Kết luận chương 1

8. Cấu trúc đề tài

1.6. Kết luận chương 1

Trong chương 1, đề tài đã nghiên cứu về năng lực nói chung, năng lực toán học nói riêng và năng lực PH & GQVĐ. Đồng thời cũng nghiên cứu về cơ sở lí luận của phương pháp dạy học PH & GQVĐ.

Cũng trong chương này, đề tài còn hệ thống lại nội dung chương Vectơ trong sách Hình học 10 với mục tiêu, nhiệm vụ và một số kĩ năng mà học sinh cần đạt khi học về vectơ. Đề tài đã tiến hành khảo sát thực trạng dạy học chương này ở trường THPT Ngô Quyền Thái Nguyên, một trường được đánh giá là trung bình, học sinh có trình độ tri thức đạt đến mặt bằng chung.

Những tìm hiểu về lí luận và thực tiễn của các vấn đề nêu trên sẽ là cơ sở để đề tài xây dựng các biện pháp sư phạm ở chương 2 nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ cho học sinh thông qua dạy học chủ đề vectơ trong chương trình Hình học 10

Chương 2

MỘT SỐ BIỆN PHÁP NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC PH&GQVĐ CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ VÉC TƠ

Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 2.1. Một số nguyên tắc xây dựng các biện pháp

Để định hướng cho việc xây dựng và thử nghiệm những biện pháp sư phạm nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ cho học sinh thông qua dạy học chủ đề vectơ trong chương trình Hình học 10 THPT, đề tài đề xuất 4 nguyên tắc cần tuân thủ sau:

1) Các biện pháp phải phù hợp với mục tiêu dạy học, xu thế đổi mới chương trình và phương pháp dạy hiện nay.

2) Các biện pháp phải đề cao vai trò tự xây dựng kiến thức của HS dựa trên những vốn kiến thức, sự hiểu biết và kinh nghiệm đã có của HS.

3) Các biện pháp phải giúp HS từng bước hình thành năng lực toán học đặc biệt là năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.

4) Các biện pháp phải giúp các em học tập một cách hứng thú, từ đó kích thích tính ham hiểu biết đồng thời phát triển được tư duy logic, tư duy sáng tạo cho HS ở trường THPT.

2.2. Một số biện pháp nhằm phát triển năng lực PH&GQVĐ cho học sinh thông qua dạy học chủ đề vectơ trong chương trình Hình học 10 thông qua dạy học chủ đề vectơ trong chương trình Hình học 10

2.2.1. Biện pháp 1: Giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ như các khái niệm, định lý, bài tập nhằm giúp các em nắm vững tri thức, như các khái niệm, định lý, bài tập nhằm giúp các em nắm vững tri thức, làm cơ sở cho những phát hiện và cách giải quyết vấn đề toán học tiếp theo

2.2.1.1. Cơ sở xây dựng phương pháp

Người GV cần giúp cho HS nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ bởi lẽ: Muốn giải được các bài tập về vectơ thì điều quan trọng đầu tiên đối với HS là cần phải nắm được các khái niệm, quy tắc, công thức, định lý về vectơ để rồi từ đó góp phần giúp HS phát triển NL PH &GQVĐ.

- Việc hình thành các khái niệm là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh, là tiền đề giúp hình thành các kĩ năng vận dụng có hiệu quả các kiến thức đã học, có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan cho học sinh.

- Việc dạy và củng cố các qui tắc công thức, định lý giúp: Cung cấp vốn kiến thức cơ bản; Phát triển khả năng suy luận và chứng minh.

- Trên cơ sở nắm vững các khái niệm, quy tắc, công thức, định lý về vectơ và những tri thức có trước đó mà mà người học vận dụng vào giải toán. Đây là hoạt động, là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh: Nắm vững tri thức; Phát triển tư duy; Hình thành kĩ năng, kĩ xảo; ứng dụng toán học vào thực tiễn; Phát triển khả năng suy luận và chứng minh.

2.2.1.2. Nội dung kiến thức vectơ và cách thực hiện biện pháp

a) Các kiến thức cơ bản trong nội dung vectơ hình học 10 - Chương 1: Vectơ

+ Các định nghĩa: Vectơ; độ dài của vectơ, hai vectơ cùng phương, cùng hướng, hai vectơ bằng nhau, vectơ - không.

+ Tổng và hiệu hai vectơ: Tổng hai vectơ, quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất của phép cộng vectơ, vectơ đối, hiệu hai vectơ

+ Tích của hai vectơ với một số: định nghĩa tích của vectơ với một số và tính chất; điều kiện để hai vectơ cùng phương; điều kiện để ba điểm thẳng hàng.

+ Trục tọa độ: định nghĩa trục tọa độ; tọa độ của một điểm trên trục tọa độ; độ dài đại số của một vectơ trên trục.

+ Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng; tọa độ của vectơ, biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ, tọa độ của điểm; tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác.

- Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng

+ Tích vô hướng: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ (từ 00 đến 1800), giá trị lượng giác của các góc đặc biệt; góc giữa hai vectơ; tích vô hướng của

hai vectơ; tính chất của tích vô hướng, biểu thức tọa độ của tích vô hướng, độ dài của vectơ và khoảng cách hai điểm.

+ Các hệ thức lượng trong tam giác: định lí côsin; định lí sin; độ dài đường trung tuyến trong tam giác; diện tích tam giác; giải tam giác.

b) Cách thực hiện biện pháp

- Chủ yếu ở đây là làm cho HS nắm được một cách vững chắc các định nghĩa, định lý, tính chất, công thức. GV cần làm cho HS không còn lúng túng không biết khi nào sử dụng quy tắc cộng, quy tắc trừ, quy tắc hình bình hành…

- Trong khi dạy học từng tiết, từng bài GV cần phải có phần củng cố kiến thức trong tiết học, bài học đó để HS nắm chắc được nội dung kiến thức mà họ vừa được học. Đặc biệt GV cần hệ thống lại những vốn kiến thức mà HS cần phải nắm ở những bài học trước, những hình ảnh, những kiến thức trong thực tế cuộc sống ....làm nền móng giúp phát hiện và giải quyết những vấn đề mới đặt ra. Việc làm này là hết sức cần thiết đặc biệt là với việc dạy học theo phương pháp PH&GQVĐ. Vì khi nắm được các kiến thức cơ bản cần thiết thì HS mới có thể phát hiện ra được những vấn đề cần giải quyết và giải quyết chúng một cách chính xác và nhanh nhất với sự dẫn dắt của giáo viên.

Bên cạnh các yếu tố khách quan nêu trên thì bản thân HS chính là yếu tố chủ quan giữ vai trò quyết định đến sự thành công trong việc nắm vững kiến thức của mỗi HS. HS phải có tinh thần học tập tích cực, tự giác, tự tìm hiểu kiến thức dưới sự hướng dẫn của GV.

2.2.1.3. Một số ví dụ.

Ví dụ 2.1: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi và chỉ khi AB= DC.

GV: Để HS giải được bài toán trên thì HS phải nắm được khi nào thì hai vectơ bằng nhau.

HS:AB = DC  AB, AC cùng hướng và AB  DC

B C C1 M F D B2 A1 C2 B1 A2 A E

HS: Ta phải chứng minh một tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau. GV: Vậy bài toán đã được chứng minh

Ví dụ 2.2: “ Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý bên trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M

đến BC,AC, AB. Chứng minh rằng:

3 2

MD ME MF   MO” 6, .17 tr . Đây là bài toán ở đầu chương trình hình học 10, việc giải bài toán chỉ sử dụng các phép toán cơ bản của vectơ để giải.

GV: Giả thiết bài toán đã cho ta yếu tố nào? nhìn từ giả thiết thì ta thấy các yếu tố nào?

HS: Tam giác ABC đều, O là trọng tâm, các chân đường cao hạ từ M là D, E, F; Hệ thức khai thác được từ trọng tâm, khai thác từ tam giác đều.

GV: Bài toán này thuộc kiểu gì? Phương pháp để chứng minh một đẳng thức?

HS: Bài toán thuộc dạng chứng minh đẳng thức vectơ, phương pháp là biến đổi vế này bằng vế kia hoặc ngược lại, hoặc cả hai vế cùng bằng một đại lượng thứ ba.

GV: Khi O là trọng tâm của tam giác thì với mọi điểm M nằm trong mặt phẳng, ta có hệ thức nào đã học. Từ đó ta có đẳng thức gì? HS:MA MB MC  3MO(1)khi đó ta có: 1 ( )(2) 2 MD ME MF   MA MB MC 

GV: Để chứng minh được đẳng thức trên thì qua M hãy kẻ các đường thẳng song song với ba cạnh tam giác, nhận xét gì về vị trí của D,E,F với các tam giác mới tạo thành? Khi đó cần sử dụng quy tắc nào để giải (2).

HS: Do tam giác ABC đều nên các tam giác MA1A2,MB1B2,MC1C2 cũng là tam giác đều. Vai trò của D, E, F lúc này là trung điểm của cạnh tương ứng A1A2, B1B2, C1C2 .

GV: Ta có D,E,F lúc này là trung điểm của cạnh tương ứng A1A2, B1B2,

C1C2 . thì GV yêu cầu HS liên hệ ngay được với hệ thức đã học.

HS:Ta có 1( ) 1 2 2 MD MA MA , 1( ) 1 2 2 ME MB MB , 1 ( ) 1 2 2 MF MC MC

GV: Nếu cộng vế với vế và sử dụng quy tắc hình bình hành thì ta sẽ được (2) và dễ dàng chứng minh được (1).

Để giải được bài toán trên HS cần nắm vững được: . Quy tắc hình bình hành

. Hệ thức liên quan đến trọng tâm của tam giác. . Hệ thức trung điểm của đoạn thẳng.

Ví dụ 2.3: Cho 3 điểm A, B, C phân biệt, không thẳng hàng, có bao nhiêu vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm đã cho?

Khi trả lời HS thường chỉ ra được 6 vectơ mà quên trả lời vectơ 0 thậm chí có khi nhớ đến vectơ 0nhưng cứ nghĩ là giả thuyết 3 điểm A, B, C phân biệt nên không thể tồn tại vectơ 0.

Qua ví dụ này học sinh cần phải học kĩ các định nghĩa vectơ.

Ví dụ 2.4: Cho hai hình vuông ABCD và BMNP sắp xếp cho P thuộc cạnh BC, B thuộc đoạn AM . Tính góc giữa hai đường thẳng AP và DN.

Vì góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn, hoặc góc vuông nên

    cos AP DN,  cos AP DN, Đặt AB = a, BM= b Ta có: AP= a2b2 , DN= 2(a2b2) APAB BP , DNDA AM MN  AP DN. (AP BP DA AM )  MN D C B A a P M N h Hình 2.2

 AP DN. =a a b   – ab  b2 a2 b2 Vậy cos(AP DN, )= . . AP DN AP DN = 2 2 2 2. 2( 2 2) a b a b a b    = 2 2 Qua bài toán trên HS cần nắm vững được: . Tích vô hướng của hai vectơ.

. Công thức tính góc giữa hai vectơ.

GV có thể hướng dẫn HS phát biểu các định nghĩa và định lý chính xác theo ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ toán học. Thực hiện chuyển đổi một cách linh hoạt, chính xác giữa hai loại ngôn ngữ này. Đồng thời rèn luyện cho HS chuyển dịch ngôn ngữ ký hiệu sang ngôn ngữ thông thường một cách nhuần nhuyễn, chính xác.

Ví dụ 2.4:

TT Ngôn ngữ hình học tổng hợp Ngôn ngữ vectơ

1 Điểm A trùng với điểm B AB= 0 hoặc OA OB với O tùy ý

2 Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB

+ MA MB 0 hoặc

 

1 2

OM  OA OB , với O tùy ý hoặc

2 1 2 2 1 2 2 4 OM OA OB  AB        với O tùy ý. 3

Hai điểm M và M1 đối xứng nhau qua trung điểm I của đoạn

thẳng AB. + MM1MA MB

4 AM là trung tuyến của tam giác

ABC. +AB AC 2AM

TT Ngôn ngữ hình học tổng hợp Ngôn ngữ vectơ

đường thẳng CD hoặc cùng thuộc một đường thẳng.

Hoặc AB CD.  AB CD.

6 Đường thẳng AB vuông góc với

đường thẳng CD. AB CD. 0

7 Ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.

+ AB k AC với k  0

Hoặc OCkOA lOB với k, l=1, điểm O bất kỳ.

8 Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. + GA GB GC  0 Hoặc 1( ) 3 OG OA OB OC  với O tùy ý

9 Tam giác ABC là tam giác nhọn. . 0 . 0 . 0 AB AC BA BC CA CB        

10 Tam giác ABC là tam giác tù

. 0 . 0 . 0 AB AC BA BC CA CB        

11 Tam giác ABC là tam giác đều OA OB OC  0 với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

12 Điểm H là trực tâm của tam giác ABC

. . .

HA BCHB CA HC AB

Hoặc HA OA OB OC   với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

13 Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm. ' ' ' AA BB CC 0 Hoặc AA'AB'AC'0 14 Tứ giác ABCD là hình bình hành AB CD hoặc ACABAD hoặc OA OC OB OD với O là tùy ý

- Ngoài ra GV cần nhấn mạnh ý nghĩa của từng công thức, khái niệm để HS nắm vững những công thức, khái niệm quy tắc.

Ví dụ 2.5: Khi dạy học tích vô hướng của hai vectơ a b, ta có

. . a b a b cos a b, Nếu  , y  1 1 a x ,  , y  2 2 b x thì . 1 2 1 2 a bx x y y

- Ý nghĩa 1: Để tính độ dài của vectơ khi  , y 

1 1 a x ta có 2 2 1 1 a  x y Khi a2a2a a.  a  a2 - Ý nghĩa 2: ab  a b, 900  cos a b, = 0  a b. 0 Vậy ab  a b. 0

Ý nghĩa 2 dùng để chứng minh vuông góc hoặc thiết lập khi biết điều kiện vuông góc.

- Ý nghĩa 3: Với a0;b0 thì từ đó .a b a b. .cos a b,

   . 1 2 1 2 cos , 2 2 2 2 . . 1 1 2 2 x x y y a b a b a b x y x y     

Ý nghĩa 3 giúp tính góc giữa hai vectơ. Từ đó giúp ta tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

GV có thể giao cho HS lấy các ví dụ minh họa khi sử dụng các ý nghĩa nêu trên. Nếu vì thời gian trên lớp ngắn thì GV có thể cho HS về nhà làm việc tiếp theo nhóm.

2.2.2. Biện pháp 2: Giúp học sinh hiểu rõ toán vectơ là vấn đề bắt nguồn từ thực tiễn và phục vụ đời sống thực tiễn để từ đó tạo dựng động cơ, hứng thú thực tiễn và phục vụ đời sống thực tiễn để từ đó tạo dựng động cơ, hứng thú cho học sinh trong quá trình học nội dung này

2.2.2.1. Cơ sở xây dựng biện pháp

Thực tiễn đóng vai trò quyết định của quá trình nhận thức, là tiêu chuẩn chân lí của toán học cũng như các khoa học khác. Tính thực tiễn của TH thể

hiện qua ứng dụng của TH vào trong thực tiễn đời sống. Thực tiễn còn có vai trò quan trọng trong việc hình thành cho HS khả năng PH&GQVĐ vì thực tiễn nó là môi trường rất thuận lợi cho HS rèn luyện, phát triển kĩ năng, kĩ xảo và nắm vững kiến thức đã học.

2.2.2.2. Nội dung và cách thực hiện biện pháp

Vận dụng kiến thức TH vào thực tiễn thực chất là sử dụng các kiến thức TH làm công cụ để giải quyết một tình huống thực tiễn. Những ứng dụng thực tế của TH thường có cách tiếp cận và giải quyết vấn đề như sau:

- Bước 1: Toán học hóa tình huống thực tế.

- Bước 2: Dùng công cụ TH để giải quyết bài toán trong mô hình TH.