C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1 Ch ứng minh rằng:
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI D ạng 1: Tính chất đường cao trong tam giác cân
Sử dụng tính chất của đường cao vuơng gĩc đối với cạnh đối diện.
Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.
Sử dụng tính chất của tam giác cân.
Ví dụ 1. Cho ABC cân tại A Aˆ90, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H, tia AH cắt BC
tại M . Chứng minh rằng:
a) BD CE; b) MB MC; c) HB HC .
Lời giải
Xét CDB và BEC cĩ CDB BEC 90, DCB EBC, cạnh BC
chung nên CDB BEC (cạnh huyền, gĩc nhọn). Suy ra BD CE.
ABC
cĩ BD CE, là đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm suy ra
AM là đường cao.
ABC
cân tại A, mà AM là đường cao nên AM là đường trung trực. Vậy
MB MC .
ABC
cân tại A; AM là đường trung trực của BC mà H thuộc AM nên
HB HC .
Dạng 2: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Chứng minh các đường đặc biệt trong tam giác thì ba đường thẳng đĩ đồng quy
Ba đường trung tuyến.
Ba đường trung trực.
Ba đường phân giác.
Ba đường cao.
Ví dụ 2. Cho gĩc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OAOB. Kẻ
AC Oy; BD Ox. Đường thẳng vuơng gĩc với Ox kẻ từ A cắt đường thẳng vuơng gĩc với Oy kẻ từ B tại M . Chứng minh OM , AC , BD đồng quy.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Lời giải
Xét AMO và BMO cĩ
OAM OBM 90 (giả thiết);
OAOB (giả thiết);
OM là cạnh chung.
AMO BMO
, suy ra MAMB.
Ta cĩ OAOB, MAMB, suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB do đĩ OM AB.
Xét AOB cĩ AC , BD , OM là ba đường cao nên chúng cùng đi qua một điểm.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE BA. VẽCH vuơng gĩc với BD. Chứng minh BA, DE , CH đồng quy.
Lời giải Xét ABD và EBD cĩ AB EB; Bˆ1 Bˆ2; BD cạnh chung ABD EBD (c.g.c) 90
BED BAD BED
.
Xét BDC cĩ BA, DE, CH là đường coa nên BA, DE, CH đồng quy.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho ABC nhọn cĩ đường cao AE và BD cắt nhau tại H. Biết rằng AH BC . Tính BAC.
Lời giải
ABC
cĩ AE , BD là đường cao nên H là trực tâm. KẻCH cắt AB tại F , suy ra CF AB.
Xét AHD và BCD cĩ
ADH BDC 90 (giả thiết);
AH BC (giả thiết);
HAD CBD (cùng phụ với ACB). . .
AHD BCD g c g
, suy ra DADB. Do đĩ DAB vuơng cân tại D. Suy ra BAC 90.
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB cĩ điểm M nằm giữa. Kẻ từ Mx vuơng gĩc với AB . Trên Mx lấy D, C
sao cho MD AM , MC MB. Chứng minh BC AD.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Xét AMC và DMB cĩ Mˆ1 Mˆ2, MAMD, MC MB nên AMC DMB (c.g.c). Suy ra MAC MDB. Mà MDB MBD 90. Do đĩ MACMBD 90. Vậy BD AC .
Xét ABC cĩ CM AB, BD AC suy ra D là trực tâm. Vậy AD BC .
Cách khác: MAD và MBC vuơng tại M nên MAD MBC 45. Suy ra MADMBC 90, suy ra AD BC .
Bài 3. [Đố] Bốn bạn cùng nhìn vào một hình tam giác và phát biểu nhưng cĩ một bạn khẳng định “trái ý” với ba bạn cịn lại. Đĩ là khẳng định nào?
A. Trực tâm trùng với đỉnh. B. Tổng hai gĩc bằng gĩc cịn lại.
C. Tâm đường trịn ngoại tiếp là trung điểm một cạnh. D. Tam giác cĩ ba gĩc nhọn.
Lời giải
Tổng hai gĩc bằng gĩc cịn lại thì tam giác đĩ vuơng. Tam giác vuơng cĩ trực tâm trùng với đỉnh và tâm đường trịn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.
Vậy khẳng định “trái ý” là khẳng định “Tam giác cĩ ba gĩc nhọn”.
Bài. ƠN TẬP CHƯƠNG III
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM