú ý: có 732 sản phẩm đạt chuẩn, chiếm 91,5% tổng số sản phẩm), trong đó hướng học sinh tập trung vào những từ ngữ quan trọng của