II. PHẦN TỰ LUẬN
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI D ạng 1: Chứng minh hai tam giác vuơng bằng nhau
Bước 1: Xét hai tam giác vuơng (chỉ rõ gĩc vuơng).
Bước 2: Kiểm tra hai điều kiện bằng nhau của hai tam giác vuơng.
Bước 3: Kết luận hai tam giác bằng nhau theo đúng thứ tựđỉnh.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm cạnh BC . Kẻ DE ⊥AB, DF ⊥AC . Chứng minh:
a) DEB =DFC ; b) AED =AFD; c) AD là phân giác gĩc BAC .
Lời giải
a) Xét DEB và DFC , ta cĩ
DB =DC (D là trung điểm của BC )
EBD =FCD (ABC cân tại A)
BED CFD = =90° Do đĩ DEB =DFC (ch-gn). b) Xét AED và AFD, cĩ AED =AFD =90° DE =DF (DEB =DFC ) AD là cạnh chung Do đĩ AED =AFD (ch-cgv).
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC c) Do AED =AFD nên EAD =FAD, từđĩ AD là tia phân giác của gĩc A.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy D E, (D nằm giữa B và E ) sao cho
BD CE= . Vẽ DM ⊥AB tại M , EN ⊥AC tại N . Gọi K là giao điểm của MD và NE. Chứng minh:
a) MBD =NCE; b) MAK =NAK.
Lời giải
a) Xét MBD và NCE, ta cĩ
BD CE= (giả thiết)
ECN =MBD (ABC cân tại A)
90
DMB CNE= = °
Do đĩ MBD =NCE (ch-gn)
b) Từ câu a) suy ra CN =BM mà AB =AC (ABC cân tại A) nên AN =AM. Xét MAK và NAK, cĩ
ANK =KMA = 90°
AK là cạnh chung
AN =AM (chứng minh trên) Do đĩ MAK =NAK (ch-cgv).
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D E, sao cho
2
BC BD CE= < . Đường thẳng kẻ từ D, vuơng gĩc với BC cắt AB tại M , đường thẳng kẻ từ E , vuơng gĩc với BC cắt
AC tại N . Chứng minh:
a) DBM =ECN ; b) DME =END; c) Tam giác ADE cân.
Lời giải
a) Xét BDM và CEN , cĩ
MDB CEN = =90°
BD CE= (giả thiết)
DBM =NCE (ABC cân tại A)
Do đĩ DBM =ECN (cgv-gn) b) Xét DME và END, cĩ EDM =NED =90° MD =NE (do DBM =ECN ) DE là cạnh chung Do đĩ DME =END (2 cgv). Xét ABD và ACE, cĩ
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
AB =AC (ACB cân tại A)
DBA ACE = (ABC cân tại A)
BD CE= (giả thiết)
Do đĩ ABD =ACE (c-g-c) nên ta cĩ AD =AE. Từđĩ suy ra ADE cân tại A.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuơng cân tại đỉnh A. Qua A kẻđường thẳng d cắt BC. Vẽ BM, CN
vuơng gĩc với d. Chứng minh BAM =ACN .
Lời giải
Ta cĩ MAB CAN + = 90° và NCA CAN + = 90° nên MAB =NCA (cùng phụ với CAN).
Xét BAM và ACN, cĩ
BMA ANC = = 90°
AB =AC (ABC vuơng cân tại A)
MAB =NCA (chứng minh trên)
Do đĩ BAM =ACN (ch-gn).
Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, hai gĩc bằng nhau
Ví dụ 5. Cho gĩc nhọn xOy, lấy điểm A thuộc Ox, điểm B thuộc Oy sao cho OA OB= . Vẽ AC
vuơng gĩc với Oy C( ∈Oy), BD vuơng gĩc với Ox D Ox( ∈ ). a) Chứng minh AC =BD.
b) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh OI là phân giác xOy.
Lời giải Xét AOC và BOD cĩ: OA OB= (giả thiết) OCA ODB = =90° Oˆ là gĩc chung AOC BOD ⇒ = (ch-gn). AC BD ⇒ = (hai cạnh tương ứng). b) Xét ODI và OCI , ta cĩ ODI =OCI = 90° OI là cạnh chung OC =OD (AOC =BOD)
Do đĩ ODI =OCI (ch-cgv). Suy ra DOI =COI (cặp gĩc tương ứng).
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Câu 6. Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC. Vẽ BI, CK vuơng gĩc với AM . Chứng minh
BI =CK. Lời giải Xét BIM và CKM , cĩ MB =MC (M là trung điểm của BC ) BIM =CKM =90° IMB =KMC (đối đỉnh) Do đĩ BIM =CKM (ch-gn). Từđĩ suy ra BI =CK (cặp cạnh tương ứng). C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC . Vẽ AH ⊥BC H( ∈BC). Trên nửa mặt phẳng bờ AH chứa điểm B dựng
AD ⊥AB sao cho AD =AB. Trên nửa mặt phẳng cịn lại dựng AE ⊥AC sao cho AE =AC . Nối
D và E, AH cắt DE tại M . DK EL, lần lượt vuơng gĩc với HM tại K và L. Chứng minh: a) HA DK= ; HA EL= ; b) M là trung điểm đoạn thẳng DE.
Lời giải
a) Ta cĩ ADK +KAD =90° và BAH +KAD =90°. Do đĩ ADK =BAH .
Xét DAK và ABH , cĩ
AD =AB (giả thiết)
ADK =BAH (chứng minh trên)
DKA AHB = =90°
Do đĩ DAK =ABH (ch-gn). Suy ra AH =DK (cặp cạnh tương ứng).
Chứng minh tương tự AEL =CAH (ch-gn). Suy ra AH =EL (cặp cạnh tương ứng).
b) Từ câu a) suy ra DK =EL. Do DK EL (cùng vuơng gĩc với MH) nên MDK =LEM (so le
trong).
Xét DKM và ELM , cĩ
MKD =MLE =90°
DK =EL (chứng minh trên)
MDK =LEM (chứng minh trên)
Do đĩ DKM =ELM (cgv-gn). Từđĩ suy ra MD =ME (cặp cạnh tương ứng). Vậy M là trung điểm của DE .
Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A AB( <AC). Vẽ AH vuơng gĩc BC H( ∈BC), D là điểm trên cạnh AC sao cho AD =AB. Vẽ DE ⊥BC E( ∈BC). DK ⊥AH tại K. Chứng minh:
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC a) AH =DK ; b) Tam giác AHE vuơng cân.
Lời giải
a) Ta cĩ BAH +DAK =90° và ADK +DAK = 90° nên
BAH =ADK.
Xét ABH và DAK, cĩ
AHB =AKD =90°
AB =AD (giả thiết)
BAH =ADK (chứng minh trên)
Do đĩ ABH =DAK (cgv-gn). Suy ra AH =DK (cặp cạnh tương ứng). b) Xét KDE và EHK, cĩ
DKE =HEK (DK EH )
DEK =HKE (DE AH )
EK là cạnh chung
Do đĩ KDE =EHK (c-g-c). Suy ra HE =DK (cặp cạnh tương ứng). Kết hợp câu a) ta được AHE
vuơng cân tại H .
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A A(ˆ <90°), vẽ BD ⊥AC tại D, CE ⊥AB tại E . Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh:
a) DBA =ECA; b) EBC =DCB; c) EAM =DAM.
Lời giải a) Xét DBA và ECA, cĩ AB =AC (ABC cân tại A) ADB CEA = =90° BAC là gĩc chung Do đĩ DBA =ECA (ch-gn). b) Xét EBC và DCB, cĩ BEC =BDC =90° BC là cạnh chung
CBE =DCB (ABC cân tại A)
Do đĩ EBC =DCB (ch-gn).
c) Do DBA=ECA (cmt) nên AE =AD (cặp cạnh tương ứng). Lại cĩ AM là cạnh chung nên hai tam giác vuơng EAM và DAM bằng nhau (ch-cgv).
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD CE= . Kẻ BH ⊥AD tại H , CK ⊥AE tại K. Chứng minh:
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC a) BHD =CKE; b) AHB =AKC ; c) BC HK .
Lời giải
a) Cĩ ABC =ACB (ABC cân tại A) nên ABD =ACE.
Xét ABD và ACE, cĩ
AB =AC (ABC cân tại A)
BD CE= (giả thiết)
ABD =ACE (chứng minh trên)
Nên ABD =ACE (c-g-c), suy ra Dˆ =Eˆ (cặp gĩc tương ứng). b) Xét NHD và CKE, cĩ
BD CE= (giả thiết)
Dˆ =Eˆ (chứng minh trên)
BHD CKE = = 90° Do đĩ BHD =CKE (ch-cgv).
Từ BHD =CKE (câu a)) suy ra BH =CK (cặp cạnh tương ứng). Xét AHB và AKC, cĩ 90 BHA AKC= = ° AB =AC (ABC cân tại A) BH =CK (chứng minh trên) Do đĩ AHB =AKC (ch-cgv).
c) Từ ABD =ACE (chứng minh trên) suy ra AD =AE hay ADE cân tại A. Do đĩ,
180 2 DAE ADE ° − = . (1)
Từ AHB =AKC (chứng minh trên) suy ra AH =AK hay AHK cân tại A. Do đĩ,
180 2 HAK AHK ° − = . (2)
Từ ( )1 và ( )2 suy ra ADE =AHK mà hai gĩc này ở vịtrí đồng vị nên BC HK .
Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường thẳng vuơng gĩc với AB tại B cắt đường thẳng vuơng gĩc với AC tại C ở D. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh:
a) DAB =DAC ; b) Tam giác DBC cân; c) A M D, , thẳng hàng.
Lời giải
a) Xét DAB và DAC, cĩ
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
AB =AC (ABC cân tại A)
AD là cạnh chung Do đĩ DAB =DAC (ch-cgv).
b) Từ DAB =DAC (chứng minh trên), suy ra DB =DC hay DBC cân tại D.
c) Dễ thấy ABM =ACM (c-c-c) nên AMB =AMC mà hai gĩc này ở vị trí kề bù nên
180
2
AMB =AMC = ° .
Chứng minh tương tự BMD CMD = = 90°. Hay ta cĩ AM và DM cùng vuơng gĩc với BC nên , ,
A M D thẳng hàng.
Bài 6. Cho tam giác BAC vuơng cân tại A, M là trung điểm cạnh BC, E là điểm nằm giữa M và C
. Vẽ BH ⊥AE tại H , CK ⊥AE tại K. Chứng minh:
a) BH =AK; b) MBH =MAK ; c) Tam giác MHK là tam giác vuơng cân.
Lời giải
a) Ta cĩ BAH +KAC =90° và ACK +KAC =90° nên
BAH =ACK .
Xét ABH và CKA, cĩ
90
AHB CKA= = °
AB =AC (ABC vuơng cân tại A)
BAH =ACK (chứng minh trên)
Do đĩ ABH =CKA (ch-gn). Từđĩ suy ra BH =AK (cặp cạnh tương ứng).
b) Dễ thấy AMB =AMC (c-c-c) ⇒AMB =AMC mà hai gĩc này ở vị trí kề bù nên
180
2
AMB AMC
°
= = .
Vì ABC vuơng cân tại A nên ABC =ACB = 45°. Do đĩ ABM vuơng cân tại M ⇒MA MB= . Ta cĩ MBH +BEA=90° và MAK +BEA=90° nên MBH =MAK.
Xét MBH và MAK, cĩ
MA MB= (chứng minh trên)
MBH =MAK (chứng minh trên)
BH =AK (do câu a)) Do đĩ MBH =MAK (c-g-c).
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta cĩ BHM +MHK =90°. Kết hợp với ( )2 suy ra MHK +MKH =90°.
Do đĩ HMK =90°, kết hợp ( )1 ta được MHK vuơng cân tại M .
Bài. ƠN TẬP CHƯƠNG II
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. PHẦN TRẮC NGHIỆM I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho tam giác MHK vuơng tại H , ta cĩ:
A. M K 90 B. M K 180
C. M K 90 D. M K 90
Câu 2: Cho ABC MNP. Trong các khẳng định sau đây khẳng định nào sai?
A. B N B. BC MP C. P C D. BC PN
Câu 3: Ở hình vẽ bên, sốđo gĩc DCx bằng:
A. 60 B. 70
C. 75 D. 50
Câu 4: Cho PQR DEF trong đĩ PQ 4cm QR; 6cm PR; 5cm. Chu vi tam giác DEF
là:
A. 14cm B. 17cm C. 16cm D. 15cm
Câu 5: Tìm x biết:
A. 6 B. 10 C. 20 D. 20
Câu 6: Cho tam giác ABC cĩ gĩc ACx là gĩc ngồi tại đỉnh C của tam giác ABC . Khi đĩ:
A. ACx B B. ACx AB