Giải và khai thác một số bài tập liên quan

7. Cấu trúc khóa luận

1.5. Giải và khai thác một số bài tập liên quan

Chứng minh:

Xét ánh xạ: f : A B → B A

(x y, ) (y x, ) Vậy f là một đơn ánh.

Thật vậy, giả sử (x’, ’ , ”, ”y ) (x y ) A B và (x’, ’ ”, ” .y )  (x y ) Khi đó x’ ” x

hoặcy’ ” y . Mặt khác, ta có f x( ’, ’ ’, ’y ) = (y x ) và f x( ”, ” y ) = (y”, ” .x ) Từ

’ ”

x  x hoặcy’ ” y suy ra f x( ’, ’ y )  f x( ”, ” .y ) Vậy f là toàn ánh

Mà ta có(x', y') B A. Hiển nhiên (x", y") A Blà tạo ảnh của ( ', ')x y qua ánh xạ f. Do đó f là song ánh và từ đó có A×B ~ B×A

Bài 1.5.2: Cho hai tập A, B, với B ≠ ∅ .Chứng mỉnh rằng A tương đương với một bộ phận của tích Đề-các A×B

Với hai tập bất kì A, B, trong đó B ≠ ∅ ta có A tương đương với một bộ phận của A×B. Thật vậy, vì B ≠ ∅ nên tồn tại b ∈ B

Xét ánh xạ: ( ) ( ) : , f A A B x x b →  Ta chứng minh f là đơn ánh.

Thật vậy, giả sử x’≠ x”x’, ”x A và x ’ ”. x Khi đó (x’, ”, b)  (x b)do đó ( )’ ( )”

f x  f x . Vì f là đơn ánh nên A tương đương với một bộ phận của A×B

Bài 1.5.3: Chứng minh rằng: Tập hợp các số tự nhiên là vô hạn. Xét ánh xạ: ( ) : 2 2 f N N n f n n → = } 2N = {xN | x=2 , k kN (Tập số tự nhiên chẵn) Ta có : tập 2N là tập con thực sự của N(2NN) (1) Ánh xạ f là một song ánh (2) Từ (1) và (2) ta suy ra N là tập vô hạn

Bài 1.5.4: Cho P(n) là một hàm mệnh đề một biến (vì từ một ngôi) xác định trên tập các số tự nhiên:

Chứng minh rằng:

a, Nếu hàm mệnh đề P(n) thỏa mãn các điều kiện sau: - P(a) đúng với a là một số tự nhiên nào đó.

- Với mọi n ∈ N, P(n) đúng kéo theo P(n’) đúng thì mệnh đề ∀n ≥ a, P(n) đúng (nghĩa là P(n) đúng ∀n ≥ a).

- P(0) đúng.

- Với mọi k ∈ N sao cho 0 ≤ k ≤ n, P(k) đúng kéo theo P(k’) đúng, thì mệnh đề ∀n ∈ N, P(n) đúng (nghĩa là P(n) đúng với ∀n ∈ N).

Chứng minh:

a, Nếu a = 0 thì ta có nguyên lí của phép chứng minh bằng quy nạp (trong phần 1.3.) Nếu a ≠ 0, thì ta đặt: ( ) ’ ” ’ ” { | } { | } M n N n a M n N P n đúng M M M =   =  =  Ta cóM N và 0M vì 0M’.

Hơn nữa, theo cách xác định của các tập M’, M”, M ta dễ dàng chứng minh được với mọi n ∈ N, nếu n ∈ M thì n’ ∈ M. Từ đó suy ra M = N.

Do đó N – ’M M”, nghĩa là {nN | n  a{ { nM | P n đúng( ) }. Điều đó chứng tỏ rằng P(n) đúng với mọi n ≥ a {n ∈ N}.

b, Xét tập S = {nN | P n sai( ) }.Vì P(0) đúng nên 0 ∉ S.

Giả sử S ≠ ∅ . Vì S ⊂ N và S ≠ ∅ nên S có số nhỏ nhất, chẳng hạn là m’. Ta có m’ ∈ S và 0 ∉ S. Vậy m’ ≠ 0. Vì m’∈ S nên P(m’) là mệnh đề sai. Vì M’ là số nhỏ nhất của S nên mọi k ∈ N sao cho 0 ’ k  m đều không thuộc S. Như vậy ta có P(k) đúng với mọi k ∈ N sao cho0 1 ’ – 1  m . Khi đó, theo giả thiết ta có P(m’) đúng. Điều đó mâu thuẫn với kết quả P(m’) sai. Vậy S = ∅ . Do đó P(n) đúng với mọi n ∈ N.

Bài 1.5.5: Cho X là tập các tam giác, Y là tập các đường tròn.

a) Quy tắc cho tương ứng mỗi tam giác với một đường tròn ngoại tiếp nó có phải là ánh xạ hay không? Tại sao?

b) Quy tắc cho tương ứng mỗi đường tròn với tam giác nội tiếp trong đường tròn đó có phải là ánh xạ hay không? Tại sao?

Chứng minh:

b) Không là ánh xạ vì một đường tròn có vô số tam giác nội tiếp.

Khai thác:

- Phát biểu bài toán cho cho tứ giác, đa giác.

- Phát biểu bài toán cho tam giác ngoại tiếp đường tròn (mỗi tam giác với một đường tròn nội tiếp, nghĩa là tam giác này ngoại tiếp đường tròn đó).

Bài 1.5.6: Cho X = 1; 2; 3; 4; 5; 6 .  Có thể thiết lập một đơn ánh mà không phải là toàn ánh từ X vào chính nó không? Tại sao?

Giải:

Không thể thiết lập một đơn ánh mà không phải là toàn ánh từ X vào chính nó. Vì X hữu hạn. Do đó mọi đơn ánh là toàn ánh (đơn ánh không thực sự).

Khai thác:

- Tính số ánh xạ từ X vào X: 66. - Tính số song ánh: 6! = 720. - Thay X bằng tập n phần tử.

Bài 1.5.7: Cho X = a b c d e và Y; ; ; ;  = 1; 2; 3; 4 .  Có thể thiết lập một song ánh từ X lên Y không? Tại sao?

Giải:

Không thiết lập được vì X và Y không tương đương (số phần tử khác nhau).

Khai thác:

- Khái quát khi X, Y lần lượt có m, n phần tử (m > n). - Bổ sung thêm câu hỏi:

+ Tìm số ánh xạ: Gọi f là ánh xạ từ X vào Y. f(a) có 4 cách chọn, f(b), f(c), f(d), f(e) cũng vậy.

+ Tìm số toàn ánh: Nếu f là toàn ánh từ X vào Y thì mỗi phần tử của Y đều là ảnh của ít nhất 1 phần tử thuộc X. Ta có 4 trường hợp:

1 có 2 tạo ảnh; 2, 3, 4 mỗi số có 1 tạo ảnh. 2 có 2 tạo ảnh; 1, 3, 4 mỗi số có 1 tạo ảnh.

3 có 2 tạo ảnh; 1, 2, 4 mỗi số có 1 tạo ảnh. 4 có 2 tạo ảnh; 1, 2, 3 mỗi số có 1 tạo ảnh.

Xét trường hợp 1 có 2 tạo ảnh; 2, 3, 4 mỗi số có 1 tạo ảnh. Số cách chọn tạo ảnh của 1: 2 5 5! 10. 2!3! C = =

Khi đã chọn 2 tạo ảnh của 1, còn 3 phần tử của X sẽ tương ứng 1-1 với 3 phần tử 2, 3, 4 của Y: có 3! = 6 cách chọn.

Vậy trường hợp này có 10.6 = 60. Tương tự khi 2 có 2 tạo ảnh, 3 có 2 tạo ảnh, 4 có 2 tạo ảnh mỗi trường hợp cũng cho 60 cách chọn. Do đó ta được số toàn ánh là: 60 + 60 + 60 + 60 = 240.

Bài 1.5.8: Chứng minh rằng các tập sau đây là tương đương:

a) X là tập các điểm thuộc đường tròn tâm O, bán kính R và tập Ycác điểm thuộc đường tròn tâm O bán kínhR2với RR2.

b) Tập A các điểm thuộc đường tròn tâm O, bán kính Rvà tập Bcác điểm thuộc đường kính của đường tròn đó.

c) Tập X gồm các điểm nằm trong hình tròn tâm O, bán kính Rvà tập Pcác điểm trong mặt phẳng.

Giải:

Cho f(M) = M’.

b) Rõ ràng có đơn ánh từ B vào A. Ta đã biết nửa đường tròn tương đương với đoạn thẳng. Vậy nửa đường tròn tương đương với bán kính. Nửa còn lại tương đương với bán kính là nửa đường kính. Do đó có đơn ánh từ A vào B. Vậy A tương đương với B.

c) Có đơn ánh từ mặt phẳng vào mặt cầu. Mỗi nửa mặt cầu tương đương với hình chiếu của nó là hình tròn nên có đơn ánh từ mặt cầu vào hình tròn. Do đó

M' M

có đơn ánh từ mặt phẳng vào hình tròn. Hiển nhiên có đơn ánh từ hình tròn vào mặt phẳng. Vậy mặt phẳng tương đương hình tròn.

Bài 1.5.9: Cho Avà Blà hai tập hợp. Chứng minh rằng a) A B BA;

b) Nếu B khác rỗng thì A luôn tưong đương với một tập con của A B .

Giải a) : ( ', ') ( ', ') f A B B A x y y x  →  Vậy f là một đơn ánh.

Thật vậy, giả sử (x’, ’ , ”, ”y ) (x y ) A B và (x’, ’ ”, ” .y )  (x y ) Khi đó x’ ” x

hoặcy’ ” y . Mặt khác, ta có f x( ’, ’ ’, ’y ) = (y x ) và f x( ”, ” y ) = (y”, ” .x ) Từ

’ ”

x  x hoặcy’ ” y suy ra f x( ’, ’ y )  f x( ”, ” .y ) Vậy f là toàn ánh

Mà ta có(x', y') B A. Hiển nhiên (x", y") A Blà tạo ảnh của ( ', ')x y qua ánh xạ f. Do đó f là song ánh và từ đó có A×B ~ B×A

b) Tồn tại b thuộc B. A A b  A B

Khai thác:

Tích Đề - Các hữu hạn tập tương đương tích của chúng theo thứ tự khác (đảo thứ tự, hoán vị không làm thay đổi bản số của tích Đề - Các).

1 2 n

A A  A tương đương bộ phận con của A1A2 AnAn+1 (An+1  ).

Bài 1.5.10: Chứng minh rằng tập A hữu hạn khi và chỉ khi mọi đơn ánh từ A

vào chính nó đều là song ánh.

Chứng minh:

Nếu có đơn ánh f: A→A không song ánh. Khi đó f A( )A f A, ( )A. Ta có

A ~ f(A) là tập con thực sự của A. Trái định nghĩa tập hữu hạn.

Ngược lại, nếu mọi đơn ánh từ A vào chính nó đều là song ánh và A không hữu hạn thì a vô hạn. Theo định nghĩa tập vô hạn,  A' A A, 'A A, A'.

Do đó có song ánh f :A→A'. Xét ánh xạ F A: →A a, F a( )= f a( ). F là đơn

ánh mà không là toàn ánh. Điều này trái giả thiết. Vậy A phải là tập hữu hạn.

Bài 1.5.11: Chứng minh rằng:

a) Mọi tập tương đương với một tập vô hạn đều là vô hạn; b) Mọi tập chứa một tập vô hạn đều vô hạn;

c) Một tập vô hạn không thể tương đương với tập hữu hạn.

Chứng minh:

a) Giả sử A tương đương với B, B vô hạn. Khi đó có song ánh f :B→ A.Tồn tại B'B B, 'B B, ' B. Vì f song ánh nên ta có f B( ')A f B, ( ')A.Ta có

( ') ' .

f B B B A Do đó A tương đương với tập con thực sự của nó là f(B’). Vậy A vô hạn.

b) Giả sử A chứa B, B vô hạn. Khi đó B tương đương với tập con thực sự của nó là B’. Theo tính chất hợp rời nhau ta có A=(A B\ ) B (A B\ ) B'.

Vậy A tương đương với (A B\ ) B' và (A B\ ) B' là tập con thực sự của A. Vậy A vô hạn.

c) Giả sử A hữu hạn, B vô hạn. Nếu A tương đương với B thì có song ánh

: .

f B→A Vì B vô hạn tồn tại B'B B, 'B B, ' B. Vì f song ánh nên ta có

( ') , ( ') .

f B A f B A Ta có f B( ') B' B A. Do đó A tương đương với tập con thực sự của nó là f(B’). Vậy A vô hạn trái giả thiết.

Bài 1.5.12: Chứng minh rằng tập các điểm trên đường thẳng là một tập vô hạn.

Cách 1: Ta đã biết đoạn thẳng là vô hạn. Mà đoạn thẳng là bộ phận của đường thẳng nên đường thẳng vô hạn.

Cách 2: Coi đường thẳng là tập số thực (đường thẳng thực). Ta có:

: , x

f → + x e là song ánh. Do đó đường thẳng thực tương đương bộ phận

con của nó. Vậy là tập vô hạn.

Bài 1.5.13: Cho hai số tự nhiên a và b trong đó a b . Chứng minh rằng ab.

Lấy 2 tập hữu hạn A, B sao cho: a = Card(A), B = Card(B) và AB A, B.

Lấy phần tử xB. Khi đó rõ ràng xA. Ta có:

   ,    , ' ar (  ), ' ar (  ).

A x B x A x B x a =C d A x b =C d B x

TIỂU KẾT CHƯƠNG 1

Trong chương 1, trước hết chúng tôi đã tổng hợp được các kiến thức cơ bản liên quan đến khái niệm số tự nhiên, bao gồm: tập hợp tương đương, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn, bản số, khái niệm số tự nhiên. Tiếp theo, chúng tôi đã phân tích làm rõ một số nội dung toán học thông qua các ví dụ minh họa, mở rộng các tính chất và đưa ra được một số mô hình của tập số tự nhiên. Ngoài ra, chương này còn đưa ra được lời giải và khai thác cho một số bài tập về tập tương đương, tập hữu hạn, tập vô hạn, khái niệm số tự nhiên.

CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ TỰ NHIÊN *) Mục tiêu của dạy học số và bốn phép tính với số tự nhiên

Việc dạy số và bốn phép tính với số tự nhiên trong môn Toán cấp Tiểu học hiện nay nhằm hình thành cho học sinh kĩ năng tính toán. Thông qua quá trình rèn luyện kĩ năng tính toán, hình thành cho học sinh tư duy thuật toán và biết cách giải quyết vấn đề theo quy trình nhất định, tạo nền tảng để các em giải quyết các bài toán đơn giản trong cuộc sống cũng như trong học tập. Qua quá trình học các phép tính, học sinh được phát triển kĩ năng và trí tuệ như khả năng suy luận, ghi nhớ, lập luận, quan sát,..; giúp học sinh rèn tính cẩn thận, chính xác, tác phong nhanh nhẹn,...

*) Quan điểm xây dựng cấu trúc nội dung dạy học số và bốn phép tính với số tự nhiên

Theo tác giả Đỗ Đình Hoan, nội dung môn Toán Tiểu học hiện hành đã cấu trúc lại nội dung môn Toán cấp 1 cải cách giáo dục theo hướng giảm nhẹ kiến thức lí luận phức tạp. Chẳng hạn, đã sử dụng đồ dùng trực quan đơn giản thay thế hoàn toàn “cơ sở lí luận” của các kĩ thuật thực hiện 4 phép tính; giảm đáng kể các yếu tố đại số; đưa một số yếu tố thống kê vào sách giáo khoa; chuyển một số dạng bài toán phức tạp sang tài liệu tự chọn; giới thiệu thêm một số hình đơn giản, cách sử dụng máy tính bỏ túi để tăng tính thực tế của môn học; ... Tuy giảm nhẹ nội dung nhưng nhờ tăng cường sử dụng trực quan và có cách sắp xếp, lựa chọn hợp lí cũng như nhờ biên soạn sách giáo khoa theo chuẩn “tối thiểu”, thời lượng thực hành nhiều hơn thời lượng học bài mới nên trình độ học tập môn Toán theo sách giáo khoa Toán cấp Tiểu học hiện hành về cơ bản vẫn tiếp cận được với trình độ của các quốc gia phát triển trong khu vực và trên thế giới.

*) Nội dung dạy học số và bốn phép tính với số tự nhiên ở Tiểu học

Giống như chương trình Toán cấp 1 phổ thông năm 1981, nội dung số và phép tính trong môn Toán cấp Tiểu học hiện hành đều được cấu trúc theo

các vòng số. Tuy nhiên, sự phân chia các vòng số có khác nhau. Nội dung số và phép tính với số tự nhiên được chia thành các vòng số: 10; 100; 1000; 10 000; 100 000; các số có nhiều chữ số.

Theo Chương trình Giáo dục phổ thông cấp Tiểu học (2006), yêu cầu chuẩn kiến thức, kĩ năng phần số và phép tính với các số tự nhiên ở từng lớp như sau:

- Lớp 1:Các số trong phạm vi 100: Biết đếm, đọc, viết các số đến 100; biết viết số có hai chữ số thành tổng của số chục và số đơn vị; biết so sánh các số trong phạm vi 100.

+ Phép cộng và phép trừ trong phạm vi 10: Sử dụng đồ dùng trực quan, hình vẽ, thao tác để minh hoa, nhận biết ý nghĩa phép cộng, phép trừ; thuộc ̣ bảng cộng, bảng trừ và biết cộng, trừ nhẩm trong phạm vi 10; biết dựa vào các bảng cộng, trừ để tìm thành phần chưa biết trong phép tính; biết tính giá trị các biểu thức số có đến hai dấu phép tính cộng, trừ.

+ Phép cộng và phép trừ không nhớ trong phạm vi 100: Biết đặt tính và thực hiện phép cộng, trừ không nhớ trong phạm vi 100; biết cộng, trừ nhẩm (không nhớ) hai số tròn chục, số có hai chữ số với số có một chữ số.

- Lớp 2: Các số trong phạm vi 1000: Biết đếm từ 1 đến 1000; biết đọc, viết các số đến 1000; biết xác định số liền trước, số liền sau của một số cho trước; nhận biết được giá trị theo vị trí của các chữ số trong một số; biết phân tích số có ba chữ số thành tổng của số trăm, số chục, số đơn vị và ngược lại; biết xác định số bé nhất (hoặc lớn nhất) trong một nhóm các số cho trước; biết sắp xếp các số có đến ba chữ số theo thứ tự từ bé đến lớn hoặc ngược lại.

+ Phép cộng và phép trừ các số có đến ba chữ số: Thuộc bảng cộng, trừ trong phạm vi 20; biết cộng, trừ nhẩm số có ba chữ số với số có một chữ số hoặc với số tròn chục , tròn trăm (không nhớ); biết đặt tính và tính cộng, trừ (có nhớ) trong phạm vi 100; biết đặt tính và tính cộng, trừ (không nhớ) các số có đến ba chữ số; biết tính giá trị các biểu thức số có không quá hai dấu

phép tính cộng, trừ không nhớ; biết tìm thành phần chưa biết của phép cộng, phép trừ bằng cách sử dụng mối quan hệ giữa thành phần và kết quả của phép tính.

+ Phép nhân và phép chia: Thuộc bảng nhân và bảng chia 2, 3, 4, 5; biết nhân, chia nhẩm trong các trường hợp sau: các phép nhân, chia trong