II. PHẦN TỰ LUẬN
4. Tam giác đều
Tam giác đều là tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau.
Tính chất: Trong tam giác đều, ba gĩc bằng nhau và mỗi gĩc bằng 60°.
Dấu hiệu nhận biết:
Nếu một tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau thì tam giác đĩ là tam giác đều.
Nếu một tam giác cĩ ba gĩc bằng nhau thì tam giác đĩ là tam giác đều.
Nếu một tam giác cân cĩ một gĩc bằng 60° thì tam giác đĩ là tam giác đều.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính sốđo các gĩc của một tam giác cân khi biết trước sốđo ởđỉnh hoặc một gĩc ở đáy.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A.
a) Biết Aˆ=80°, tính các gĩc cịn lại của tam giác ABC . b) Biết Bˆ =40°, tính các gĩc cịn lại của tam giác ABC .
Lời giải Ta cĩ B Cˆ+ ˆ+Aˆ=180°; Aˆ =80° ⇒B Cˆ+ ˆ =100°. Mà 100 50 2 ˆ ˆ ˆ ˆ B C B C ° ° = ⇒ = = = .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Cĩ Bˆ = 40° ⇒B Cˆ = ˆ = 40° mà B Cˆ+ ˆ =80° ⇒Aˆ =100°.
Ví dụ 2. a) Tính các gĩc ởđáy của một tam giác cân biết gĩc ởđỉnh bằng 50°. b) Tính các gĩc ởđỉnh của một tam giác cân biết gĩc ởđáy bằng 60°.
Lời giải Mỗi gĩc ởđáy bằng 180 50 65 2 ° ° ° − = . Gĩc ởđỉnh bằng 180° −60° −60° = 60°.
Dạng 2: Nhận biết tam giác cân, tam giác đều
Ví dụ 3. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, tam giác đều? Giải thích tại sao?
Lời giải
Ta cĩ DEH cĩ DE =DH ⇒DEH cân.
Cĩ DE =DH; EF =HG ⇒DF =DG ⇒DFG cân. Ta cĩ Kˆ =180° − − =I Jˆ ˆ 70° ⇒IJK cân.
Cĩ MO =MP =PO ⇒MPO đều.
Lại cĩ LO OM= ⇒LOM cân, MP =PN ⇒MPN cân.
Vì MOP cân nên LOM =MPN do dĩ ML =MN ⇔LMN cân tại M .
Ví dụ 4. Trong các hình sau, tam giác nào là tam giác cân, tam giác đều?
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta cĩ QRS cĩ QR QS= và QRS = 60° suy ra QRS đều.
Suy ra QRN =QSM ⇒QN =QM ⇔QMN cân. Cĩ DGF = 72° ⇒DGE =108°; DEF =36°.
Vì EDF =EFD = 72° suy ra DEF cân tại G;
Vì DGF =DFG = 72° ⇔DFG cân.
Ví dụ 5. Cho xOy =120°, điểm A thuộc tia phân giác gĩc đĩ. Kẻ AB ⊥Ox (B Ox∈ ), kẻ AC ⊥Oy
(C Oy∈ ). Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
Lời giải
Xét hai tam giác vuơng ABO và ACO
cĩ AOB =AOC (vì OA là tia phân giác gĩc xOy) và OA
cạnh chung, suy ra
ABO = ACO ⇔AB =AC ⇒ ABC
cân tại A. Cĩ BOA BAO + =90°; 120 60 2 AOB = ° = ° 30 BAO ° ⇒ = .
Suy ra BAC = 60° ⇒ABC đều.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm K, H sao cho
AK =AH . Gọi O là giao điểm của BH và CK . Chứng minh tam giác OBC cân.
Lời giải
Xét ABH và ACK cĩ AH =AK (gt); Aˆ chung và AB =AC (gt) suy ra ABH =ACK (c.g.c).
Suy ra ABH =ACK .
Mà ABC =ACB ⇒OBC =OCB ⇒OBC cân.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB , BC , CA lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho
AM =BN =CP. Chứng minh tam giác MNP đều.
Lời giải
Cĩ AB =BC =CA và AM =BN =CP nên MB =NC =AP. Mặt khác B Cˆ = ˆ; BN =CP; BM =CN .
Suy ra BMN =CNP (c.g.c) suy ra MN =NP ( )1 Chứng minh tương tự ta cĩ APM =CNP (c.g.c) ⇒MP =NP ( )2 Từ ( )1 và ( )2 suy ra MNP đều.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuơng tại A, Bˆ =30°. Trên cạnh BC lấy M sao cho AM =BM. Chứng minh AMC đều.
Lời giải
Cĩ AMB cân, suy ra BAM =ABM .
Mà BAM CAM + = 90° và ABM +ACM =90°. Suy ra ACM =CAM ⇒AMC cân.
Ta cĩ Cˆ =180° − −A Bˆ ˆ = 60°. Suy ra AMC đều.
Dạng 3: Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh sự bằng nhau của
hai tam giác, hai đoạn thẳng, hai gĩc.
Ví dụ 4. Câu 9. Cho tam giác ABC vuơng tại A (AB <AC). Tia phân giác gĩc A cắt BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuơng gĩc với BC tại D, cắt AC tại E . Trên AB lấy điểm F sao cho
AE =AF . Chứng minh a) ABC =DEC.
b) DBF là tam giác cân. c) DB =DE.
Lời giải
a) Ta cĩ ABC +ACB =90°; ACB DEC + =90°. Suy ra ABC =DEC .
b) Xét FAD và EAD cĩ AD chung FAD =EAD; AF =AE suy ra FAD =EAD (c.g.c)
DFA DEA DFB DEC
⇒ = ⇒ = mà ABC =DEC ⇒ABC =DFB ⇒DBF cân tại D.
c) Ta cĩ FAD =EDA⇒DE =DF ( )1
Tam giác DBF cân tại D ⇒DB =DF ( )2
Từ ( )1 và ( )2 suy ra DB =DE.
Câu 10. Cho tam giác ABC , các tia phân giác gĩc B và gĩc C cắt nhau tại I . Qua I kẻđường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt AB
, AC lần lượt tại D và E . Chứng minh DE =BD CE+ .
Lời giải
Cĩ DE ⊥BC ; DBI =IBC; ECI =BCI .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Suy ra BDI ; ICE là các tam giác cân.
Suy ra DE =DI +IE ; DI =BD;
IE =EC ⇒DE =BD EC+ .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng, cân tại A. Trên đường thẳng AB lấy điểm D sao cho BD =BC (
D và A khác phía so với B). Tính sốđo các gĩc của tam giác ADC .
Lời giải
Cĩ ABC =ACB = 45° ⇒CBD =135°.
Tam giác BCD cân tại B suy ra 180 135
22 5 2 , ADC BCD ° ° ° − = = = . Suy ra ACD =67 5, °.
Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A, BC = 2AB. D là trung điểm cạnh AC . Đường thẳng vuơng gĩc với AC tại D cắt BC tại E . Chứng minh
a) EAC cân. b) ABE đều.
Lời giải
a) Xét EAD và ECD cĩ DA DC= ; EDA EDC = ; ED chung suy ra
EAD = ECD
.
Suy ra EA EC= ⇒ECA cân.
b) Cĩ 90 90 ABE ECA
ABE EAC BAE EBA ECA EAC ° ° + = ⇒ + = ⇒ = = (cùng phụ BAE). Suy ra ABE cân tại
2
BC
E ⇒EC =BE =EA = =AB ⇒ABE đều.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng, cân tại A. Tia phân giác gĩc A cắt BC tại D. Trên cạnh AB , AC
lần lượt lấy các điểm E và F sao cho AE =CF. Chứng minh ABD, ADC, AEF vuơng cân.
Lời giải
Tam giác AEF vuơng cân vì AE =AF và Aˆ =90°.
Xét ABD và ACD cĩ B Cˆ = ˆ, AD chung và BAD CAD = suy ra
ABD = ACD
. Suy ra ADB =ADC =90° ⇒ABD =ACD = 45°. Suy ra ABD; ADC vuơng cân tại D.
Bài 4. Cho xOy =120°, kẻOz là tia phân giác gĩc xOy. Trên tia Ox lấy
điểm A, trên Oz lấy điểm B và trên Oy lấy điểm C sao cho OA OB OC= = . Chứng minh a) OA CB ; OC AB . b) OB ⊥AC .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Lời giải
a) Ta cĩ CBO =AOB =ABO COB = =60°. Suy ra OA CB ; OC AB .
b) Gọi I là giao điểm của AC và OB.
Xét OIC và OIA cĩ OC =OA; OI chung,
COI =AOI suy ra OIC =OIA do đĩ
90
AIO CIO= = ° ⇒OB ⊥AC .
Bài 7. ĐỊNH LÝ PY-TA-GO A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM