D. Khơng cĩ tam giác cân nào trong hình vẽ trên.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI D ạng 1: So sánh hai hình chiếu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn cĩ AB >AC . Kẻ AH vuơng gĩc với BC tại H . Hãy so sánh độ dài HB và HC .
Lời giải
Dễ thấy HB, HC lần lượt là hình chiếu của AB, AC lên đường thẳng BC, mà AB >AC .
Do đĩ HB > HC .
Câu 2. Tam giác GHK vuơng tại H cĩ HG <HK. Kẻ HI vuơng gĩc với
GK tại I . Hãy so sánh độ dài IG và IK .
Lời giải
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
HG <HK . Do đĩ IG <IK.
Dạng 2: so sánh hai đường xiên
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D, E sao cho AD <AE. a) So sánh độ dài BD và BE.
b) Sắp xếp các đoạn thẳng BC, BD, BE theo thứ tựcĩ độ dài giảm dần.
Lời giải
a) Vì AD < AE
Mà AD, AE lần lượt là hình chiếu của BD, BE lên đường thẳng AC . Do đĩ, BD < BE.
b) Dễ thấy AE <AC . Mà AE, AC lần lượt là hình chiếu của BE,
BC lên đường thẳng AC . Do đĩ BE < BC.
Vậy BD <BE <BC.
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Trên tia đối của các tia BA và tia CA lấy các điểm P, Q. a) So sánh CP và PQ. b) Chứng minh BC <PQ.
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ AC <AQ.
Mà AC , AQ lần lượt là hình chiếu của PC , PQ lên đường thẳng AQ. Do đĩ, PC <PQ.
b) Ta cĩ AB <AP. Mà AB , AP lần lượt là hình chiếu của BC, PC lên đường thẳng AP.
Do đĩ BC <PC .
Kết hợp ý trên, ta suy ra BC <PQ.
Dạng 3: quan hệ giữa đường vuơng gĩc và đường xiên
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC , điểm E nằm giữa B và C (AE khơng vuơng gĩc với BC ). Gọi H và
K là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ B và C đến đường thẳng AE.
a) So sánh BH và BE. b) Chứng minh
BC >BH CK+ .
Lời giải
a) Dễ thấy BH là đường vuơng gĩc, BE là đường xiên kẻ từđiểm B
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC b) Ta thấy CK là đường vuơng gĩc, CE là đường xiên kẻ từ điểm C đến đường thẳng AK. Do đĩ
CE >CK.
Vậy BE EC+ >BH CK+ hay BC >BH CK+ .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác DEF vuơng tại D. Trên tia đối của tia ED lấy điểm P , Q sao cho EP <EQ. a) So sánh độ dài FP và FQ.
b) Sắp xếp các đoạn thẳng FE, FP, FQ theo thứ tựcĩ độdài tăng dần.
Lời giải
a) Vì EP < EQ nên DP < DQ.
Mà DP , DQ lần lượt là hình chiếu của FP, FQ lên đường thẳng DQ
. Do đĩ FP < FQ. b) Dễ thấy DE <DP. Mà DE, DP lần lượt là hình chiếu của FE , FP lên đường thẳng DP. Do đĩ FE < FP. Vậy FE <FP <FQ.
Bài 2. Cho tam giác MNP vuơng tại M . Trên tia đối của tia NM lấy điểm D. a) So sánh PN và PD.
b) Lấy điểm E trên cạnh MP. Chứng minh EN < PD.
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ MN <MD.
Mà MN , MD lần lượt là hình chiếu của PN, PD lên đường thẳng MD. Do đĩ, PN <PD.
b) Ta cĩ ME <MP. Mà ME, MP lần lượt là hình chiếu của EN, PN
lên đường thẳng MP. Do đĩ EN <PN .
Kết hợp ý trên, ta suy ra EN <PD.
Bài 3. Tam giác nhọn ABC cĩ B Cˆ > ˆ. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC . a) So sánh HB và HC .
b) Lấy điểm E trên cạnh AH. Chứng minh EB < EC .
Lời giải
a) Xét tam giác ABC cĩ B Cˆ > ˆ nên AC >AB. Mà HB, HC
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
HB <HC .
b) Từ ý trên và HB, HC lần lượt là hình chiếu của EB, EC lên đường thẳng BC nên ta cĩ
EB <EC .
Bài 4. Tam giác DEF cĩ DE >DF . Qua D kẽđường thẳng vuơng gĩc với EF và cắt EF tại K. a) So sánh KE và KF.
b) Trên tia đối của tia DK lấy điểm H . Chứng minh HE >HF .
Lời giải
a) Theo giả thiết DE >DF. Mà KE , KF lần lượt là hình chiếu của
DE, DF lên đường thẳng EF. Do đĩ KE >KF.
b) Ta cĩ KE, KF lần lượt là hình chiếu của HE, HF lên đường thẳng EF . Mà KE >KF (Chứng minh trên). Vậy HE >HF .
Bài 5. Cho tam giác nhọn MNP. Vẽ MD vuơng gĩc với NP (
D NP∈ ), vẽ NE vuơng gĩc với MP (E ∈MP).
a) So sánh MN và MD. b) Chứng minh 2MN >MD NE+ .
Lời giải
a) Dễ thấy MD là đường vuơng gĩc, MN là đường xiên kẻ từđiểm M
đến đường thẳng NP. Do đĩ, MN >MD.
b) Ta thấy NE là đường vuơng gĩc, MN là đường xiên kẻ từđiểm N
đến đường thẳng MP. Do đĩ MN >NE.
Vậy MN +MN >MD NE+ hay 2MN >MD NE+ .
Bài 6. Tam giác ABC cĩ AB = 3 cm, AC = 5 cm. Kẻ AH vuơng gĩc với BC tại H . Hãy so sánh độ dài HB và HC .
Lời giải
Từ giả thiết, ta cĩ AB <AC .
Mà HB , HC lần lượt là hình chiếu của AB, AC lên đường thẳng
BC.
Do đĩ, HB <HC .
Bài 7. Cho tam giác MNP vuơng tại M cĩ MN =6 cm. Trên tia
MN lấy các điểm D, E sao cho MD = 3 cm, ME =8 cm. a) So sánh độ dài PD và PE.
b) Sắp xếp các đoạn thẳng PD, PE , PN theo thứ tựcĩ độdài tăng dần.
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ MD <ME .
Mà MD, ME lần lượt là hình chiếu của PD, PE lên đường thẳng ME. Do đĩ, PD <PE.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC chiếu của PD, PN , PE lên đường thẳng ME.
Vậy PD <PN <PE.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Lấy các điếm M , N trên các cạnh AB, AC . a) So sánh MN và MC. b) Chứng minh MN <BC.
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ AN <AC .
Mà AN , AC lần lượt là hình chiếu của MN , MC lên đường thẳng AC . Do đĩ, MN <MC.
b) Ta cĩ AM <AB. Mà AM, AB lần lượt là hình chiếu của MC, BC lên đường thẳng AB.
Do đĩ MC <BC.
Kết hợp ý trên, ta suy ra MC <BC .
Bài 9. Tam giác ABC cĩ AB <AC . Vẽ AD vuơng gĩc với BC (D BC∈ ) a) So sánh DB và DC .
b) Qua B kẻđường thẳng bất kì cắt AD tại G , nối GC . Chứng minh GB GC< .
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ AB <AC .
Mà DB, DC lần lượt là hình chiếu của AB, AC lên đường thẳng
BC.
Do đĩ, DB <DC .
b) Từ ý trên, DB <DC . Mà DB, DC lần lượt là hình chiếu của
GB, GC lên đường thẳng BC. Vậy GB GC< .
Bài 10. Cho tam giác ABC . Gọi H là chân đường vuơng gĩc kẻ từ A đến BC
a) So sánh HB và AB.
b) Chứng minh BC <AB AC+ .
Lời giải
a) Dễ thấy HB là đường vuơng gĩc, AB là đường xiên kẻ từđiểm
B đến đường thẳng AH. Do đĩ, HB <AB.
b) Ta thấy HC là đường vuơng gĩc, AC là đường xiên kẻ từđiểm
C đến đường thẳng AH. Do đĩ HC <AC . Vậy HB HC+ <AB AC+ hay BC <AB AC+ .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC