D. Khơng cĩ tam giác cân nào trong hình vẽ trên.
Bài 3 QUAN HỆ GIỮA BAC ẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC B ẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờcũng lớn hơn hiệu và nhỏhơn tổng các độ dài của hai cạnh cịn lại.
Trong tam giác ABC, ta cĩ ABAC BC AB AC .
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Nhận biết ba độ dài cĩ tạo thành một tam giác hay khơng?
Sử dụng bất đẳng thức tam giác:
Hiệu của hai cạnh bất kì (cạnh cĩ độ dài lớn trừ cạnh cĩ độ dài nhỏ) bao giờcũng nhỏ hơn cạnh thứ ba.
Độ dài một cạnh bao giờcũng nhỏhơn tổng hai cạnh cịn lại.
Lưu ý: ta chỉ cần kiểm tra một trường hợp bằng cách so sánh độ dài cạnh lớn nhất với tổng độ dài hai cạnh cịn lại.
Ví dụ 1. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộba đoạn thẳng cĩ độdài cho sau đây cĩ thể tạo thành một tam giác hay khơng?
a) 3 cm, 4 cm, 6 cm. b) 2 m, 4 m, 8 m. c) 1cm, 3 cm, 4 cm.
Lời giải
a) Ta cĩ 6< +3 4 nên bộba đoạn thẳng này cĩ thể là ba cạnh của một tam giác. b) Khơng vì 8 > +2 4.
c) Khơng vì 4 = +1 3.
Ví dụ 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng cĩ độ dài cho sau đây khơng thể là ba cạnh của một tam giác.
a) 3 cm, 3 cm, 7 cm. b) 6 m, 10 m, 8 m. c) 2 m, 6 m, 8 m.
Lời giải
a) Khơng vì 7 > +3 3.
b) Ta cĩ 10 < +6 8 nên bộba đoạn thẳng này cĩ thể là ba cạnh của một tam giác. c) Khơng vì 8 = +6 2.
Dạng 2: Tìm độ dài cạnh của một tam giác khi biết độ dài hai cạnh cịn lại
Dựa vào bất đẳng thức tam giác và điều kiện của đề bài để xác định độ dài cạnh cần tính thỏa mãn những giá trị nào.
Ví dụ 3. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7 cm và 2 cm. Tính độ dài cạnh cịn lại biết rằng sốđo của cạnh đĩ theo cm là một số tự nhiên lẻ.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Lời giải
Giả sử ABC cĩ AB =7 cm, AC = 2 cm.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ AB AC− <BC <AB AC+ . Suy ra 5<BC <9. Mà BC cĩ độ dài theo cm là một số tự nhiên lẻ. Do đĩ, BC = 7 cm.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cĩ AB =4 cm, AC =1 cm. Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng độ dài này là một số nguyên (cm).
Lời giải
Ta cĩ AB = 4 cm, AC =1 cm.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ AB AC− <BC <AB AC+ . Suy ra 3<BC <5. Mà BC cĩ độ dài theo cm là một số nguyên. Do đĩ, BC = 4 cm.
Dạng 3: Tính chu vi tam giác cân
Vận dụng bất đẳng thức tam giác và tính chất của tam giác cân để xác định độ dài của cạnh bên hoặc cạnh đáy.
Trong tam giác cân:
Hai cạnh bên bằng nhau;
Hai gĩc ởđáy bằng nhau.
Ví dụ 5. Tính chu vi của tam giác cân cĩ hai cạnh bằng 4 m và 8 m.
Lời giải
Giả sử ABC cĩ AB =4 m, AC =8 m.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ |AB AC− |<BC <AB AC+ . Do đĩ, 4<BC <12.
Mà ABC cân nên suy ra BC =8 m. Vậy chu vi tam giác ABC là 20 m.
Ví dụ 6. Tính chu vi của một tam giác cân cĩ hai cạnh bằng 3 cm và 7 cm.
Lời giải
Giả sử ABC cĩ AB = 3 cm, AC =7 cm.
Theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ |AB AC− |<BC <AB AC+ . Do đĩ, 4<BC <10.
Mà ABC cân nên suy ra BC =7 cm. Vậy chu vi tam giác ABC là 17 cm.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Dạng 4: Chứng minh các bất đẳng thức tam giác vềđộ dài
Sử dụng bất đẳng thức tam giác và biến đổi về bất đẳng thức cần chứng minh.
a) Cộng cùng một số vào hai vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
a b a c b c.
b) Cộng cùng vế hai bất đẳng thức cùng chiều, ta được một bất đẳng thức cùng chiều.
a b a c b d c d
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy điểm M . a) So sánh MA với AB BM+ .
b) Chứng minh rằng MA MC+ <BA BC+ .
c) Lấy điểm D thuộc cạnh AM . Chứng minh rằng DA DC+ <MA MC+ , từ đĩ suy ra
DA DC+ <BA BC+ .
Lời giải
a) Xét tam giác BAM , theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ .
MA AB BM< +
b) Từ câu a) ta suy ra MA MC+ <AB BM+ +MC. Do đĩ,
MA MC+ <BA BC+ .
c) Tương tự câu a), ta cĩ DC <MD MC+ . Từ đĩ, suy ra
DA DC+ <MA MC+ .
Kết hợp với câu b), ta cĩ DA DC+ <BA BC+ .
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC , trên cạnh AC lấy điểm N. a) So sánh NB với NC CB+ .
b) Chứng minh rằng NA NB CA CB+ < + .
c) Trên tia đối của tia CB lấy một điểm E bất kì. Chứng minh rằng CA CB+ <EA EB+ , từđĩ suy ra
NA NB+ <EA EB+ .
Lời giải
a) Xét tam giác BNC , theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ .
NB <BC CN+
b) Từ câu a) ta suy ra NB NA BC CN+ < + +NA. Do đĩ,
NB NA CA CB+ < + .
c) Tương tự câu a), ta cĩ CA CE EA< + .Từ đĩ, suy ra
CA CB+ <EA EB+ .
Kết hợp với câu b), ta cĩ NA NB+ <EA EB+ .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC a) So sánh AD với AB BD+ .
b) Chứng minh rằng 2AD <AB AC+ +BC.
c) Chứng minh rằng AD nhỏhơn nửa chu vi tam giác ABC .
Lời giải
a) Xét ABD, theo bất đẳng thức tam giác cĩ AD <AB BD+ (1) Tương tự câu a), ta cĩ AD <AC CD+ (2) Từ (1) và (2), ta suy ra 2AD <AB AC+ +BC.Từ câu b) suy ra
2
AB AC BC
AD + +
< .
Vậy AD nhỏhơn nửa chu vi tam giác ABC .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . a) So sánh AB với MA MB+ .
b) Chứng minh rằng AB AC+ +BC <2(MA MB MC+ + ).
c) Chứng minh rằng MA MB MC+ + lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC .
Lời giải
a) Xét ABM , theo bất đẳng thức tam giác ta cĩ .
AB <MA MB+ (1)
b) Tương tự câu a), ta cĩ
. AC <MA MC+ (2) . BC <MB MC+ (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra 2( ). AB AC+ +BC < MA MB MC+ + c) Từ câu b), suy ra 2 AB AC+ +BC <MA MB MC+ + . Vậy MA MB MC+ + lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Bài 2. Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba đoạn thẳng cĩ độdài cho sau đây cĩ thể tạo thành một tam giác hay khơng?
a) 5 dm, 7 dm, 8 dm. b) 4 m, 10 m, 4 m. c) 3 cm, 4 cm, 7 cm.
Lời giải
a) Ta cĩ 8< +5 7 nên bộ ba này cĩ thể là ba cạnh của một tam giác. b) Khơng vì 10 > +4 4.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 3. Cho tam giác MNP cĩ MN =2 cm, MP =5 cm. Hãy tìm độ dài cạnh NP biết rằng độ dài này là một số nguyên tố (theo cm).
Lời giải
Theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ MP MN− <NP <MP MN+ . Suy ra 3<NP <7. Mà NP cĩ độ dài là một số nguyên tố. Do đĩ, NP =5 cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân cĩ AB =5 cm, AC =11 cm. Hãy tính chu vi tam giác ABC .
Lời giải
Theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ |AC −AB |<BC <AC +AB. Do đĩ, 6<BC <16.
Mà ABC cân nên suy ra BC =11 cm. Vậy chu vi tam giác ABC là 27 cm.
Bài 5. Cho tam giác ABC và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi I là giao điểm của đường thẳng
BM và cạnh AC . a) So sánh MA với MI +IA. b) Chứng minh rằng MA MB+ <IB IA+ . c) Chứng minh rằng IB IA CA CB+ < + . d) Chứng minh rằng MA MB CA CB+ < + . Lời giải
a) Xét AMI , theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ MA MI< +IA. b) Từ câu a), suy raMA MB+ <MI +IA MB+ .
Do đĩ, MA MB+ <IA IB+ .
c) Xét IBC, theo bất đẳng thức tam giác, ta cĩ IB <BC CI+ .Do đĩ, IA IB CA CB+ < + .
d) Từ câu a) kết hợp câu b) ta được MA MB CA CB+ < +
Bài 6. Cho điểm K nằm trong tam giác ABC . Gọi M là giao điểm của tia AK với cạnh BC. a) Chứng minh rằng KA KB+ <MA MB CA CB+ < + .
b) So sánh KB KC+ với AB AC+ .
c) Chứng minh rằng KA KB KC+ + nhỏ hơn chu vi tam giác
ABC .
Lời giải
a) Chứng minh tương tự bài tập 5 ta được
.
KA KB+ <MA MB CA CB+ < + b) Gọi N là giao điểm của tia BK với AC . Tương tự câu a), ta cĩ
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC .
KB KC+ <NB NC+ <AB AC+
Do đĩ, KB KC+ <AB AC+ . (1) c) Gọi P là giao điểm của tia CK với AB.
Ta cĩ, KA KC+ <PA PC+ <BA BC+ .
Do đĩ, KA KC+ <BA BC+ . (2) Từ câu a), suy ra KA KB CA CB+ < + . (3) Từ (1), (2) và (3), ta thấy
2(KA KB KC+ + )< 2(AB AC+ +BC).
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM