D. Khơng cĩ tam giác cân nào trong hình vẽ trên.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI D ạng 1: So sánh các gĩc trong một tam giác
Bước 1. Xác định tam giác cĩ các gĩc theo yêu cầu của đề bài.
Bước 2. Xác định các cạnh đối diện với các gĩc đĩ.
Bước 3. So sánh các cạnh đối diện đĩ.
Bước 4. Kết luận.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cĩ AB =10 cm, BC =5 cm, AC =7 cm. Hãy so sánh các gĩc của tam giác ABC .
Lời giải
Từđề bài, xét ABC cĩ BC <AC <AB. Do đĩ,
ˆ ˆ ˆ
A B C< < .
Ví dụ 2. Cho tam giác DEF cĩ DE =3 cm, EF =6 cm, 8
DF = cm. Hãy so sánh các gĩc của tam giác ABC .
Lời giải
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Ví dụ 3. Cho tam giác MNP vuơng tại M cĩ MN =3 cm, NP =5 cm. Hãy so sánh gĩc MNP với gĩc MPN .
Lời giải
Vì MNP vuơng tại M nên theo định lí Pytago, ta tính được MP = 4 cm. Suy ra MP >MN, do đĩ MNP >MPN .
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A cĩ AB =5 cm, BC =8 cm. Hãy so sánh gĩc ABC với gĩc
BAC .
Lời giải
Cách 1. Vì ABC cân tại A nên AC =AB =5 cm. Do đĩ, AC <BC nên ABC <BAC.
Cách 2. Từđề bài, ta dễdàng suy ra được AB <BC nên BCA BAC < .
Mà ABC cân tại A nên BCA ABC = . Do
đĩ ABC <BAC.
Dạng 2: so sánh các cạnh trong một tam giác
Để so sánh các cạnh trong một tam giác, ta thường làm như sau:
Bước 1. Xác định tam giác cĩ các cạnh theo yêu cầu của đề bài.
Bước 2. Xác định các gĩc đối diện với các cạnh đĩ.
Bước 3. So sánh các gĩc đối diện đĩ.
Bước 4. Kết luận.
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cĩ Aˆ =40°, Bˆ = 60°.
a) Tính sốđo gĩc Cˆ. b) So sánh các cạnh của tam giác ABC .
Lời giải
a) Vì tổng ba gĩc trong một tam giác bằng 180° nên ta tính được Cˆ =80°. b) Xét ABC cĩ A B Cˆ < ˆ < ˆ. Vậy BC <AC <AB.
Ví dụ 6. Cho tam giác MNE cĩ Mˆ =50°, Nˆ = 70°.
a) Tính sốđo gĩc E . b) So sánh các cạnh của tam giác MNE.
Lời giải
a) Vì tổng ba gĩc trong một tam giác bằng 180° nên ta tính được Eˆ =60°. b) Xét MNE cĩ Mˆ <Eˆ <Nˆ vì (50° <60° <70°). Vậy
NE <MN <ME .
Ví dụ 7. Cho tam giác DEF cân tại D cĩ gĩc ngồi tại đỉnh E bằng
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Lời giải
Từ giả thiết, tính được DEF =DFE = 40°. Do đĩ, EDF =100°.
Xét DEF cĩ DEF =DFE <EDF.
Do đĩ, DF =DE <FE.
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC cân tại A cĩ Bˆ =50°. Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC .
Lời giải
Vì ABC cân tại A nên suy ra AB =AC và B Cˆ = ˆ =50°. Xét ABC cĩ A B Cˆ+ ˆ+ ˆ =180° mà B Cˆ = ˆ =50° nên suy ra
80
ˆ
A = °.
Xét ABC cĩ B Cˆ = ˆ <Aˆ. Do đĩ, AB =AC <BC.
Dạng 3: so sánh hai gĩc khơng cùng nằm trong một tam giác
Để so sánh hai gĩc khơng cùng trong một tam giác, ta thường cĩ các cách sau:
Cách 1. Sử dụng cặp gĩc trung gian (cĩ thể là cặp gĩc bù hoặc phụ với cặp gĩc cần so sánh tương ứng).
Cách 2. Sử dụng gĩc thứ ba sao cho gĩc này bằng một trong hai gĩc cần so sánh và cùng nằm trong một tam giác với gĩc cịn lại.
Ví dụ 9. Cho tam giác ABC cĩ AB =3 cm, AC = 4 cm. a) So sánh gĩc B với gĩc C .
b) Hạ AH vuơng gĩc với BC tại H . So sánh gĩc BAH và gĩc CAH .
Lời giải
a) Xét ABC cĩ AB <AC vì (3 cm < 4 cm) nên Cˆ <Bˆ. b) Ta cĩ BAH +B CAH Cˆ = + ˆ = 90°.
Mà B Cˆ > ˆ nên BAH <CAH.
Ví dụ 10. Cho tam giác ABC cĩ AB =5 cm, AC =3 cm. a) So sánh gĩc B với gĩc C .
b) So sánh hai gĩc ngồi tại các đỉnh B và C của tam giác ABC .
Lời giải
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC đỉnh B và ACy là gĩc ngồi đỉnh C .
Ta cĩ ABx ABC + =ACy ACB+ =180° (hai gĩc kề bù), mặt khác ABC <ACB nên ABx >ACy.
Dạng 4: so sánh hai cạnh khơng cùng nằm trong một tam giác
Để so sánh hai cạnh khơng cùng trong một tam giác, ta thường sử dụng một cạnh thứ ba sao cho cạnh này bằng một trong hai cạnh cần so sánh và cùng nằm trong một tam giác với cạnh cịn lại.
Ví dụ 11. Cho tam giác ABC cĩ AB <AC . Tia phân giác của gĩc A cắt BC ở D. Trên cạnh AC
lấy điểm E sao cho AB =AE.
a) Chứng minh BD =DE. b) So sánh BD và DC .
Lời giải
a) Ta chứng minh được ABD =AED (c.g.c). Do đĩ, BD =DE.
Từ câu a, ta cĩ DEA B = ˆ mà
ˆ ˆ ( 180 )
DEC +DEA C= +B BAC+ = ° nên DEC =Cˆ+BAC. Từđĩ DEC >Cˆ.
Xét DEC, suy ra DE <DC . Kết hợp với câu a, vậy BD <DC .
Ví dụ 12. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Tia phân giác của gĩc B cắt AC ở M . Kẻ MH vuơng gĩc với BC tại H. a) Chứng minh AM =MH . b) So sánh AM và MC. Lời giải a) Xét ABM và HBM cĩ 90 Canh chung ° = = = BAM BHM BM ABM HBM ABM HBM ⇒ = (cạnh huyền - gĩc nhọn). Suy ra AM =HM.
b) Trong MHC vuơng tại H nên cạnh MC là cạnh lớn nhất suy ra MC >MH , mà MH =MA do đĩ
MA MC< .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC cĩ Aˆ >90°, lấy điểm M thuộc cạnh AB. a) So sánh AC và MC.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC c) Chứng minh AC <MC <BC.
Lời giải
a) Xét MAC tù tại A nên MC là cạnh lớn nhất. Do đĩ, AC <MC.
b) Xét MAC cĩ BMC là gĩc ngồi tại đỉnh M nên
ˆ 90
BMC >A> °. Do đĩ, gĩc BMC là gĩc tù. Vậy BMC là tam giác tù tại M .
c) Từ câu b, ta suy ra BC là cạnh lớn nhất của BMC nên MC <BC . Kết hợp với câu a, ta cĩ
AC <MC <BC .
Bài 2. Cho tam giác MNP cĩ Nˆ >90°. Trên tia đối của tia PN lấy điểm Q. a) So sánh MN và MP.
b) Chứng minh tam giác MPQ là tam giác tù. c) Chứng minh MN <MP <MQ.
Lời giải
a) Xét MNP tù tại N nên MP là cạnh lớn nhất. Do đĩ MN <MP.
b) Xét MNP cĩ MPQ là gĩc ngồi tại đỉnh P nên MPQ >Nˆ >90°. Do đĩ, gĩc MPQ
là gĩc tù.
Vậy MPQ là tam giác tù tại P .
c) Từ câu b, ta suy ra MQ là cạnh lớn nhất của MPQ nên MP <MQ. Kết hợp với câu a, ta cĩ
MN <MP <MQ.
Bài 3. Tam giác ABC vuơng tại A cĩ AC = 2AB. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho AB =AE. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho EB =ED.
a) Chứng minh ABE =CDE. b) So sánh ABE và CBE.
Lời giải
a) Dễ dàng chứng minh được ABE =CDE (c.g.c). b) Từ câu a, ta suy ra ABE =Dˆ và AB CD= .
Vì ABC vuơng tại A nên AB <BC (cạnh huyền là cạnh lớn nhất). Do đĩ
CD <BC. Suy ra D CBEˆ < . Vậy ABE <CBE.
Bài 4. Cho tam giác ABC cĩ AB <AC . Gọi M là trung điểm của
BC. Trên tia
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC a) Chứng minh BAM =NCM. b) So sánh BAM và MAC.
Lời giải a) Xét AMB và NMC cĩ (gt) (doi dinh) (gt) = = = MA MN AMB NMC MB MC BAM CMN ⇒ = (c.g.c).
Vì BAM =CMN ⇒AB =NC (hai cạnh tương ứng). Xét ACN cĩ AC >CN =AB nên ANC >CAN suy ra
BAM >MAC.
Bài 5. Cho tam giác ABC cĩ AB =2 cm, BC = 5 cm, AC =6 cm. Hãy so sánh các gĩc của tam giác
ABC .
Lời giải
Xét ABC cĩ AB <BC <AC (gt) suy ra Cˆ <A Bˆ< ˆ.
Bài 6. Cho tam giác PQR vuơng tại P cĩ PQ =8 cm, QR =10 cm. Hãy so sánh gĩc PQR với gĩc
PRQ. Lời giải Xét PQR vuơng tại P , áp dụng định lí Py-ta-go ta cĩ 2 2 2 2 2 2 2 10 8 6 6 QR =PQ +PR ⇒PR = − = ⇒PQ = (cm). Xét PQR cĩ PR <PQ vì 6 cm < 8 cm, suy ra PQR <PRQ.
Bài 7. Cho tam giác DEF cĩ Dˆ =100°, Eˆ =30°.
a) Tính sốđo gĩc F . b) So sánh các cạnh của tam giácDEF .
Lời giải
a) Xét tam giác DEF cĩ D Eˆ+ ˆ+Fˆ =180° ⇒Fˆ =180° −(100° +30°)=50°. b) Xét ABC ta cĩ Eˆ <Fˆ <Dˆ nên suy ra DF <DE <EF .
Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A cĩ Aˆ =50°. Hãy so sánh các cạnh của tam giác ABC .
Lời giải
Vì ABC cân tại A (giả thiết) nên suy ra AB =AC và
180 180 50 65 2 2 ˆ ˆ ˆ A B C= = ° − = ° − ° = ° . Xét ABC cĩ B Cˆ = ˆ >Aˆ. Do đĩ, AB =AC >BC.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 9. Cho tam giác ABC vuơng tại A, lấy đểm D nằm giữa A và C . a) So sánh BA và BD.
b) Chứng minh tam giác BDC là tam giác tù. c) Chứng minh BA BD< <BC .
Lời giải
a) Xét tam giác ABD vuơng tại A, cĩ cạnh BC là cạnh lớn nhất, suy ra BA BD< . Xét tam giác BDC cĩ BDC >Aˆ =90° nên gĩc BDC là gĩc tù. Do
đĩ tam giác BDC là tam giác tù.
Xét tam giác BCD cĩ BDC >90° nên cạnh BC là cạnh lớn nhất,
suy ra BC >BD. (1)
Mặt khác BA BD< (chứng minh trên) (2) Từ ( )1 và ( )2 suy ra BA BD< <BC .
Bài 10. Cho tam giác MNP nhọn cĩ MN <MP, đường cao MH . So sánh gĩc NMH và gĩc PMH.
Lời giải
Xét MNP cĩ MN <MP (giả thiết) nên MPN <MNP.
Ta cĩ NMH +MNH =PMH +MPH = 90°. Mà MNH >MPH nên NMH <PMH .
Bài 11. Tam giác ABC cĩ AB =5 cm, BC =6 cm và AC =7 cm. Hãy so sánh các gĩc ngồi của tam giác đĩ.
Lời giải
Xét tam giác ABC cĩ AB <BC <AC suy ra Cˆ <A Bˆ< ˆ (1) Gọi 1 A , 1 B , 1 C , lần lượt là các gĩc ngồi đỉnh A, đỉnh B và đỉnh C của ABC . Ta cĩ 1 1 1 180 ˆ ˆ ˆ A A+ =B B+ =C C+ = °. Kết hợp với ( )1 ta suy ra 1 1 1 C >A >B .
Bài 12. Tam giác ABC cĩ AB >AC . Qua B và C kẻcác đường thẳng song song với
cạnh đối diện và chúng cắt nhau tại D.
a) Chứng minh ABC =DCB. b) So sánh ABC và DBC.
Lời giải
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Vì BD AC ⇒ACB =DBC (2 gĩc so le trong). Xét ABC và DCB cĩ la canh chung = = ABC DCB BC ACB DBC ABC DCB ⇒ = (g.c.g).
b) Xét ABC cĩ AB >AC suy ra ACB >ABC, mà ACB =DBC nên
suy ra ABC <DBC.
Bài 13. Cho tam giác ABC vuơng tại A. Tia phân giác của gĩc C cắt AB ở E . a) Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho CA CI= .
b) Chứng minh EA EI= . c) So sánh EA và EB. Lời giải a) Xét CAE và CIE cĩ la canh chung (gt) (gt) = = CE ACE ICE CA CI CAE CIE ⇒ = (c.g.c), suy ra EA EI= .
b) Vì CAE =CIE (c.g.c) suy ra CAE =CIE mà CAE =90° suy ra
90
AIE = ° nên tam giác BEI vuơng tại I .
Xét BEI vuơng tại I nên cạnh BE là cạnh lớn nhất suy ra EI <BE, mà EI =EA nên suy ra EA EB< .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC