D. Khơng cĩ tam giác cân nào trong hình vẽ trên.
2. Định lý 2: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đĩ.
điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đĩ.
Trong hình bên, ta cĩ
1 2, 1 2, 1 2
A A B B C C ID IE IF.
Nhận xét: Điểm chung của ba đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác và được gọi tâm đường trịn nội tiếp tam giác đĩ.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Chứng minh định lý thuận và đảo của đường phân giác trong tam giác
Dựa vào tính chất đường phân giác của một gĩc; của hai tam giác bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho ABC và điếm I nằm trong tam giác sao cho điểm I cách đều ba cạnh của ABC. Chứng minh rằng điểm I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
Lời giải
Kẻ IK ⊥AB IH; ⊥BC IL; ⊥AC
Ta cĩ IK ⊥AB;; IH ⊥BC .
I cách đều hai cạnh AB BC; .
Suy ra I thuộc đường phân giác của gĩc A (định lí) ( )1 Ta cĩ IH ⊥BC IL; ⊥AC
I cách đều hai cạnh AC BC; .
Suy ra I thuộc đường phân giác của gĩc C (định lí) ( )2 Ta cĩ IK ⊥AB IL; ⊥AC
I cách đều hai cạnh AB AC; .
Suy ra I thuộc đường phân giác của gĩc A (định lí) (3 Từ (1) và (2) và (3) Suy ra HK =HLF.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Ví dụ 2. Cho ABC. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác. Chứng minh rằng điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.
Lời giải
Kẻ IK ⊥AB HI; ⊥BC IL; ⊥AC
Ta cĩ IK ⊥AB;; HI ⊥BC .
BI là phân giác của ABC.
Suy ra IK =HI (định lí) ( )1 Ta cĩ HI ⊥BC ; IL ⊥AC.
CI là phân giác của BCA.
Suy ra HI =HL (định lí) ( )2 Từ ( )1 và ( )2 Suy ra IK =HI =IL.
Suy ra I cách đều ba cạnh của tam giác ABC .
Dạng 2: Dựng hình theo yêu cầu bài tốn
Dựa vào cách dựng đường phân giác của một gĩc.
Ví dụ 3. Nêu cách dựng điểm K ở trong tam giác ABC sao cho khoảng cách từ điểm K đến ba cạnh của tam giác đĩ đều bằng nhau. Vẽ hình minh họa.
Lời giải Dựng đường trịn ( ; )B r cắt AB BC; lần lượt tại H K; . Dựng đường trịn ( ; )H r cắt đường trịn ( ; )K r tại I . Nối BI. Dựng đường trịn ( ; )C r1 cắt AC BC; lần lượt tại E F; . Dựng đường trịn ( ; )E r1 cắt đường trịn ( ; )F r1 tại D. Nối CD. K là giao điểm của BI và CD.
Ví dụ 4. Cho ABC. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Nêu cách dựng điểm
K cách đều ba cạnh của MNP. Lời giải Dựng đường trịn ( ; )M r cắt MP MN; lần lượt tại H K; . Dựng đường trịn ( ; )H r cắt đường trịn ( ; )K r tại I . Nối MI. Dựng đường trịn ( ; )N r1 cắt NM NP; lần lượt tại E F; .
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Dựng đường trịn ( ; )E r1 cắt đường trịn ( ; )F r1 tại D.
Nối CD.
K là giao điểm của BI và CD.
Dạng 3: Tính sốđo gĩc
Sử dụng tính chất tia phân giác của một gĩc.
Tính chất ba đường phân giác trong của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Tính chất tổng ba gĩc của một tam giác bằng 180.
Ví dụ 5. Cho ABC cĩ BAC =a. Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác kẻ từ gĩc Bˆ và Cˆ.
Tính sốđo gĩc BIC theo a .
Lời giải
Ta cĩ BI là phân giác của ABC.
Suy ra 1
2
IBC = ⋅ABC.
Ta cĩ CI là phân giác của BCA.
Suy ra 1 2 ICB = ⋅BCA. Xét IBC cĩ: 1 1 180 180 2 2
BIC +IBC +ICB = ° ⇒BIC + ⋅ABC + ⋅BCA= °
1 1
180 180
2 ( ) 2 ( )
BIC ABC BCA ° ⇒BIC ° ABC BCA
⇒ + ⋅ + = = − ⋅ +
1 1
180 180 90
2 ( ) 2
BIC = ° − ⋅ ° −BAC ⇒BIC = ° + ⋅BAC
Suy ra 1 90
2
BIC = ° + ⋅a
Ví dụ 6. Cho ABC. Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác kẻ từ gĩc Bˆ và Cˆ. Tính gĩc BIC
trong trường hợp
a) BAC =80°. b) BAC =120°.
Lời giải
a) BAC =80°.
Ta cĩ BI là phân giác của ABC. Suy ra 1
2
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Ta cĩ CI là phân giác của BCA 1
2
ICB BCA
⇒ = ⋅ .
Xét IBC cĩ: BIC +IBC +ICB =180° 1 1
180
2 2
BIC ABC BCA °
⇒ + ⋅ + ⋅ =
1
180
2 ( )
BIC ABC BCA °
⇒ + ⋅ + = 1
180
2 ( )
BIC ° ABC BCA
⇒ = − ⋅ + 1 180 180 2 ( ) BIC ° ° BAC ⇒ = − ⋅ − 1 90 2 BIC ° BAC ⇒ = + ⋅ 1 90 2 BIC ° a ⇒ = + ⋅ 90 1 80 2 ° ° = + ⋅ =130°. b) BAC =80°. Ta cĩ 1 90 2 BIC = ° + ⋅a 90 1 120 2 ° ° = + ⋅ =150°.
Dạng 4: Chứng minh các yếu tố bằng nhau khác (gĩc, độ dài)
Dựa vào tính chất của ba đường phân giác cùng đi qua một điểm.
Ví dụ 7. Cho ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là chân đường vuơng gĩc kẻ từđiểm D đến AB và AC . Chứng minh DE =DF .
Lời giải
Xét ABC cân tại A cĩ AD là đường trung tuyến nên đồng thời cũng là đường phân giác của gĩc A.
Ta cĩ DE ⊥AB DF; ⊥AC (giả thiết).
Mà AD là đường phân giác của gĩc A. (chứng minh trên) Suy ra DE =DF (định lí).
Ví dụ 8. Cho ABC cân tại A. Hai đường phân giác BE và CF cắt nhau tại I . Chứng minh rằng
BE =CF.
Lời giải
Ta cĩ BI là phân giác của ABC 1
2
IBC ABC
⇒ = ⋅ . Ta cĩ CI là phân giác của BCA 1
2
ICB BCA
⇒ = ⋅ . Mà ABC =ACB (do ABC cân tại A).
Suy ra IBC =ICB.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC + IBC =ICB. (chứng minh trên)
+ BC là cạnh chung.
+ ABC =ACB (do ABC cân tại A).
Vậy BFC =CEB (cạnh huyền- gĩc nhọn). Vậy BE =CF (hai cạnh tương ứng).
Dạng 5: Chứng minh các điểm thẳng hàng
Dựa vào tính chất của ba đường phân giác cùng đi qua một điểm.
Dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác.
Dựa vào tính chất trung điểm của đoạn thẳng.
Ví dụ 9. Cho ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh ba điểm A, G , I
thẳng hàng.
Lời giải
Gọi D là trung điểm của BC.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc AD. Xét ABC cân tại A.
Cĩ AD là đường trung tuyến nên đồng thời cũng là đường phân giác của gĩc
A.
Mà AI cũng là đường phân giác của gĩc A. Suy ra A I D; ; thẳng hàng.
Mà G thuộc AD.
Suy ra A G I; ; thẳng hàng.
Ví dụ 10. Cho ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm của BC, I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh ba điểm A, D, I thẳng hàng.
Lời giải
Gọi D là trung điểm của BC.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc AD. Xét ABC cân tại A.
Cĩ AD là đường trung tuyến nên đồng thời cũng là đường phân giác của gĩc A.
Mà AI cũng là đường phân giác của gĩc A. Suy ra A I D; ; thẳng hàng.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 1. Chứng minh rằng:
a) ABC cân tại A thì đường trung tuyến AM cũng đồng thời là đường phân giác của gĩc BAC . b) ABC cĩ đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác thì tam giác đĩ là tam giác cân.
Lời giải
ABC
cân tại A thì đường trung tuyến AM cũng đồng thời là đường phân giác của gĩc BAC . Xét ABM và ACM ta cĩ
+ AM là cạnh chung.
+ ABC =ACB (do ABC cân tại A).
+ AB =AC (do ABC cân tại A). Vậy ABM =ACM (cạnh - gĩc - cạnh). Vậy BAM =CAM (hai gĩc tương ứng).
Mà tia AM nằm giữa hai tia AB và AC . Suy ra AM là tia phân giác của gĩc BAC .
ABC
cĩ đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác thì tam giác đĩ là tam giác cân. Kẻ MH ⊥AB MK; ⊥AC
AM là phân giác của gĩc A. Suy ra MH =MK (định lí)
Xét BHM vuơng tại H và CKM vuơng tại K Ta cĩ + MH =MK (chứng minh trên)
+ MB =MC (do AM là đường trung tuyến).
Vậy BHM =CKM (cạnh huyền - cạnh gĩc vuơng). Vậy HBM =KCM (hai gĩc tương ứng).
Suy ra ABC cân tại A.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đĩ đến mỗi đường thẳng
, ,
AB BC CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất.
Lời giải
Gọi I là điểm cần tìm.
Vì khoảng cách từ I đến AB BC CA, , là bằng nhau. Nên I cách đều ba đoạn thẳng AB BC CA, , .
Suy ra I là giao điểm ba đường phân giác trong của ABC . Mà đường vuơng gĩc là đường ngắn nhất nên I thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 3. Hai đường phân giác BI và CI của ABC cắt nhau tại I . Tính gĩc BAI biết gĩc BIC =125°.
Lời giải
Ta cĩ BI là phân giác của ABC. Suy ra 1
2
IBC = ⋅ABC. Ta cĩ CI là phân giác của BCA. Suy ra
1
2
ICB = ⋅BCA.
Xét IBC cĩ: BIC +IBC +ICB =180° Suy ra 1 1
180
2 2
BIC + ⋅ABC + ⋅BCA= ° Suy ra 1
180
2 ( )
BIC + ⋅ ABC +BCA = °
Suy ra 1
180
2 ( )
BIC = ° − ⋅ ABC +BCA
1 180 180 2 ( ) BIC ° ° BAC ⇒ = − ⋅ − 1 90 2 BAC ° = + ⋅ 1 125 90 2 BAC ° ° ⇒ = + ⋅ ⇒BAC =70°.
Bài 4. Cho ABC cĩ BAC = 60°. Hai đường phân giác BE và CF cắt nhau tại I . Tính số đo gĩc
EIC.
Lời giải
Ta cĩ BE là phân giác của ABC. Suy ra
1
2
EBC = ⋅ABC .
Ta cĩ CF là phân giác của BCA. Suy ra
1
2
FCB = ⋅BCA.
Xét IBC cĩ: BIC +IBC +ICB =180° Suy ra 1 1
180
2 2
BIC + ⋅ABC + ⋅BCA= ° Suy ra 1
180
2 ( )
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Suy ra 1
180
2 ( )
BIC = ° − ⋅ ABC +BCA
Suy ra 1 180 180 2 ( ) BIC = ° − ⋅ ° −BAC Suy ra 1 90 2 BIC = ° + ⋅BAC Suy ra BIC =120°
Ta cĩ BIC +EIC =180° ⇔120° +EIC =180° ⇔EIC =60°
Bài 5. Cho ABC cân tại A và AD là đường phân giác trong của gĩc
BAC . Từ D kẻ DE ⊥AB DF, ⊥AC . Chứng minh BE =CF.
Lời giải
Ta cĩ ABC cân tại A cĩ AM là đường phân giác của gĩc BAC đồng thời cũng là đường trung tuyến. Suy ra BD =DC
Ta cĩ DE ⊥AB DF; ⊥AC (giả thiết).
Mà AD là đường phân giác của gĩc A. (chứng minh trên) Suy ra DE =DF (định lí).
Xét BDE vuơng tại E và CDF vuơng tại F Ta cĩ + BD =DC (chứng minh trên).
+ DE =DF (chứng minh trên).
Vậy BDE =CDF (cạnh huyền- cạnh gĩc vuơng). Vậy BE =CF (hai cạnh tương ứng).
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường phân giác BD CE, của gĩc B và C cắt nhau tại O. TừO
, kẻOH ⊥AB OK, ⊥AC . Chứng minh:
a) BCD =CBE; b) OB OC= ; c) OH =OK.
Lời giải
a) Ta cĩ BD là phân giác của ABC. Suy ra 1
2
DBC = ⋅ABC . Ta cĩ CE là phân giác của BCA. Suy ra 1
2
ECB = ⋅BCA. Mà ABC =ACB (do ABC cân tại A).
Suy ra DBC =ECB.
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
DBC =ECB (chứng minh trên)
BC là cạnh chung.
ABC =ACB (do ABC cân tại A). Vậy BCD =CBE (gĩc - cạnh - gĩc). b) Ta cĩ DBC =ECB (chứng minh trên)
Suy ra OBC cân tại O. Suy ra OB OC= .
c) Xét ABC cĩ: BD CE; là phân giác của gĩc B C; Và BD cắt CE tại O.
Suy ra AO là phân giác gĩc A. Mà OH ⊥AB OK, ⊥AC (giả thiết) Suy ra OH =OK (giả thiết)
Liên hệ tài liệu word tốn SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC
Bài 7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA ĐOẠN THẲNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM