Mối quan hệ giữa phép nhân và phép cộng, phép trừ

7. Cấu trúc khóa luận

2.4.2. Mối quan hệ giữa phép nhân và phép cộng, phép trừ

Bổ đề 1. Với hai số tự nhiên a và b luôn luôn tồn tại hai tập hữu hạn rời nhau A và B sao cho:a = CardA và B = CardB.

Chứng minh:

Giả sử a và b là hai số tự nhiên, trong đóa = CardA và B = CardB với A và B là các tập hợp hữu hạn.

Nếu A  B =  thì ta có điều phải chứng minh.

Chọn hai phần tử tùy ý x ≠ y, ta đặt A’ = A × {x}; B’ = B × {y} thì A’ và B’ đều là tập hữu hạn vàA’ ~ ’ ~ A và B B nên A = cardA và B’ = card B ’. Như vậy hai tập hợp A’ và B’ thỏa mãn yêu cầu.

Bổ đề 2. Giả sử A, B, A’ và B’ là các tập hợp hữu hạn sao cho ’ ~ ’ ~ ; ’ ’ . A A và B B A  B= A  B =  Khi đó: ( ) ( ) ~ ’ ’ ~ ’ ’ i A B A B ii A B A B    

Định nghĩa: Cho a và b là hai số tự nhiên, trong đó a = CardA b, = CardB

với A và B là hai tập hợp hữu hạn rời nhau. Ta gọi:

a) Tổng của hai số tự nhiên a và b là một số tự nhiên c, kí hiệu là

c = a + b, trong đóc = Card A( B).

Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a, b với một số tự nhiên c nói trên ta gọi là phép cộng các số tự nhiên, trong đó a và b gọi là các số hạng, c gọi là tổng và a + b cũng gọi là tổng.

b) Tích của hai số tự nhiên a và b là một số tự nhiên p, kí hiệu là

p = a  b(hoặc a.b hoặc ab), trong đóp = card A( ) B .

Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a, b với một số tự nhiên p nói trên ta gọi là phép nhân các số tự nhiên, trong đó a và b gọi là các thừa số, p gọi là tích và a × b cũng gọi là tích.

Nhận xét: Từ định nghĩa, định lí, các bổ đề 1, 2 ta dễ dàng suy ra:

1) Với mỗi cặp số tự nhiên a, b luôn tồn tại duy nhất số tự nhiên c là tổng của chúng.

2) Với mỗi cặp số tự nhiên a, b luôn tồn tại duy nhất số tự nhiên p là tích của chúng.

Định lí: Tính chất của phép cộng và phép nhân

1. Tính giao hoán: Với mọi số tự nhiên a và b ta luôn có:

; . .

a + b = b + a a b = b a

2. Tính kết hợp: Với mọi số tự nhiên a và b ta luôn có:

( ) ( ) ( ) ( )

; . . . .

a + b + c = a + b + c a b c = a b c

( )

. . .

a b + c = a b + a c

4. Phần tử trung lập: Với mọi số tự nhiên a ta luôn có:

0 0 ; .1 1.

a + = + a = a a = a = a

5. Tính chất của số kề sau: Với mọi số tự nhiên a ta luôn có: Số kề sau

’ 1

a = a +

Chứng minh: theo định nghĩa số liền sau a’ = card A x = cardA

mà CardA x = CardA + Card x  = a + 1 (đpcm)

Chú ý: Để đơn giản ta quy ước:

a) Viết a + b + cthay cho a + (b + c) hoặc (a + b) + c. b) Viết a.b.c thay cho a.(b.c) hoặc (a.b).c

Tính đơn điệu của phép cộng và phép nhân: Với mọi số tự nhiên a, b, c ta luôn có:

a) a  b = a + c  b + ; . c a c  .b c;

b) a + c = b + c = a = b: Luật giản ước của phép cộng.

. . ; 0

a c = b c c  = a = b: Luật giản ước của phép nhân. c) a + c  b + c = a  b.

a c   =b c a  b.

Chứng minh:

a) Giả sử: a = Card A b ; = Card B c ; = Card C,

trong đó: A  C = B  C = . Nếu a = b thì rõ rànga + c = b + c

.Nếu a < b, ta có thể coiAB A,  B. Khi đó:A  C B C,

AC  B C. Từ đây suy ra: a + c  b + c.

Tương tự đối với phép nhân.

b) Giả sử a + c = b + c và a < b. Theo chứng minh trên suy r

a + c  b + c. Điều này trái với giả thiết. Suy ra điều phải chứng minh.