8. Cấu trúc đề tài
1.4.1. Vai trò, vị trí của chủ đề vectơ trong toán học và trong chương
toán phổ thông
Vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của toán học. Việc sử dụng rộng rãi khái niệm vectơ trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học cũng như kĩ thuật đã cho khái niệm này ngày càng phát triển.
Khái niệm vectơ đã được sử dụng để nghiên cứu các tính chất của không gian ba chiều và nhiều chiều. Cuối thế kỉ XIX đầu thế kỉ XX, phép tính vectơ đã được phát triển và ứng dụng rộng rãi. Nhiều lí thuyết ra đời như đại số vectơ, giải thích vectơ, lí thuyết trường, giải tích tenxơ, lí thuyết tổng quát về không gian vectơ nhiều chiều. Các lí thuyết này đã được sử dụng để xây dựng thuyết tương đối- đóng vai trò rất quan trọng trong vật lí hiện đại. Trong toán học, trên cơ sở vectơ người ta đã trình bày đại số tuyến tính, hình học giải tích, hình học vi phân.
Hiện nay, trong chương trình toán học ở trường phổ thông của hầu hết các nước đều bao gồm những kiến thức về vectơ với các lí do sau:
- Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lí, kĩ thuật, do đó công cụ vectơ tạo điều kiện thực hiện mối liên hệ liên môn ở trường phổ thông.
- Phương pháp vectơ có thể xây dựng một cách chặt chẽ phương pháp tọa độ theo tinh thần TH hiện đại, có thể xây dựng lí thuyết hình học và cung cấp công cụ giải toán, cho phép địa số hóa hình học và hình học hóa đại số.
- Việc nghiên cứu vectơ góp phần mở rộng nhân sinh quan TH cho HS. Chẳng hạn như tạo cho HS khả năng làm quen với những phép toán trên những đối tượng không phải là số, nhưng lại có tính chất tương tự. Điều đó, dẫn tới sự hiểu biết về tính thống nhất của TH, về phép toán đại số, cấu trúc đại số, đặc biệt là nhóm và không gian vectơ - hai khái niệm trong số những khái niệm quan trọng của TH hiện đại.
Trong chương trình hình học ở trường phổ thông, học sinh được học vectơ, các phép toán về vectơ và dùng vectơ làm phương tiện trung gian để
chuyển những khái niệm hình học cùng những mối quan hệ giữa những đối tượng hình học sang những khái niệm đại số và quan hệ đại số. Chẳng hạn, trong mặt phẳng, muốn xét vị trí tương đối của hai đường thẳng nào đó, ta viết phương trình của hai đường thẳng đó rồi xác định nghiệm của hệ hai phương trình này. Tùy theo hệ phương trình ấy có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hay vô số nghiệm, ta kết luận hai đường thẳng đó cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.