D. Khơng cĩ tam giác cân nào trong hình vẽ trên.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI D ạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau
Ví dụ 1. Cho gĩc xOy nhọn. Từ một điểm M trên tia phân giác của gĩc O, kẻcác đường vuơng gĩc
MA, MB đến hai cạnh của gĩc này.
a) So sánh MA và MB. b) Chứng minh OA OB= .
Lời giải
a) Với bài tốn này ta hồn tồn cĩ thể thực hiện một trong hai các chứng minh sau
Cách 1: Xét xOy cĩ Oz là tia phân giác. Ta cĩ M ∈Oz và A, B lần lượt
là hình chiếu của M lên OA và OB nên MA MB= (định lý thuận).
Cách 2: Xét OAM vuơng tại A và OBM vuơng tại B cĩ + OM là cạnh chung.
+ AOM =BOM (OM là tia phân giác của xOy).
Vậy AOM =BOM (cạnh huyền - gĩc nhọn) nên MA MB= (do hai cạnh tương ứng).
b) Ta cũng thể thực hiện tương tự cách 2 để cĩ AOM =BOM (cạnh huyền - gĩc nhọn) và từđĩ suy ra OA OB= . Ngồi ra ta cũng cĩ thể sử dụng ý vừa cĩ được từcâu b để sử dụng định lí Py-ta-go.
Ví dụ 2. Tam giác ABC cĩ BD , CE lần lượt là phân giác của các gĩc B và C (D∈AC , E ∈AC ). Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh I cách đều hai cạnh AB và AC .
Lời giải
Gọi H , P, Q lần lượt là các hình chiếu AB, BC, AC .
Ta cĩ I là một điểm nằm trên tia phân giác ABC nên I cách
đều hai cạnh BA và BC nên ta cĩ IP =IH.
Ta cĩ I là một điểm nằm trên tia phân giác ACB nên I cách đều
hai cạnh CA và CN nên ta cĩ IP =IQ. Vậy IH =IQ nên I cách đều AB và AC .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Cách 1: áp dụng định lý đảo.
Cách 2: Chứng minh hai gĩc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằng nhau hoặc cùng bằng một gĩc thứ ba, hoặc cùng phụ, cùng bù với một gĩc khác…
Ví dụ 3. Tam giác ABC cĩ BD, CE lần lượt là phân giác của các gĩc B và C (D∈AC , E ∈AB). Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh I thuộc tia phân giác của gĩc BAC.
Lời giải
Gọi H, P, Q lần lượt là các hình chiếu AB, BC ,
AC .
Ta cĩ I là một điểm nằm trên tia phân giác ABC nên
I cách đều hai cạnh BA và BC nên ta cĩ IP =IH. Ta cĩ I là một điểm nằm trên tia phân giác ACB nên
I cách đều hai cạnh CA và CN nên ta cĩ IP =IQ. Vậy IH =IQ nên I cách đều AB và AC .
Vậy I nằm trên đường phân giác của BAC (định lí đảo).
Ví dụ 4. Cho gĩc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Các tia phân giác của
các gĩc xAB và yBA cắt nhau tại M . Chứng minh M thuộc tia phân giác của gĩc xOy.
Lời giải
Gọi H , P, Q lần lượt là các hình chiếu AB, Oy, Ox. Ta cĩ M là một điểm nằm trên tia phân giác xAB nên M
cách đều hai cạnh AB và Ox nên ta cĩ MH =MQ.
Ta cĩ M là một điểm nằm trên tia phân giác yBA nên M
cách đều hai cạnh AB và Oy nên ta cĩ MH =MP. Vậy MP =MQ nên M cách đều Ox và Oy. Vậy M thuộc tia phân giác gĩc xOy.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho gĩc mAn nhọn. Trên tia Am lấy điểm P sao cho AP =3 cm. Qua P kẻ đường thẳng
vuơng gĩc với Am cắt tia phân giác của gĩc mAn tại H. Kẻ HQ vuơng gĩc với An (Q∈An).
a) So sánh HP và HQ. b) Tính độ dài đoạn thẳng AQ.
Lời giải
a) Xét mAn cĩ AH là tia phân giác, đồng thời P, Q lần lượt là
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC b) Xét HAP vuơng tại P và Q vuơng tại Q cĩ
+ AH là cạnh chung.
+ HAP =HAQ (AH là tia phân giác của PAQ).
Vậy HAP =HAQ (cạnh huyền - gĩc nhọn) nên AP =AQ (do hai cạnh tương ứng).
Bài 2. Cho gĩc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Các tia phân giác của các
gĩc xAB và yBA cắt nhau tại M . Chứng minh M cách đều hai cạnh của gĩc xOy.
Lời giải
Gọi H , P, Q lần lượt là các hình chiếu AB, Oy, Ox.
Ta cĩ M là một điểm nằm trên tia phân giác xAB nên M cách đều
hai cạnh AB và Ox nên ta cĩ MH =MQ.
Ta cĩ M là một điểm nằm trên tia phân giác yBA nên M cách đều
hai cạnh AB và Oy nên ta cĩ MH =MP. Vậy MP =MQ nên M cách đều Ox và Oy.
Bài 3. Cho gĩc xOy khác gĩc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B, trên tia Oy lấy hai điểm C và D
sao cho OA OC= , OB =OD. Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC. Chứng minh a) BC =AD. b) IAB =ICD. c) OI là tia phân giác của gĩc xOy.
Lời giải
a) Xét OCB và OAD ta cĩ
OC =OA (giả thiết).
Oˆ chung.
OB =OD (giả thiết).
Vậy OCB =OAB (cạnh - gĩc - cạnh). Nên
AD =BC (hai cạnh tương ứng). b) Ta cĩ OA OC OD OC OB OA OB OD = ⇒ − = − = AB CD ⇒ = . Ta cĩ 180 (ke bu) 180 (ke bu) ° ° = = + = ⇒ = + = ( )
OCB OAD OCB OAB
OCB ICD ICD IAB
OAD IAB
.
Xét ICD và IAB cĩ
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
AB =CD (chứng minh trên).
ICD =IAB (chứng minh trên).
Vậy ICD =IAB (gĩc - cạnh - gĩc).
IC IA
⇒ = (hai gĩc tương ứng). c) Xét ICO và IAO cĩ
IC =IA (chứng minh trên).
ICO =IAO (OCB =OAB). OC =OA (giả thiết).
Vậy ICO =IAO (cạnh - gĩc - cạnh). Vậy COI =AOI (hai gĩc tương ứng).
Vậy OI là tia phân giác của gĩc xOy.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm P, Q sao cho
AP =AQ. Hai đoạn thẳng CP, BQ cắt nhau tại O. Chứng minh a) Tam giác OBC là tam giác cân.
b) AO là tia phân giác của gĩc BAC .
c) AO đi qua trung điểm của đoạn BC và vuơng gĩc với nĩ.
Lời giải
a) Xét BQC và CPB cĩ
BC là cạnh chung.
QCB =PBC (hai gĩc đáy của tam giác cân ABC).
QC =BP (Do AB AP− =AC −AQ ). Vậy BQC =CPB (cạnh - gĩc - cạnh).
Vậy OBC =OCB (hai gĩc tương ứng). Vậy OBC cân tại O.
b) Xét AOB và AOC ta cĩ AO là cạnh chung. OB =OC (OBC cân tại O). AB =AC (ABC cân tại A). Do đĩ AOB =AOC (cạnh - cạnh - cạnh). OAB OAC ⇒ = (hai gĩc tương ứng). Vậy AO là tia phân giác của BAC.
c) Xét đoạn thẳng BC cĩ hai điểm A và O phân biệt và cách đều hai điểm B và C . Vậy AO là đường trung trực của BC nên đi quảtrung điểm và vuơng gĩc với BC.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 5. Cho gĩc xOy bằng 60°
nhận Oz là tia phân giác. Từ một điểm N trên tia Oz, kẻ các đường vuơng gĩc NE, NF đến Ox và Oy.
a) So sánh NE và NF .
b) Tam giác EOF là tam giác gì? Vì sao?
Lời giải
a) So sánh NE và NF .
Xét OFN vuơng tại F và OEN vuơng tại E ta cĩ
ON là cạnh chung.
FON =EON (Oz là phân giác của gĩc xOy).
Vậy OFN =OEN (cạnh huyền- gĩc nhọn). Vậy NF =NE (hai cạnh tương ứng).
b) Vì OFN =OEN (cmt)
Suy ra: OF =OE (hai cạnh tương ứng) Suy ra: OFE cân tại O.
Bài 6. Cho hai gĩc xOy và yOz kề bù. Các tia Om, On lần lượt là phân giác của các gĩc xOy và yOz
. Trên tia Om lấy điểm A, trên tia On lấy điểm B sao cho AB vuơng gĩc vĩi Oy tại C Gọi H , K
lần lượt là hình chiếu của A và B trên đường thẳng xy .
a) So sánh AH và AC . b) Chứng minh AB =AH +BK .
Lời giải
a) AOH OAC (cạnh huyền – gĩc nhọn), suy ra AH AC . b) OBC OBK (cạnh huyền – gĩc nhọn), suy ra BC BK. Mà AC AH nên AB AC CB AH BK .
Bài 7. Cho tam giác ABC . Các tia phân giác BM, CN của các gĩc B và C (M ∈AC, N ∈AB ) cắt nhau tại H . Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của điểm H trên các cạnh AB, AC và BC . Chứng minh HD =HE =HF.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Lời giải
Chứng minh HD =HE =HF. Ta cĩ: HD ⊥AB; HF ⊥BC.
BH là phân giác của ABC.
Suy ra: HD =HF (định lí) ( )1 Ta cĩ: HE ⊥AC ; HF ⊥BC.
CH là phân giác của BCA.
Suy ra: HE =HF (định lí) ( )2 Từ (1) và (2) suy ra: HD =HE =HF.
Bài 8. Cho hai đường thẳng song song a, b và một cát tuyến c. Hai tia phân giác của một cặp gĩc trong cùng phía cắt nhau tại I . Chứng minh I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Lời giải
Chứng minh I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Gọi A B; lần lượt là giao điểm của đường thẳng c với đường thẳng a b; Ta cĩ: I thuộc đường phân giác xAB
Suy ra: I cách đều hai đường thẳng a và c. ( )1 Ta cĩ: I thuộc đường phân giác yBA
Suy ra: I cách đều hai đường thẳng b và c. ( )2 Từ (1) và (2) suy ra: I cách đều ba đường thẳng a, b, c.
Bài 9. Cho tam giác ABC . Các tia phân giác BM, CN của các gĩc B và C (M ∈AC, N ∈AB ) cắt nhau tại H . Chứng minh tia phân giác của gĩc BAC đi qua điểm H.
Lời giải
Chứng minh Chứng minh tia phân giác của gĩc BAC đi qua điểm H .
Kẻ HK ⊥AB HI; ⊥BC HL; ⊥AC
Ta cĩ: HK ⊥AB;; HI ⊥BC .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Suy ra: HK =HI (định lí) ( )1
Ta cĩ: HI ⊥BC ; HL ⊥AC .
CH là phân giác của BCA.
Suy ra: HI =HL (định lí) ( )2 Từ ( )1 và ( )2 suy ra: HK =HLF.
Suy ra: H thuộc đường phân giác của gĩc BAC .
Bài 10. Cho gĩc mOn khác gĩc bẹt. Trên hai tia Om, On lấy hai điểm C và D sao cho OC =OD.
Hai đường thẳng lần lượt vuơng gĩc với hai cạnh của O tại C và D cắt nhau ở E.
a) Chứng minh OE là tia phân giác của mOn .
b) Chứng minh OE vuơng gĩc với CD.
Lời giải
a) Chứng minh OE là tia phân giác của gĩc mOn. Xét ODE vuơng tại D và OCE vuơng tại C ta cĩ
OE là cạnh chung.
OD =OC (gt).
Vậy ODE =OCE (cạnh huyền- cạnh gĩc vuơng). Vậy ED =EC (hai cạnh tương ứng).
Mà ED ⊥On EC; ⊥Om
Suy ra: OE là phân giác của gĩc mOn. b) Chứng minh OE vuơng gĩc với CD. Xét ODE cĩ OD =OC
Suy ra: ODE cân tại O. Cĩ OE là đường phân giác Nên OE đồng thời là đường cao. Suy ra: OE vuơng gĩc với CD.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM