Các tính chất

7. Cấu trúc khóa luận

1.2.2. Các tính chất

Tính chất 1:Mỗi số tự nhiên có đúng một số kề sau Nội dung của tính chất này gồm hai phần:

+ Tồn tại: Mỗi số tự nhiên đều có số kề sau

+ Duy nhất: Số kề sau của một số tự nhiên là duy nhất

Chứng minh sự tồn tại: Giả sử N,a = CardA. Lấy phần tử x A , đặt A’ = A

thì A’ là một tập hợp hữu hạn vì rõ ràng A’ = A, đồng thời A A\ =  x là một tập đơn tử. Vì vậy, đặt b = CardA’ thì b là một số tự nhiên kề sau của a.

Chứng minh duy nhất: Giả sử số tự nhiên a có hai số kề sau là b’ và b”. Vì b’ là số kề sau của a nên có các tập hợp hữu hạnA và B sao cho A’ ’ ’ ’ B ,

’, ’

a = CardA b = CardB và B’ \ ’A = {x} là một tập đơn tử. Vì b” là số kề sau của a nên có các tập hữu hạn A” và B” sao cho a = CardA”, b = CardB” và B” \ ” A =  y là một tập đơn tử. Theo giả thiếta = CardA’ = CardA”, suy ra A’ = ”A và do đó tồn tại một song ánh f : ’ ”.A = A Nhờ song ánh f ta có thể xây dựng một ánh xạ g từ B’ đến B” như sau:

g B: '→ B" ( ) ( ) ’ f b khi b A b g b y khi b x   =  = 

Do f là một song ánh nên g cũng là một song ánh. VậyB’ ” = B hay b ’ ”= b .

Đó là điều phải chứng minh

Tính chất 2:Số 0 không là số kề sau của bất kì số tự nhiên nào. Mọi số tự nhiên khác 0 đều có só kề sau của đúng một số tự nhiên. Nói cách khác, mọi số tự nhiên khác 0 đều có đúng một số kề trước hay số 0 không có số liền trước.

Nội dung của tính chất này gồm hai phần:

+ Tồn tại: Mọi số tự nhiên khác 0 đều có số kề trước

+ Duy nhất: Số kề trước của một số tự nhiên khác 0 là duy nhất

Tính chất 3: Giả sử a và b là hai số tự nhiên. Nếu a < b thì a’≤ b.

Chứng minh: Nếua b, N a,  b, thì tồn tại các tập hữu hạn A, B sao cho

,

AB A  B và ta cóa = CardA b, = CardB. Vì AB và A  B nênB A\ .

\

B A và tồn tại xB A\ . Đặt A’ = A  x thìAA’B. Khi đó CardA’

chính là số kề sau a’ của a và bao hàm thức A’B cho taa’  b. Suy ra điều phải chứng minh. Thật vậy, vì giữa số tự nhiên a và a’ của nó không có số tự nhiên nào khác.

Ta biết:

0 = Card là số tự nhiên không đứng liền sau số nào 1 = Card x là số tự nhiên đứng liền sau 0; 1 = 0’. Kí hiệu 2 = 1’; 3 = 2’

Các số: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; ..; 100; .. ; 1000; ..là các số tự nhiên.

Các số tự nhiên sắp xếp theo thứ tự bé đến lớn tạo thành dãy số tự nhiên: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ;...

Có thể biểu diễn dãy số tự nhiên trên tia số:

Số 0 ứng với điểm gốc của tia số. Mỗi số tự nhiên ứng với một điểm trên tia số.

Trong dãy số tự nhiên:

- Thêm 1 vào bất cứ số nào cũng được số tự nhiên liền sau đó. Vì vậy, không có số tự nhiên lớn nhất và dãy số tự nhiên có thể kéo dài mãi. Chẳng hạn, số 1 000 000 thêm 1 được số tự nhiên liền sau là 1000 001, số 1000 001 thêm 1 được một số tự nhiên liền sau là 1000 002, ...

- Bớt 1 ở bất kì số nào (khác số 0) cũng được số tự nhiên liền trước số đó. Chẳng hạn, bớt 1 ở số 1 được số tự nhiên liền trước số 0. Không có số tự nhiên nào liền trước số 0 nên số 0 là số tự nhiên bé nhất.

Trong dãy số tự nhiên, hai số liên tiếp thì hơn hoặc kém nhau 1 đơn vị.