II. PHẦN TỰ LUẬN
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI D ạng 1: Tính độ dài cạnh của tam giác vuơng
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ AB = 6cm, AC =8cm. a) Tính độ dài cạnh BC .
b) Kẻ AH vuơng gĩc với BC tại H . Biết AH = 4 8, cm. Tính BH CH, .
Lời giải
a) ABC vuơng tại A nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ
2 2 2 2 2 2
6 8 100 100 10 cm.
BC =AB +AC ⇒BC = + = ⇒BC = =
ABH
vuơng tại H nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ
2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 ( , )4 8 12 96, 12 96, 3 6, cm. AB AH BH BH AB AH BH BH = + ⇒ = − ⇒ = − = ⇒ = = Từđĩ tính được HC =BC −BH =10−3 6, =6 4, cm.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ AC =9 cm, BC =15 cm. Trên tia đối của AC lấy điểm
D sao cho AD =5 cm. Tính độ dài các cạnh AB BD, .
Lời giải
ABC
vuơng tại A nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ
2 2 2 2 2 2 BC =AB +AC ⇒AB =BC −AC 2 2 2 15 9 144 144 12 cm AB AB ⇒ = − = ⇒ = = ABD
vuơng tại A nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ
2 2 2 2 2 2 12 5 169 169 13 cm. BD AB AD BD BD = + = + = ⇒ = = ⇒
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC , kẻ AH vuơng gĩc với BC. Tính chu vi tam giác ABC biết
20
AC = cm, AH =12 cm, BH =5 cm.
Lời giải
Đểtính được chu vi ABC, ta cần xác định độ dài của AB BC, . Trong ABH vuơng tại H , ta cĩ
2 2 2 2 2
12 5 144 25 169 13.
AB =AH +BH = + = + = ⇒AB =
Trong ACH vuơng tại H , ta cĩ
2 2 2 2 2 20 12 400 144 256 CH =AC −AH = − = − = 16 5 16 21 cm CH BC BH CH ⇒ = ⇒ = + = + = .
Khi đĩ. chu vi ABC được tính bởi
13 21 20 54
ABC
CV =AB BC+ +AC = + + = cm.
Ví dụ 4. Hai đoạn thẳng AC BD, vuơng gĩc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn thẳng. Tính độ dài AB BC CD DA, , , biết AC =12 cm, BD =16 cm.
Lời giải
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Khi đĩ AI =CI = 6 cm,
8
BI =DI = cm, AIB =BIC =CID =DIA=90°. Ta cĩ ABI =CBI =CDI =ADI (c.g.c).
AB BC CD AD ⇒ = = = (các cạnh tương ứng). Áp dụng định lí Py - ta - go, ta cĩ 2 2 2 2 2 6 8 100 10 cm. AB =AI +BI = + = ⇒AB = Vậy AB =BC =CD =DA=10 cm.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Nếu một tam giác được cho với độ dài 3 cạnh của nĩ thì sử dụng định lý Py-ta-go đảo để kết luận tam giác vuơng.
Cụ thể kiểm tra bình phương của độ dài cạnh lớn nhất so với tổng bình phương của hai cạnh cịn lại.
Ví dụ 5. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuơng trong các tam giác cĩ độ dài sau: a) 4 cm, 7cm, 6cm; b) 6cm, 10cm, 8cm.
Lời giải
a) Ta cĩ 42 +62 = 52≠ 49 =72 nên tam giác này khơng phải là tam giác vuơng. c) Ta cĩ 62 +82 =100=102 nên tam giác này là tam giác vuơng.
Ví dụ 6. Kiểm tra xem tam giác nào là tam giác vuơng trong các tam giác cĩ độ dài sau: a) 20 cm, 12 cm, 16 cm; b) 6 cm, 11 cm, 9 cm.
Lời giải
a) Ta cĩ 2 2 2
12 +16 =400 = 20 nên tam giác này vuơng. b) Ta cĩ 62 +92 =117 ≠112 nên tam giác khơng vuơng.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC vuơng tại A, cĩ AB = 6 cm, AC =8 cm. D là một điểm sao cho
16
BD = cm, CD = 24 cm. Chứng minh CBD khơng thể là tam giác vuơng.
Lời giải
Tam giác ABC vuơng tại A nên theo định lý Pi-ta-go ta cĩ
2 2 2 2 2
6 8 100 100 10 cm
BC =AB +AC = + = ⇒BC = =
Tam giác CBD khơng thể là tam giác vuơng vì 242 ≠102 +162.
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC , đường cao AH. Biết AH = 6 cm, 4 5,
BH = cm, HC =8 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải
Tam giác ABH vuơng tại H nên theo định lý Py-ta-go ta cĩ
2 2 2 2 2 225 225
6 4 5 7 5
4 4 cm
( , ) , .
AB =AH +BH = + = ⇒AB = = Tam giác ACH vuơng tại H nên theo định lý Py-ta-go ta cĩ
2 2 2 2 2 2 6 8 100 100 10 cm. AC AH HC AC AC = + = + = ⇒ = =
Tam giác ABC cĩ 2 2 7 5 2 102 625 12 52 2 4
( , ) ( , )
AB +AC = + = = =BC . Do đĩ ABC vuơng tại A.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC , AB =13 cm, AC =15 cm. Kẻ AD ⊥BC D( ∈BC). Biết BD =5
cm. Tính CD.
Lời giải
Tam giác ABD vuơng tại D nên
2 2 2 2 2
13 5 144 12 cm.
AD =AB −BD = − = ⇒AD =
Tam giác ACD vuơng tại D nên
2 2 2 2 2
15 12 81 9 cm.
CD =AC −AD = − = ⇒CD =
Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng cạnh huyền AB = 117 cm, BC =6 cm. Gọi K là trung điểm của
AC . Tính độ dài BK.
Lời giải
Tam giác ABC cĩ cạnh huyền AB nên ABC vuơng tại C . Do đĩ
2 2 2 9
117 36 81 9
2 cm.
AC =AB −BC = − = ⇒AC = ⇒CK = Tam giác BCK vuơng tại C nên
2 2 2 81 225
36 7 5
4 4 , cm.
BK =BC +CK = + = ⇒BK =
Bài 3. Cho tam giác ABC , đường cao AH. Biết AC =15 cm, AH =12 cm, BH =9 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?
Lời giải
Tam giác ABH vuơng tại H nên theo định lí Py-ta-go ta cĩ
2 2 2 2 2
12 9 225 15 cm.
AB =AH +BH = + = ⇒AB =
Do đĩ AB =AC nên ABC cân tại A.
Bài 4. Cho tam giác đều MPQ cĩ điểm O nằm bên trong của tam giác đĩ thỏa mãn OM2 =OP2 +OQ2. Tính sốđo POQ.
Lời giải
Vẽtam giác đều OPR.
Cĩ MPO OPQ + =60° và RPQ OPQ + = 60° nên MPO =RPQ.
Xét PMO và PQR, cĩ
PO =PR (tam giác đều OPR)
PM =PQ (tam giác đều MPQ)
MPO =RPQ (chứng minh trên)
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC ứng).
Khi đĩ OM2 =OP2 +OQ2 ⇒QR2 =OR2 +OQ2. Theo định lý Py-ta-go đảo OQR vuơng tại O. Do đĩ POQ =POR ROQ+ = 60° +90° =150°.
Bài 8. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUƠNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM