D. Khơng cĩ tam giác cân nào trong hình vẽ trên.
Bài 8 TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC A KI ẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Định lý 1
Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy, đồng thời là đường trung tuyến với cạnh này.
Trong hình vẽ bên: ABC cân tại A cĩ AH là đường trung trực của BC thì AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.
2. Định lý 2
Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm . Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đĩ và được gọi là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác(đường trịn đi qua các đỉnh của tam giác).
Trong hình vẽ bên: điểm O là giao điểm của các đường trung trực của ABC. Do đĩ OAOB OC .
Hệ quả: Nếu một tam giác cĩ một đường vừa là đường trung trực, vừa là đường trung tuyến (hoặc đường phân giác) thì tam giác đĩ là tam giác cân.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau Dạng 1: Chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau
Cách 1: Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba.
Cách 2: Chứng minh dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng.
Cách 3: Chứng minh dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
Cách 4: Chứng minh hai đoạn thẳng là hai cạnh của hai tam giác bằng nhau.
Cách 5: Chứng minh hai đoạn thẳng là hai hình chiếu của một điểm nằm trên tia phân giác của một gĩc xuống hai cạnh của gĩc đĩ.
Ví dụ 1. Cho ABC cân tại A. Đường trung trực của cạnh AB và AC cắt nhau tại điểm D. Chứng minh rằng DB =DC .
Lời giải
Gọi M là trung điểm BC . Do ABC cân tại A nên AM là đường trung trực của
BC.
Do D là giao điểm của hai đường trung trực CI và BK nên D cũng nằm trên AM
.
Do đĩ DB =DC .
Ví dụ 2. Cho ABC cân tại A, đường trung tuyến AM . Đường trung trực của
AC cắt đường thẳng AM tại D. Chứng minh rằng DA DB= .
Lời giải
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Mà ta ABC cân ở A, trung tuyến AM chính là đường cao, do đĩ là đường trung trực của BC. Do đĩ
2
( )
DB =DC .
Từ ( )1 , ( )2 suy ra DA DB= .
Dạng 2: Tính sốđo gĩc
Dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng để suy ra các gĩc bằng nhau rồi từ đĩ cĩ thể áp dụng định lý Tổng 3 gĩc trong một tam giác hoặc tính chất của tam giác cân để tính số đo gĩc.
Ví dụ 3. Cho ABC cĩ Aˆ= 60°. Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở E và
F . Tính EAF.
Lời giải
Trước hết, do E nằm trên đường trung trực của AB nên
EAB
cân ở E ⇒BAE =ABE.
Tương tự, ta cĩ FAC cân ở F ⇒FAC =FCA.
Ta cĩ BCA FCA FAB BAC = = +
FAB BCA BAC
⇒ = − .
Khi đĩ EAF =BAE FAB+ =ABC +BCA BAC− .
180 2 180 120 60
EAF ° BAC ° ° °
⇒ = − = − = .
Ví dụ 4. Cho ABC cĩ Aˆ=110°. Các đường trung trực của cạnh AB và AC lần lượt cắt BC ở E và
F . Tính EAF.
Lời giải
Ta cĩ E nằm trên đường trung trực của AB nên EAB cân ở E
EAB EBA
⇒ = .
Tương tự F nằm trên đường trung trực của AC nên FAC cân ở F
FAC FCA
⇒ = .
Ta cĩ EAF =BAC −BAE CAF− =BAC −EBA FCA−
110° 70° 40°
= − = .
Dạng 3: Chứng minh định lý
Dựa vào định nghĩa, tính chất của đường trung trực của đoạn thẳng và giao điểm của ba đường trung trực để chứng minh các định lý hình học.
Ví dụ 5. Nếu tam giác cĩ một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đĩ là tam giác cân.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Xét ABC cĩ AH vừa là đường cao, vừa là đường trung trực ứng với cạnh
BC. Xét ABH và ACH cĩ 90 chung AHB AHC AH BH CH ° = = = ABH ACH ⇒ = ⇒AB =AC . Vậy ABC cân ở A.
Ví dụ 6. Chứng minh rằng ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đĩ.
Lời giải
Ta cĩ O nằm trên đường trung trực của AB nên OA OB= .
Tương tự ta cĩ O nằm trên đường trung trực của AC và BC nên
OA OC= và OB OC= .
Suy ra OA OB OC= = , do đĩ O cách đều ba đỉnh của tam giác.
Dạng 4: Dựng hình
Bước 1: đọc kĩ đề bài. Dựa vào các định nghĩa, tính chất của các hình hoặc đoạn thẳng, đường thẳng để dựng hình theo yêu cầu.
Bước 2: Sau khi dựng hình xong. Chứng minh cách dựng hình là đúng.
Ví dụ 7. Vẽđường trịn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau a) Aˆ, Bˆ, Cˆ đều nhọn. b) Aˆ =90°.
Lời giải
a) Trường hợp ba gĩc nhọn:
Dựng hai đường trung trực của AB và BC cắt nhau tại O, điểm O chính là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC.
Thật vậy O là giao điểm của hai đường trung trực nên theo tính chất thì ta cĩ
OA OB OC= = .
b) Trường hợp gĩc A vuơng
Gọi O là trung điểm của BC thì ta cĩ O chính là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC .
Thật vậy, do trong tam giác ABC vuơng ở A, AO là trung tuyến sẽ bằng nửa cạnh huyền, tức là 1
2
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Ví dụ 8. Vẽđường trịn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong trường hợp
90
ˆ
A> °.
Lời giải
Với Aˆ>90°, tương tự khi ABC nhọn, ta dựng hai đường trung trực của
AB và BC. Tâm O của đường trịn ngoại tiếp tam giác chính là giao của hai đường trung trực này.
Dạng 5: Sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng hoặc của tam giác để chứng minh các tính chất hình học khác
Ví dụ 9. Cho ABC đều. Trên các cạnh AB, BC , CA lần lượt lấy ba điểm M , N , P sao cho
AM =BN =CP. Chứng minh tam giác MNP đều.
Lời giải Ta cĩ ABC đều nên AB =BC =AC . Do AM =BN =CP ⇒MB =NC =PA. Xét AMP và BNM cĩ MAP NBM AM BN AP BM = = = AMP BNM ⇒ = , suy ra MP =MN.\hfill(1)
Tương tự ta cĩ AMP =CPN , suy ra MP =PN .\hfill(2) Từ ( )1 , ( )2 ta được MN =NP =PM, do đĩ MNP đều.
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC , hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh
M thuộc trung trực của DE .
Lời giải
Ta cĩ EM là đường trung tuyến trong EBC vuơng ở E , do đĩ 1
2
EM = BC .\hfill(1)
Tương tự ta cĩ ED là đường trung tuyến trong DBC vuơng ở D, do đĩ 1
2
DM = BC.\hfill(2)
Từ ( )1 , ( )2 suy ra ME =MD, do đĩ M nằm trên đường trung trực của
ED.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1. Chứng minh rằng: