7. Cấu trúc khóa luận
1.3.2. Tính sắp thứ tự tốt
Định nghĩa về số theo quan hệ thứ tự thuộc về hai nhà toán học: Dedekind và Peano. Dedekind (1887) đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự: “Những phần tử này được gọi là số tự nhiên hay số thứ tự hay đơn giản là số”. Nguyên nhân số chỉ phụ thuộc duy nhất vào các tính chất thứ tự của số tự nhiên dẫn ông đến kết luận rằng số thứ tự cơ bản hơn bản số. Đây là một điều quan trọng về lý thuyết của Dedekind. Ông đề nghị rằng các số tự nhiên là gì đi nữa, trước tiên chúng phải là một cấp số. Các số tự nhiên có thể được định nghĩa dựa vào số liền trước nó.
Khái niệm: Tập hợp số tự nhiên N cùng với một quan hệ thứ tự ≤ trên
A được gọi là sắp thứ tự tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của A đều có phần tử nhỏ nhất.
Chứng minh: giả sử M là một bộ phận khác rỗng của N. Ta chứng minh M có số nhỏ nhất. Đặt M' = {n ∈ N | n ≤ x ∀ x ∈ N}. Nghĩa là M’ bao gồm tất cả các số tự nhiên n mà nhỏ hơn hoặc bằng mọi số tự nhiên x ∈ M.
Ta nhận thấy: M’ là một bộ phận khác
Chú ý: Nếu A cùng quan hệ thứ tự ≤ là sắp thứ tự tốt thì ≤ là một quan hệ toàn phần trên A. Thật vậy, giả sử x, y là hai phần tử tùy ý của A. Theo giả thiết bộ phận {x, y} của A có phần tử nhỏ nhất. Nếu phần tử nhỏ nhất đó là x
thì ta có x ≤ y, nếu đó là y thì ta có y ≤ x. Như vậy, hai phần tử bát kì của A đều so sánh được theo quan hệ ≤.
Định nghĩa: Tập hợp số tự nhiên N cùng quan hệ thứ tự ≤ đã xác định là một tập hợp xắp thứ tự tốt.
Giả sử M là một bộ phận khác rỗng của N ta chứng minh M có số nhỏ nhất. Mặt M’= {n N | n x x M}. Nghĩa là M’ bao gồm tất cả các số tự nhiên n mà nhỏ hơn hoặc bằng mọi số tự nhiên x ∈ M.
Nhận thấy M’ là một bộ phận của N có các tính chất:
1) 0M vì’ 0 x với mọi nên cũng có 0 xvới mọi xN.
2) M’ N. Thật vậy, vì M nên tồn tại xN khi đó x’M’
Như vậy, tập hợp M’ thỏa mãn điều kiện thứ nhất của tiên đề quy nạp, nhưng
’
M N do đó M’ không thể thỏa mãn điều kiện thứ hai của tiên đề quy nạp. Điều đó có nghĩa là tồn tại phần tử mM’sao cho m’M’. Bây giờ ta chứng minh rằng chính phần tử m đó là nhỏ nhất của M. Trước hết, vì mM’ nên
, .
m x x M Do đó để chứng minh m là phần tử nhỏ nhất của M ta chỉ cần chứng minh m ∈ M. Giả sử ngược lại, m ∉ M. Khi đó ta phải có:
, .
m x x M Từ đó suy ra: m’ x x Mhay m’M’ mâu thuẫn với giả thiết về m. Vậy m ∈ M và đó là phần tử nhỏ nhất của M.
Nói cách khác khi ta dạy ở bậc tiểu học, học sinh sẽ được học theo phương pháp sau:
Tóm lại, cách tiếp cận quan hệ thứ tự đồng nhất số tự nhiên với số thứ tự. Khi đó, số tự nhiên lấy nghĩa “vị trí của các số hạng trong một cấp số”.