Nguyên lí quy nạp

7. Cấu trúc khóa luận

1.3.1. Nguyên lí quy nạp

Quy nạp toán học là một hình thức chứng minh trực tiếp, thường được thực hiện theo hai bước. Khi cố gắng để chứng minh một mệnh đề là đúng cho tập hợp các số tự nhiên. Bước đầu tiên, được gọi là bước cơ sở, là chứng minh mệnh đề đưa ra là đúng với số tự nhiên đầu tiên. Bước thứ hai, được gọi là bước quy nạp, là chứng minh rằng, nếu mệnh đề được giả định là đúng cho bất kỳ số tự nhiên nào đó, thế thì nó cũng đúng cho số tự nhiên tiếp theo. Sau khi chứng minh hai bước này, các quy tắc suy luận khẳng định mệnh đề là đúng cho tất cả các số tự nhiên. Trong thuật ngữ phổ biến, sử dụng phương pháp nói trên được gọi là sử dụng nguyên lý quy nạp toán học.

Giả sử M là một bộ phận của tập hợp số tự nhiên N thỏa mãn hai điều kiện: 1) 0M

2) Nếu 1 ) nM thì n ’M

Khi đó ta cóM = N. Ta thấy mệnh đề trên là đúng. Với điều kiện: 1) 0Mvà điều kiện 2) n M thì n’Msuy ra 0’ 1= M, 1’ 2= M … hay mọi số tự nhiên đều thuộc M. Từ đó ta thấy nguyên lí quy nạp là khá “hiển nhiên” và được coi là một tiên đề (mệnh đề thừa nhận).

Trong việc xây dựng tập hợp số tự nhiên bằng phương pháp tiên đề, nguyên lí quy nạp được coi là một tiên đề (mệnh đề được thừa nhận).

Định lí: Giả sử P(n) là một hàm mệnh đề với biển tự nhiên n. Ta chứng minh được rằng:

1) P(0) đúng

2) Nếu P(n) đúng thì P(n’) đúng; thì P(n) đúng với mọi số tự nhiên n.

Chứng minh: Kí hiệu M là tập hợp các số tự nhiên n mà P(n) đúng, M = {n ∈ N | P(n) đúng |. Theo giả thiết ta có:

1) 0 ∈ M (vì P(0) đúng)

2) Nếu n ∈ M, nghĩa là P(n) đúng thì P(n’) đúng, do đó n’ ∈ M

Như vậy, M thỏa mãn hai điều kiện của nguyên lí quy nạp, suy ra M = N, hay P(n) đúng với mọi số tự nhiên n.

Phép chứng minh bằng quy nạp: Để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta cần tiến hành the,hai bước:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 0

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n( giả sử này thường được gọi là giả thiết quy nạp), ta chứng minh mệnh đề đúng với n’.

Một dạng khác của phép chứng minh bằng quy nạp: Giả sử hàm mệnh đề P(n) xác định với biến tự nhiên n. Nếu ta chứng minh được rằng :

1) P(0) là đúng

2) Nếu P(k) đúng với mọi số tự nhiên k ≤ n thì P(k) đúng; thì P(n) đúng với mọi số tự nhiên n.

Trong phép chứng minh bằng quy nạp này ở bước thứ hai giả thiết quy nạp sẽ là: Giả sử mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên k n, a chứng minh mệnh đề đúng với k’. Như vậy, ở bước thứ hai (thường là bước khó khăn nhất) của phép chứng minh bằng quy nạp thông thường. Đó chính là lợi thế của phép chứng minh này.

Chú ý: Trong nhiều trường hợp ta cần chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiênn  a, ở đây a là một số tự nhiên xác định nào đó. Khi đó trong phép chứng minh bằng quy nạp, ở bước thứ nhất ra cần kiểm tra bằng mệnh đề đúng với n = a (P(n) đúng), còn bước thứ hai là giả thiết mệnh đề đúng vớin  a, ta chứng minh mệnh đề đúng với n’.