7. Cấu trúc khóa luận
2.1.2. Sự tồn tại của hai tập hữu hạn không có phần tử chung có bản số bằng
bằng hai số tự nhiên cho trước.
Hai tập hợp được gọi là có cùng lực lượng nếu có một song ánh giữa chúng. Các tập hợp hữu hạn có cùng lực lượng khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử theo nghĩa thông thường. Khác biệt cơ bản của các tập hữu hạn với các tập vô hạn là mọi tập hữu hạn không có cùng lực lượng với một tập con thực sự của nó. Đối với các tập hợp vô hạn thì không phải như vậy.
các số tự nhiên và tập hợp các số thực, vì thế lực lượng của tập hợp số tự nhiên là "nhỏ hơn" lực lượng của tập số thực. Các tập có cùng lực lượng với tập số tự nhiên được gọi là các tập đếm được, các tập hợp có cùng lực lượng với tập số thực được gọi là tập có lực lượng continuum.
Một tập hợp hữu hạn có thể có nhiều tập con. Ta xét trường hợp:
0, 1, 2, 3.
n =
• Với n = 0, ta có A = φ. Hiển nhiên φ chỉ có một tập con; đó là chính nó, tập hợp φ. Vậy tập hợp không có phần tử nào có một tập con.
• Với n = 1. Giả sử A là tập hợp một phần tử: A = {a}(a là phần tử duy nhất của A).
Khi đó, các tập hợp φ và {a} là tất cả các tập con của A. Vậy A có cả thảy 2 tập con. Nếu kí hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập con của tập hợp A thì ta có:
P( ) = và P ( ){ }a = , a .
• Với n = 2. Giả sử tập hợp A có 2 phần tử a và b: A = {a, b}. Khi đó A có các tập con sau: φ, a , b và a b , .Đó là tất cả các tập con của
( )
: { , } , , , .
A P a b = a b a b Vậy A có tất cả 4 tập con.
• Với n = 3. Để dễ hình dung, ta xét bài toán sau: Giả sử có ba người a, b và c của một tập hợp A được mời dự khai mạc một cuộc triển lãm (ba người được mời độc lập với nhau). Hỏi có thể có bao nhiêu sự kết hợp khác nhau về sự có mặt của mỗi người trong ngày khai mạc triển lãm? Ta hãy xét mọi khả năng (a đến hoặc không, b đến hoặc không, c đến hoặc không) và biểu diễn chúng trên một cây chẽ đôi, tức là một cây mà mọi sự phân cành đều có được từ cặp “đến, không”. ta thấy có tất cả 8 khả năng, mỗi khả năng tương ứng với một tập con củaA = a b c, , , kể cả tập con là φ. Tập hợp tất cả các tập con của A là:
({ , , }) , , ; , ; , ; , ; ; ; ;
P a b c = a b c a b a c b c a b c . Vậy tập hợp A = {a, b, c}
, ,
A = a b c có tất cả 8 tập con.