Phép cộng và tính chất

7. Cấu trúc khóa luận

2.1.3. Phép cộng và tính chất

Khái niệm: Giả sử A và B là hai số tự nhiên tùy ý A, B là hai tập hợp hữu hạn sao choa = CardA b, = CardB, A  B = .Ta gọi:

Tổng của hai số tự nhiên a và b là một số tự nhiên c, kí hiệu làc = a + b, trong đó c = Card A( B)

Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a và b với một số tự nhiên c nói trên gọi là phép cộng của các số tự nhiên.

Chú ý: đối với bất kì cặp số tự nhiên a, b sự tồn tại của hai tập hữu hạn A và B nếu trong định nghĩa được chứng minh trong bổ đề 3. Mặt khác, theo bổ đề 1 và 2, A ∪ B và A × B là những tập hữu hạn, do đó a + b và a × b là những số tự nhiên.

* Các tính chất của phép cộng

1. Tính chất giao hoán

Trong Toán học hiện đại, tiếp cận theo bản số tính chất giao hoán của phép cộng được suy ra từ tính giao hoán của hợp hai tập hợp. Tuy nhiên để phù hợp trình độ nhận thức, trong dạy học nội dung này ở Tiểu học người ta sử dụng con đường quy nạp không hoàn toàn để hình thành cho học sinh. Từ một số kết quả trong những trường hợp cụ thể, khái quát thành công thức

a + b = b + a.

Ta có: Với mọi số tự nhiên a, b ta có: a + b = b + a

Chứng minh: Vì AB = BA nên ta có ngay a + b = b + a theo định nghĩa của phép cộng

2. Tính chất kết hợp

Trong Toán học hiện đại, tiếp cận theo bản số tính chất kết hợp của phép cộng được suy ra từ tính kết hợp của hợp các tập hợp. Tuy nhiên để phù hợp trình độ nhận thức, trong dạy học nội dung này ở Tiểu học người ta sử dụng con đường quy nạp không hoàn toàn để hình thành cho học sinh. Từ một

số kết quả trong những trường hợp cụ thể, khái quát thành công thức

( ) ( )

a + b + c = a + b + c

Ta có: Với mọi số tự nhiên a, b, c ta có: a+(b + c) = (a + b) +c

Chứng minh: Vì A(BC) = (AB)C nên ta có ngay:

( ) ( )

a+ b + c = a + b +c theo định nghĩa của phép cộng

3. Phần tử trung lập

Với mọi số tự nhiên a ta có: a + 0 = 0 + a

Nghĩa là, số 0 là phần tử trung lập của phép cộng.

Chứng minh: Vì 0 = Card và A = A = A với mọi tập hợp của A nên từ đó ta có a + 0 = 0 + a = a với mọi a ∈ N.

4. Với mọi số tự nhiên a ta luôn có:

a + 1 = a’ (nghĩa là a + 1 là số kề sau của a) Chứng minh: giả sử a = cardA và x ∉ A theo định nghĩa:

 

a + 1 = Card A(  x ). Rõ ràng A((A x và) (A x ) \ A =  x .Vậy theo định nghĩa của số kề sau a + 1 chính là số kề sau của a.

* Tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng

Với mọi số tự nhiên a, b, c ta có: a) Nếu a ≤ b thì a + c ≤ b +c;

b) Nếu a + c = b + c thì a = b ( luật giản ước của phép cộng) c) Nếu a + c < b + c thì a < b

Chứng minh:

a) Giả sử a = CardA, b = CardB, c = CardC và A  B = B  C = . Nếu a = b thì rõ ràng a + c = b + c (theo định nghĩa phép toán cộng).

Nếu a < b thì có thể coi AB A,  B. Khi đó ta cũng có (AC)(BC)

và (AC)  (BC). Vậy a + c < b +c

b) Từ a + c = b + c suy ra a = b. Thật vậy nếu A ≠ B thì phải có a < b hoặc b < a khi đó theo chứng minh trên suy ra a + c < b + c hoặc b +c < a + c. Mâu thuẫn với giả thiết.

c) Từ a + c < b + c suy ra a < b. Thật vậy giả sử ngược lại b ≤ a, nhưng khi đó theo tính chất a) b +c ≤ a + c. Mâu thuẫn với giả thiết.

2.1.4. Phép trừ

Với mọi số tự nhiên a, b; nếu a ≤ b thì tồn tại duy nhất só tự nhiên c sao cho: a + c = b.

Chứng minh: Vì a ≤ b nên tồn tại hai tập hợp hữu hạn A, B sao cho A ⊂ B và

C , C

a = ardA b = ardB. Khi đó B \ A là một tập hữu hạn. Đặt

( ) C \ c = ard B A ta cóA  (B \ A) = , do đó: ( ) ( ) C \ C a + c = ard A  B A = ardB = b.

Hơn nữa, nếu tồn tại hai số tự nhiên c và c’; sao cho a + c = b và a + c’ = b. Khi đó ta có a + c = a + c’ do đó c = c’ theo luật giản ước.

Vậy tồn tại duy nhất số c ∈ N sao cho a + c = b

Định nghĩa: Số tự nhiên c thỏa mãn đẳng thức a + c = b được gọi là hiệu của b và a, kí hiệu là c = b – a.

Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a, b với một số tự nhiên c nói trên ta gọi là phép từ số tự nhiên. Vậy theo định nghĩa ta có a + (b – a) = b.

Chú ý: Định lí trên cho thấy nếu a ≤ b thì tồn tại hiệu b – a. Nói cách khác phép trừ b – a thực hiện được khi a ≤ b.

2.2. Phép nhân

2.2.1. Tích đề - các của tập hữu hạn.

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết tập hợp, tích Đề - các của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A×B, là một tập hợp chứa tất cả các bộ có dạng (a, b) với a là một phần tử của A và b là một phần tử của B. Hay, viết trong ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp:

Ví dụ, ta có:     1, 2 , , A B p q r = = thì:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   1, , 1, , 1, , 2, , 2, , 2, A B = p q r p q r và: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   ,1 , ,1 , ,1 , , 2 , , 2 , , 2 B A = p q r p q r

Như vậy tích Đề - các của 2 tập hợp là một phép toán 2 ngôi trên các tập hợp. Có thể mở rộng định nghĩa tích Descartes của nhiều tập hợp A1  A2 ... An là tập hợp chứa tất cả các bộ có dạng (a a1, 2,...,an)với ai là một phần tử của A ii 1, 2,..., ( = n).

Tích Đề - các là phép toán không có tính giao hoán. Phép toán này có tính chất kết hợp. Lực lượng (số phần tử) của tích Đề - các bằng tích của lực lượng của từng tập hợp:

1 ... n 1 ... n

A A = A   A

Trong ví dụ trện, A = 2, B = 3 và ta thấy A B =  = 2 3 6.

Tích Đề - các giữa hai tập (hoặc một số hữu hạn tập) đếm được là đếm được Ta có lũy thừa bậc 2 Đề - các (hay bình phương Đề - các) của tập hợp A được định nghĩa là tích Đề - các của A với A:

2

A = A A

Tương tự, lũy thừa Đề - các bậc n là tích Đề - các của n tập A:

...

n

A =   A A A (có n tập A ở vế phải)

2.2.2. Phép nhân và tính chất

Khái niệm: Giả sử A và B là hai số tự nhiên tùy ý A, B là hai tập hợp hữu hạn sao choa = CardA b, = CardB, A ∩ B = ∅. Ta gọi:

Tích của hai số tự nhiên a và b là một số tự nhiên p, kí hiệu là p = a × b, a.b hoặc ab, trong đó p = Card A(  B)

Quy tắc tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a và b với một số tự nhiên p nói trên ta gọi là phép nhân số tự nhiên

Bổ đề 4: cho ra thấy Card (A ∪ B) và Card (A × B) không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A, B mà CardA = a, CardB = b. Như vậy tích a.b chỉ phụ thuộc vào chính các số a và b. Điều đó chứng tỏ tính đúng đắn của định nghĩa trên.

* Tính chất của phép nhân

1. Tính chất giao hoán

Với mọi số tự nhiên a, b ta có: a.b = b.a

Chứng minh:

Vì AB = BA

Xét ánh xạ: f : A × B → B × A (x, y) ↦ (y, x)

rõ ràng là một song ánh. Vậy A × B ~ B × A hay card(A × B) = card(B × A) suy ra a.b = b.a.

2. Tính chất kết hợp

Trong Toán học hiện đại, tiếp cận theo bản số tính chất kết hợp của phép cộng được suy ra từ tính kết hợp của hợp các tập hợp. Tuy nhiên để phù hợp trình độ nhận thức, trong dạy học nội dung này ở Tiểu học người ta sử dụng con đường quy nạp không hoàn toàn để hình thành cho học sinh. Từ một số kết quả trong những trường hợp cụ thể, khái quát thành công thức

( ) ( )

a b c = a b c

Với mọi số tự nhiên a, b, c ta có: a (b c) = (a b ) c Chứng minh: Vì A(BC) = (AB)C Dễ kiểm tra ánh xạ: ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) : , , , , f A B C A B C x y z x y z   →  

f là một song ánh. Vậy A  (B  C) ~ (A  B)  Chay

( )

( ) C (( ) ).

Card A  B  C = ard A  B  C Suy ra a (b c) = (a b ) c 3. Phần tử trung lập

Với mọi số tự nhiên a ta có: a.1 = 1.a

Nghĩa là, số 1 là phần tử trung lập của phép nhân.

Chứng minh: Vì 1 = Card{x} (ở đây {x} là một tập hợp đơn tử). Mặt khác, với mọi tập hợp A ta có  x ~  A A   x ~ A( chứng minh ở bổ đề 2) hay

 

( ) ( { }) C

Card x  A =Card A  x = ardA. Suy ra a.1 = 1. a = avới mọi số tự nhiên a.

* Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Trong Toán học hiện đại, tiếp cận theo bản số tính chất phân phối giữa phép nhân và phép cộng dựa vào tính chất phân phối giữa tích Đề-các và phép hợp:

( ) ( ) ( )

A B C = A B A C

Tuy nhiên để phù hợp trình độ nhận thức, trong dạy học nội dung này ở Tiểu học người ta sử dụng con đường quy nạp không hoàn toàn để hình thành cho học sinh. Từ một số kết quả trong những trường hợp cụ thể, khái quát thành công thức

( )

a + =  + b c a b a c

Với mọi số tự nhiên a, b, c ta có: ( ) ( ) ; . a b c a b a c b c a b a c a  + =  +  +  =  + 

Chứng minh: Ta biết đến các đẳng thức của lí thuyết tập hợp:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B C A B A C B C A B A C A   =      =   

Từ đó và từ định nghĩa của phép cộng và phép nhân các số tự nhiên suy ra tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

5. Với mọi số tự nhiên a ta luôn có: a =0 0

Chứng minh: Vì A  = nên luôn luôn cóa =0 0 với mọi số tự nhiên a.

* Tính chất tương thích của thứ tự phép nhân

Với mọi số tự nhiên a, b, c ta có: a) Nếu a ≤ b thì a.c ≤ b.c;

b) Nếu a.c = b.c thì a = b (luật giản ước của phép nhân); c) Nếu a.c < b.c thì a < b.

Chứng minh:

a) Giả sử a = CardA b, = CardB c, = CardC. Do C ≠ 0 nên C ≠ ∅. Nếu a = b thì rõ ràng a.c = b.c (theo định nghĩa phép toán nhân).

Nếu a < b thì có thể coiAB A,  B. Khi đó ta cũng có A  CB  Cvà ( A  C)  (B  C).Vậy a.c < b.c

b) Giả sử ta có a.c = b.c nhưng a ≠ b. Khi đó phải có a < b hoặc b < a nhưng từ đó theo a) suy ra a.c < b.c hoặc b.c < a.c, mâu thuẫn. Vậy từ a.c = b.c và c ≠ 0 suy ra a = b.

c) Giả sử ta có a.c < b.c nhưng không sảy ra a < b. Khi đó phải có b ≤ a. nhưng khi đó theo tính chất a) suy ra bc ≤ ac mâu thuẫn với giả thiết. Vậy từ ac < bc suy ra a < b.

* Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ

Với mọi số tự nhiên a, b, c mà c ≤ b ta có: 1) a(b – c) = ab – ac;

2) (b – c)a = ba – ca. Chứng minh:

(1) Theo định nghĩa của phéo trừ ta có:c – + (b c) = b. Từ đó suy ra

( )

–

ac + b c  = a b . Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng ta được:a c +  a (b – c) = a b. Nhưng đẳng thức này chứng tỏ rằng a(b – c)là hiệu của ab và ac:a( – b c) = a b – a c . Đó là điều phải chứng minh.

(2) Đẳng thức 2) suy ra từ đẳng thức 1) và từ tính chất giao hoán của phép nhân.

2.3. Phép chia

2.3.1. Phép chia hết

Cho hai số tự nhiên a, b, b 0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a = .b q thì ta nói a chia hết cho b. Số q gọi là thương của a và b kí hiệu là:

q = : a b

Quy tắc cho tương ứng mỗi cặp số tự nhiên a và b với một số tự nhiên q nói trên gọi là phép chia các số tự nhiên.

a) Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0. b) Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1.

c) Nếu a a1, , 2 , anlà những số tự nhiên chia hết cho b thì

1 1 2 2 n n

a x + a x + +a x cũng chia hết cho b với x x1, 2,xnlà những số tự nhiên tùy ý.

* Số nguyên tố - hợp số

Khái niệm 2.3.1.1: Hợp số là một số tự nhiên có thể biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên khác nhỏ hơn nó. Một định nghĩa khác tương đương: hợp số là số chia hết cho các số khác ngoài 1 và chính nó. Mọi số chẵn lớn hơn 2 đều là hợp số. Mọi hợp số không phải số nguyên tố. Hợp số nhỏ nhất là 4.

Ví dụ: 6 là hợp số vì nó là tích của hai số (2 3) đều nhỏ hơn 6.

Khái niệm 2.3.1.2: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

+ Một số tính chất:

1. Ước tự nhiên khác 1 nhỏ nhất của một số tự nhiên là số nguyên tố. 2. Cho p là số nguyên tố; aN a; 0. Khi đó:

( , ) ( , ) 1 a a p p p a a p p =  =  Œ

3. Nếu tích của nhiều số chia hết cho một số nguyên tố p thì có ít nhất một thừa số chia hết cho p.

4. 2 là số nguyên tố nhỏ nhất cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất 5. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn

Ví dụ: 5 là số nguyên tố bởi vì cách duy nhất để viết nó dưới dạng một tích là

1 5 hoặc 5 1 .

* Ước chung lớn nhất

Khái niệm 2.3.1.3: Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó. Ước chung lớn nhất của 2 số a và

b được kí hiệu là: UCLN(a, b). Ước chung lớn nhất được sử dụng để đưa một phân số về dạng tối giản.

+ Một số tính chất:

1. Mọi ước chung của a và b là ước của UCLN(a, b).

2. UCLN(a, 0) = |a|, với mọi a ≠ 0, vì mọi số khác không bất kỳ là ước của 0, và ước lớn nhất của a là |a|.

3. Nếu a là ước của tích b × c, và UCLN(a, b) = d, thì a d/ là ước của c. 4. Tính chất giao hoán: UCLN a b( , ) = UCLN b a( , ).

5. Tính chất kết hợp :UCLN a( , UCLN b c( , )) = UCLN UCLN a b( ( , ), .c)

+ Các bước tìm ước chung lớn nhất:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ước chung lớn nhất cần tìm.

+ Chú ý: Các số được gọi là số nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1.

* Bội chung nhỏ nhất

Khái niệm 2.3.1.4: Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung. Bội chung nhỏ nhất của 2 số a và b được kí hiệu là: BCNN(a, b).

+ Một số tính chất:

1. Tính chất giao hoán: UCLN a b( , ) = UCLN b a( , ).

2. Tính chất kết hợp :UCLN a( , UCLN b c( , )) = UCLN UCLN a b( ( , ), .c)

3. Mối quan hệ với ước chung lớn nhất: ( , ) . ( , )

a b BCNN a b

UCLN a b

=

4. Trong trường hợp a và b nguyên tố cùng nhau, thì: BCNN(a, b) = a.b

+ Các bước tìm ước chung lớn nhất:

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là bội chung nhỏ nhất cần tìm.

+ Công thức tính BCNN: ( , ) . ( , ) a b BCNN a b UCLN a b = 2.3.2. Phép chia có dư

Khác với trường hợp hiệu, ta không tìm được điều kiện xác định được tồn tại của thương a : b. Tuy nhiên ta có định lí :

Với mọi cặp số tự nhiên a, b trong đó b ≠ 0 bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp số tự nhiên q và r sao cho:a = bq + , 0 r  r  b.