7. Cấu trúc khóa luận
3.1. Mối liên hệ với dạy khái niệm số tự nhiên, so sánh hai số
3.1.1. Phân tích cơ sở toán học
Số là khái niệm trừu tượng đầu tiên mà trẻ em được gặp trong môn toán. Cơ sở để trẻ em nhận thức được khái niệm số là cách đếm. Ngay từ trước khi học lớp 1 thì các em đã được tiếp xúc để biết đọc các số “1, 2, 3, 4,…” Có những em thậm chí đếm được đến 50, 100. Tuy nhiên, như vậy chưa có nghĩa là trẻ đã có được hiểu biết chính xác về số. Trong chương trình tiểu học, khái niệm số được xây dựng theo tinh thần của lí thuyết tập hợp thông qua các hình ảnh trực quan chứ chưa sử dụng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp. việc hình thành khái niệm số tự nhiên được đưa vào từ lớp 1.
Ban đầu, học sinh được học về nhiều hơn, ít hơn sau đó học đến các chữ số, dấu bé hơn, dấu lớn hơn, dấu bằng. Sách giáo khoa toán 1 đã trình bày khái niệm số tự nhiên theo cách hiểu là số phần tử của một tập hữu hạn. Dần dần hình thành số tự nhiên ứng với số phần tử của tập hợp.
Để nhận thực được khái niệm số tự nhiên đòi hỏi học sinh phải có khả năng trừu tượng hóa cao, khai quát hoa cao nhưng học sinh tiểu học còn nhiều hạn chế vì vậy để học sinh có thể hiểu được bản chất của số tự nhiên cần phải giới thiệu qua một quá trình với các mức độ khác nhau và bằng nhiều cách khác nhau kết hợp với cơ chế logic hình thành khái niệm với kinh nghiệm sống của học sinh. Muốn vậy giáo viên phải hiểu rõ bản chất số của sô tự nhiên cũng như nội dung, dụng ý của cách trình bày trong sách giáo khoa để đưa ra cách dạy hợp lí.
Ví dụ:
Khi hình thành số 2, sách giáo khoa toán 1 sử dụng các mô hình biểu diễn đường cong khép kín, bên trong gồm 2 đồ vật (hai con mèo, hai đứa trẻ, …) gần gũi với cuộc sống hàng ngày của học sinh (chỉ phần tử của tập hợp đó).
Tương tự với các số tự nhiên khác, các em tìm hiểu qua quan sát các hình minh họa, các ví dụ thực tiễn xung quanh đời sống hàng ngày và gần gũi với các em. Các số tự nhiên được trình bày theo từng số bắt đầu từ số 1. Sau đó lần lượt học các số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 10.
Sách giáo khoa toán 4 tiếp tục cho học sinh ôn tập các số đến 100000. So sánh các số có nhiều chữ số. Học về dãy số tự nhiên: thêm 1 vào bất kì số bào cũng được số tự nhiên liền sau nó. Vì vậy không có số tự nhiên lớn nhất và dãy số tự nhiên kéo dài mãi. Bớt bất kì một số nào (khác số 0) cũng được số tự nhiên liền trước nó. Chẳng hạn, bớt 1 ở số một được số tự nhiên liền trước là 0. Không có số tự nhiên nào liền trước số 0 nên số 0 là số tự nhiên bé nhất. Trong dãy số tự nhiên, hai số liên tiếp thì hơn kém nhau một đơn vị.
3.1.2. Nội dung dạy khái niệm số tự nhiên, so sánh hai s ố
Đối với học sinh tiểu học, việc hình thành khái niệm số tự nhiên phải vận dụng đồng thời cả hai mặt( bản số và số tự số) của nó.
Mặt bản số thể hiện ở chỗ dùng phép tương ứng 1-1, làm cho các em thấy được đó là dấu hiệu chung của cá tập hợp tương đương( có cùng số phần tử. Mặt số tự số thể hiện ở chỗ sử dụng phép đếm mà học sinh lớp 1 đã biết từ trước.
a) Thứ tự nội dung trong sách giáo khoa hiện hành
- Nhiều hơn, ít hơn - Các số 1, 2, 3 - Các số 1, 2, 3, 4, 5 - Bé hơn. Dấu < - Lớn hơn. Dấu > - Bằng nhau. Dấu = - Số 6 - Số 7 - Số 8 - Số 9 - Số 0 - Số 10
(1) Nhiều hơn, ít hơn: Học sinh chưa được dạy về số, tuy nhiên đã được tiếp cận làm quen với khái niệm nhiều hơn, ít hơn. Cơ sở hình thành cho học sinh về những khái niệm này bản chất dựa vào lực lượng tập hợp. Thông qua hai tập hợp với đối tượng cụ thể, gần gữi, quen thuộc, sinh động, người ta hình thành cho học sinh thế nào là nhiều hơn, ít hơn. Chẳng hạn, từ một tập A gồm 5 cái cốc và một tập hợp B gồm 4 cái thìa để thành hàng có trật tự, bằng việc nối mỗi cái cốc tương ứng với một cái thìa, quan sát thấy dư ra một cái thìa sẽ cho học sinh thấy được cốc nhiều hơn thìa (tập A nhiều hơn tập B).
(2) Các số 1, 2, 3: Dựa vào khái niệm tập các tương đương và bản số. Để hình thành cho học sinh khái niệm số 1, người ta lấy một số tập tương đương có duy nhất một phần tử (cùng bản số), chẳng hạn: Tập hợp một con chim, Tập hợp một học sinh, Tập hợp một hạt tính trên bàn tính gảy,… Để hình thành cho học sinh khái niệm số 2, người ta lấy một số tập tương đương có hai phần tử (cùng bản số), chẳng hạn: Tập hợp hai con mèo, Tập hợp hai học sinh, Tập hợp hai hạt tính trên bàn tính gảy,… Để hình thành cho học sinh khái niệm số 3, người ta lấy một số tập tương đương có ba phần tử (cùng bản số), chẳng hạn: Tập hợp ba bông hoa, Tập hợp ba học sinh, Tập hợp ba chấm tròn, Tập hợp ba hạt tính trên bàn tính gảy,…
(3) Các số 1, 2, 3, 4, 5: Hoàn toàn tương tự, việc hình thành cho học sinh khái niệm số 4, số 5 cũng dựa vào quan hệ tương đương và khái niệm bản số. Ngoài ra, đến đây người ta đã dựa trên kết quả học sinh đã làm quen với khái nhiệm nhiều hơn, ít hơn, các số 1, 2, 3 trước đó để đưa ra mô hình thể hiện thứ tự từ ít đến nhiều tương ứng với 5 số đã biết theo thứ tự: 1, 2, 3, 4, 5 và từ nhiều đến ít: 5, 4, 3, 2, 1.
(4) So sánh 2 số khác nhau từ 1 đến 5: Trên cơ sở học sinh vừa quen với khái niệm nhiều hơn, ít hơn và các số từ 1 đến 5, người ta hình thành cho học sinh sự so sánh hai số khác nhau trong phạm vi từ 1 đến 5. Như vậy quan hệ thứ tự được thực hiện thông qua bản số của các tập hợp cụ thể. Về bản chất để so sánh hai số tự nhiên a, b trong dạy học được thực hiện qua quy trình sau:
- Bước 1: Lấy hai tập cụ thể A, B sao choa = cardA b, = CardB.
- Bước 2: Sắp xếp chúng theo trật tự tương ứng (phần tử đầu tiên của A được xếp tương đồng theo vị trí với phần tử đầu tiên của tập B).
- Bước 3: Thiết lập đơn ánh giữa A, B (thông qua nối mỗi phần tử của tập này với một phần tử ở vị trí tương đồng của tập kia).
(5) Bằng nhau. Dấu =: Dựa vào quan hệ tương đương giữa hai tập hợp (hữu hạn) mà cụ thể là có song ánh hay tương ứng 1 – 1 giữa hai tập hợp, người ta hình thành cho học sinh khái niệm bằng nhau về số lượng của hai tập hữu hạn tương đương, diễn tả sự bằng nhau của 2 kí hiệu của cùng một số tự nhiên (chẳng hạn 3 = 3, 4 = 4,…)
(6) Số 6, 7, 8, 9: Việc hình thành khái niệm số 6 cho học sinh có điểm khác so với các số từ 1 đến 5. Số 6 được hình thành chỉ dựa một phần vào bản số, thêm vào đó người ta hướng học sinh nhìn nhận số 6 như là sự hợp lại của 5 và 1. Đây cũng là sự vận dụng quan hệ kề sau trong việc hình thành số 6. Ngoài ra, trong một số hình ảnh người ta cũng hướng học sinh nhìn nhận thêm về số 6 như là sự ghép lại của 4 và 2, của 3 và 3. Việc làm này cũng là những bước chuẩn bị cho dạy học phép cộng về sau. Các số 7, 8, 9 được hình thành theo quy trình tương tự. Đi kèm với hình thành từng số từ 6 đến 9, người ta cũng hình thành cho học sinh quan hệ thứ tự giữa chúng. Tuy nhiên đến số 8, số 9 các biểu tượng minh họa về nhiều ít đã được lược bỏ.
(7) Số 0: Sự hình thành cho học sinh khái niệm số 0 được mô tả theo quá trình bớt từng phần tử của một tập hữu hạn cho đến khi tập hợp thu được không còn phần tử nào (tập rỗng). Tiếp theo, người ta chú ý cho học sinh thứ tự, vị trí của số 0 (vị trí đầu tiên).
(8) Số 10: Tương tự như các số từ 6 đến 9, số 10 được hình thành trên cơ sở như sự hợp thành của 9 và 1.
b. Thứ tự nội dung trong sách giáo khoa theo chương trình 2018
- Các số 1, 2, 3 - Các số 4, 5, 6 - Các số 7, 8, 9 - Số 0
- Số 10
- Nhiều hơn, ít hơn, bằng nhau
- Lớn hơn. Dấu >. Bé hơn. Dấu <. Dấu =
Như vậy là thứ tự trình bày có sự khác nhau, học sinh được làm quen với con số trước khi được dạy học về so sánh hai số. Tuy nhiên, trong quá trình hình thành khái niệm số cho học sinh một số yếu tố về quan hệ thứ tự cũng được đề cập (thứ tự giữa các số). Việc mô tả qua các biểu tượng (kênh hình) trong sách giáo khoa mới cũng sinh động hơn, chi tiết cụ thể hơn (dùng nhiều hình, nhiều tập hợp cùng bản số nhằm tạo điều kiện để học sinh hiểu rõ hơn về số), gắn liền với thực tiễn nhiều hơn. Trong một số sách, việc hình
thành số có cách kết hợp khác so với sách hiện hành (số 7 về biểu tượng như là sự hợp lại của 5 và 2, số 8 về biểu tượng như là sự hợp lại của 5 và 3, số 9 về biểu tượng như là sự hợp lại của 5 và 4).
Nội dung về số tự nhiên trình bày trong môn toán ở tiểu học từ lớp 1 đến hết kì I lớp 4. Bao gồm:
- Giới thiệu 10 chữ số cơ bản từ 0 đến 9.
- Hình thành khái niệm các số tự nhiên có một, hai và nhiều chữ số: hàng và lớp của một số tự nhiên.
- Giới thiệu cách đọc, viết và phân tích theo cấu tạo của một số tự nhiên. - Giới thiệu khái niệm số chẵn, số lẻ, số tròn chục và số tròn trăm… - Giới thiệu khái niệm số liền trước, số liền sau của một số tự nhiên và
hai số tự nhiên liên tiếp.
Mười chữ số cơ bản từ 0 đến 9 được hình thành dựa trên công cụ bản số tập hợp. Nó được trình bày bằng ngôn ngữ đơn giản để phù hợp với học sinh tiểu học.
3.1.2.1. Nội dung dạy học số tự nhiên trong chương trình toán lớp 1
- Khái niệm các số tự nhiên (đọc, viết, phân tích cấu tạo trong phạm vi 100)
- So sánh và sắp thứ tự các số tự nhiên có 2 chữ số
- Hình thành kĩ năng cộng, trừ các số tự nhiên (không nhớ) trong phạm vi 100.
3.1.2.2. Nội dung dạy học số tự nhiên trong chương trình toán lớp 2
- Hình thành khái niệm số tự nhiên (đọc, viết, phân tích cấu tạo) số tự nhiên trong phạm vi 1000.
- So sánh và sắp thứ tự các số tự nhiên trong phạm vi 1000, không nhớ trong phạm vi 1000.
- Hình thành khái niệm phép nhân, phép chia và các bảng nhân, chia trong phạm vi 5.
- Hình thành tên gọi thành phần các phép tính. Cách tìm thành phần chưa biết trong phép cộng, trừ, nhân, chia (số bị chia)
3.1.2.3. Nội dung dạy học số tự nhiên trong chương trình toán lớp 3
- Khái niệm hàng trong các số tự nhiên (đọc, viết, phân tích cấu tạo số trong phạm vi 100 000)
- So sánh và sắp thứ tự các số tự nhiên có 5 chữ số (trong phạm vi 100 000).
- Cộng, trừ không nhớ và có nhớ các số tự nhiên trong phạm vi 100 000 - Các bảng nhân, chia trong phạm vi 10. Kĩ năng nhân chia ngoài bảng
(cho số có một chữ số)
- Biểu thức số và cách tính giá trị biểu thức số có và không có dấu ngoặc đơn
3.1.2.4. Nội dung dạy học số tự nhiên trong chương trình toán lớp 4
- Khái niệm các số tự nhiên; dãy số tự nhiên (đọc, viết, phân tích cấu tạo trong phạm vi lớp triệu).
- So sánh và sắp thứ tự các số tự nhiên có 6 chữ số (trong phạm vi lớp triệu)
- Cộng, trừ không nhớ và có nhớ các số tự nhiên trong phạm vi lớp triệu (có 6 chữ số)
- Nhân chia ngoài bảng (cho số có hai, ba chữ số)
- Tính giá trị của biểu tức có chứa một, hai, ba chữ số (có và không có dấu ngoặc đơn).
Khi vào lớp 1 học sinh mới thực sự hiểu được một số điểm quan trọng: - Phép đếm là sự thiết lập tương ứng 1-1 giữa đối tượng cần đếm với một
bộ phận đầu tiên của tập hợp số tự nhiên khác 0.
- Thực hành đếm: học sinh chỉ tay vào từng phần tử của nhóm đối tượng cần đếm theo thứ tự chỉ tay mà đọc tên các số, bắt đầu từ “ một”, “hai” … số đọc đến cuối cùng trong phép đếm là số lượng của nhóm đối tượng đã cho.
- Quy tắc đếm: không đếm sót (đối tượng nào cũng được đếm), không đếm thừa, không đếm lặp lại.
Trong môn toán ở tiểu học, đặc biệt là các lớp đầu cấp, khái niệm số tự nhiên được xây dựng lựa theo tinh thần của lý thuyết tập hợp và sử dụng các hình ảnh trực quan để giới thiệu về từng lớp các tập hợp có cùng phần tử. từ đó hình thành khái niệm ban đầu về số.
Việc hình thành khái niệm ban đầu về tập hợp và về phần tử của tập hợp thông qua việc kể tên đồ vật của tập hợp sau đó dùng các từ quen thuộc, tương đương để nói về tập hợp.
Ví dụ: “có 6 con vịt hợp thành một đàn vịt”
Khái niệm về lực lượng của một tập hợp, tập hợp tương đương được thể hiện rất rõ trong việc hình thành các số.
Ví dụ: Ở bài “các số 1, 2, 3”, khi giới thiệu về số 1, sách giáo khoa đưa ra các tập hợp khác nhau nhưng cùng một lực lượng (cùng số lượng là một). Ở đây các tập hợp “con chim”, “em bé”, “bông hoa”, “chấm tròn”, “con tính” là tương đương nhau và chúng có cùng một lực lượng hay còn gọi là có cùng một bản số.
Từ biểu tưởng “hai con mèo”, “hai chấm tròn”… dẫn đến số 2.
Từ biểu tưởng trong chậu có ba con cá: dùng vợt lần đầu 1 con thì trong bể còn hai con, lần thứ hai vợt 1 con nữa trong bể còn một con, lần cuối vợt một con thì trong bể không còn con cá nào. Từ đó dẫn đến số 0.
Các số tự nhiên có hai, ba và nhiều chữ số được hình thành trên công cụ là các que tính hoặc ô vuông sao cho phù hợp với học sinh lớp đó:
Trong sách giáo khoa toán 1: Từ biểu tượng 1 bó 10 que tính đặt cạnh 6 que tính dẫn đến số 16;
Trong sách giáo khoa toán 2: Từ biểu tượng một bảng có 100 ô vuông đặt cạnh bảng có 20 ô vuông và 5 ô vuông dẫn đến số 125;
Trong sách giáo khoa toán 3: Nhìn vào bảng cột nghìn ghi số 8, cột trăm ghi số 5, cột chục ghi số 6 và cột đơn vị ghi số 3 dẫn đến số 8656, đọc là tám nghìn năm trăm sáu mươi ba;
Việc học về so sánh các số cũng được phản ánh một cách đơn giản nhất nội dung ánh xạ thông qua việc hình thành cho các em khái niệm “tương ứng 1-1” giữa các phần tử của hai tập hợp.
Ví dụ:
Trong bài “nhiều hơn, ít hơn”, khi học sinh so sánh “số thìa” và “số cốc” bằng cách đặt một chiếc thìa vào một chiếc cốc tức là các em đã hình
thành được tương ứng 1-1.
Ở lớp 4 học sinh học so sánh và sắp xếp các số tự nhiên: số nào có nhiều chữ số hơn thì lớn hơn, số nào có ít chữ số hơn thì bé hơn. Nếu hai số có chữ