8. Cấu trúc đề tài
2.2.2. Biện pháp 2: Giúp học sinh hiểu rõ toán vectơ là vấn đề bắt
thực tiễn và phục vụ đời sống thực tiễn để từ đó tạo dựng động cơ, hứng thú cho học sinh trong quá trình học nội dung này
2.2.2.1. Cơ sở xây dựng biện pháp
Thực tiễn đóng vai trò quyết định của quá trình nhận thức, là tiêu chuẩn chân lí của toán học cũng như các khoa học khác. Tính thực tiễn của TH thể
hiện qua ứng dụng của TH vào trong thực tiễn đời sống. Thực tiễn còn có vai trò quan trọng trong việc hình thành cho HS khả năng PH&GQVĐ vì thực tiễn nó là môi trường rất thuận lợi cho HS rèn luyện, phát triển kĩ năng, kĩ xảo và nắm vững kiến thức đã học.
2.2.2.2. Nội dung và cách thực hiện biện pháp
Vận dụng kiến thức TH vào thực tiễn thực chất là sử dụng các kiến thức TH làm công cụ để giải quyết một tình huống thực tiễn. Những ứng dụng thực tế của TH thường có cách tiếp cận và giải quyết vấn đề như sau:
- Bước 1: Toán học hóa tình huống thực tế.
- Bước 2: Dùng công cụ TH để giải quyết bài toán trong mô hình TH. - Bước 3: Chuyển kết quả trong mô hình TH sang lời giải của bài toán thực tế.
"Việc vận dụng kiến thức TH vào thực tiễn nói chung đều thực hiện theo quy trình: Tình huống thực tiễn mô hình hóa TH sử dụng phương pháp TH để giải quyết điều chỉnh kết quả cho phù hợp với hướng ban đầu" .[23, tr.114]
Việc làm cho HS thấy được ứng dụng thực tiễn của TH nói chung và của toán vectơ nói riêng phải được tiến hành ở tất cả các khâu cơ bản của quá trình dạy học như đảm bảo trình độ xuất phát, hướng đích và gợi động cơ, làm việc với nội dung mới; củng cố, kiểm tra và đánh giá, hướng dẫn công việc ở nhà. Và việc tổ chức này nên thực hiện dưới nhiều cách khác nhau như: thực hiện thông qua dạy học lý thuyết trên lớp, làm bài tập hay các bài thực hành, các môn học khác.
Toán vectơ có nhiều ứng dụng trong thực tiễn cũng như trong các môn học khác. Vì vậy GV cần khai thác, tìm tòi, đưa ra nhiều ứng dụng thực tiễn để giúp HS thấy được sự gần
gũi của TH với cuộc sống. Qua đó A
C
cũng tạo nên sự hứng thú trong học tập cho HS. Trong quá trình giảng dạy nội dung này GV có thể đưa một số ví dụ nhằm giúp HS thấy được ứng dụng thực tiễn của vectơ như sau:
Ví dụ 2.6: Muốn đo khoảng cách giữa hai địa điểm mà trên thực tế không đo trực tiếp được, chẳng hạn: Đo khoảng cách từ địa điểm A bên bờ một cái hồ đến địa điểm C là một hòn đảo giữa cái hồ.
Giải: Chọn điểm B và chọn ABC = 45o và ABC vuông tại A
AB AC tức là chỉ cần đo khoảng cách AB.
Khi dạy khái niệm vectơ và các phép toán trên vectơ, có thể cho học sinh sưu tầm các dạng toán ứng dụng của vectơ như: Bài toán về chuyển động, về tổng hợp và phân tích lực trong vật lí, nó còn có ý nghĩa trong việc dạy tích hợp, liên môn, tăng cường NL ứng dụng TH vào thực tiễn.
Ví dụ 2.7: Có 2 tàu chở dầu kí hiệu B và C, với sức kéo lần lượt là 50 và 100 mã lực. Hai tàu cùng kéo một tàu chở dầu A, góc giữa hai hướng lực kéo của 2 tàu B và C là 600 . Hỏi tàu A chuyển động theo hướng nào và lực kéo là bao nhiêu?
Giải:
Bước 1: để xác định được tàu A chuyển động theo hướng nào thì chúng ta phải làm thế nào
Bước 2: hướng dẫn HS biểu diễn theo quy tắc hình bình hành: AB +
AC= AD.tàu A chuyển động theo hướng AD. Gọi O = AD ∩ BC, dùng định lí côsin và công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta tính được: AO =
4375 = 25 7. Do đó lực kéo là AD = 50 7mã lực.
Qua ví dụ này HS sẽ thấy được nếu không sử dụng vectơ để giải thì bài toán này không đơn giản. Nhờ có vectơ bài toán trở nên dễ dàng hơn. Đây chính là ứng dụng của vectơ trong cuộc sống.
Ví dụ về ứng dụng véc tơ và tọa độ trên trục để xác định vị trí chất điểm. Ví dụ 2.8: Hai người đi bộ cùng chiều trên một đường thẳng. Người thứ nhất đi với vận tốc không đổi v1 = 0,9m/s, người thứ hai đi với vận tốc không đổi là v2 = 1,9m/s. Biết hai người cùng xuất phát một vị trí. Hỏi:
a) Nếu người thứ hai đi không nghỉ thì sau bao lâu sẽ đến địa điểm cách đó 780m.
b) Nếu người thứ hai đi một đoạn rồi dừng lại sau 5,5 phút thì người thứ nhất đến. Hỏi vị trí đó cách nơi xuất phát bao xa?.
Giải: Chọn chiều dương cùng chiều chuyển động của hai người. Gốc tọa độ O là vị trí hai người xuất phát, gốc thời gian là lúc hai người bắt đầu xuất phát.
a) Nếu người thứ hai đi không nghỉ thì địa điểm cách nơi xuất phát là
A = (780) s2 = 780m sau một thời gian là: 780 410,5( ) 1,9
t s
b) Gọi t là thời gian người thứ hai đi thì vị trí đó cách nơi xuất phát một đoạn đường s= 1,9. t;
Đối với người thứ nhất, ta có: S = 0,9 t + 0,9.(5,5 . 60) t = 297 (s); S = 546,3 (m).
Ví dụ 2.9: Hai xe chạy ngược chiều đến gặp nhau, cùng khởi hành một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 120km. Vận tốc của xe đi từ A là v1 = 40km/h, của xe đi từ B là v2 = 20km/h. Coi chuyển động của hai xe như chuyển động của các chất điểm trên đường thẳng. Viết phương trình chuyển động và thời điểm vị trí hai xe gặp nhau.
Giải: Chọn chiều dương là chiều từ A đến B, gốc tọa độ tại A, gốc thời gian t0 = 0 khi hai xe bắt đầu xuất phát (xem hình 2.4)
Phương trình chuyển động của hai xe là: xA = v1t = 40t; xB = 120 - v2t = 120 - 20t.
0 A B (120)
Tại vị trí xe gặp nhau ta có: xA = xB 40t = 120 - 20t t = 2 (h) Vậy xA = xB = 2.40 = 80km. Hay hai xe gặp nhau tại vị trí cách A là 80km. Ví dụ 2.10: Hai làng nằm ở 2 vị trí A, B, bên một con sông. Người ta muốn xây một bến nước để lấy nước cho 2 làng. Hãy xác định vị trí của bến nước để đường đến 2 làng là ngắn nhất
Giải:
Tịnh tiến điểm A theo vectơ AO (vectơ AO vuông góc với d và có độ dài bằng khoảng cách từ A đến đường thẳng d) ta có điểm A'.
A'B d = M (là vị trí của bến).
Vì AM= A'M ( theo cách dựng )nên ta Ta dễ dàng chứng minh được AM +MB = A'M+ MB = A'B ngắn nhất.
Thật vậy lấy điểm M' khác M bất kì trên d, ta có AM' + M'B = A'M'+ M'B > A'B =AM+MB.
Ví dụ 2.11: Hai thôn nằm ở 2 vị trí A, B, cách nhau một con sông (coi 2 bờ sông là 2 đường thẳng song song). Người ta muốn xây một chiếc cầu MN vuông góc với bờ sông và làm 2 đoạn đường thẳng đi từ A đến M và Từ B đến N. Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho đường đi từ A, qua cầu, đến B là ngắn nhất.
Giải:
Gọi vectơ M N' ' là vuông góc với bờ sông (2 bờ sông có thể coi là 2 đường thẳng song song a, b) và có độ dài bằng khoảng cách giữa 2 bờ sông.
Tịnh tiến điểm A theo véc tơ M N' ' ta được điểm A'. Nối A' với B cắt đường thẳng b tại điểm N. Từ
' '
M N kẻ đường vuông góc với b, cắt a tại M,
A B O A' M M' d Hình 2.5
cắt B tại N. Ta có MN là chiếc cầu cần xác định.(tức là ta phải chứng minh AM' + M'N' +N'B > AM + MN + NB) Thật vậy, theo cách dựng ta có A'N' +N'B >A'B mà A'B = A'N + NB = AM +NB
(vì AA'NM là hình bình hành và A'N' = AM') nên A'N' +N'B > AM + NB. suy ra AM' + M'N' +N'B > AM + MN + NB .
(Có thể gợi ý cho học sinh: bài toán này là trường hợp tổng quát. Nếu a trùng với b thì bài toán trở thành quá đơn giản nên nảy sinh cách giải: tịnh tiến điểm A theo vectơ M N' ' .
Ví dụ 2.12: Về ứng dụng vectơ trong phân tích và tổng hợp lực
Hợp lực của hai lực đồng quy thường được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành mà hai cạnh là hai vectơ biểu diễn hai lực thành phần.
Mở rộng ta được qui tắc đa giác:
1 2 3 4 F F F F F Có thể áp dụng điều này trong phân tích và tổng hợp lực F1 F2 F4 F3 F O F3 F2 F4 a N' b A M' A' B N M Hình 2.6
1 F 2 F 3 F 3 F Hình.2.8 A C B Hình 2.9
Ví dụ 2.13: Cho ba lực đồng qui cùng nằm trong một mặt phẳng, có độ lớn bằng nhau và đôi một tạo với nhau một góc 1200. Tìm hợp lực của chúng?
Giải: Ta có 1 2 F F = - 3 F Hợp lực là: 1 2 3 F F F F = 0 .
* Ứng dụng vectơ trong khoa học trắc địa, đo đạc và địa lí
Ví dụ 2.14: Đo khoảng cách từ điểm A trên bờ một cái hồ đến vị trí B của hòn đảo giữa hồ người ta chọn điểm C trên bờ hồ, biết AC = 10m,
0 30
CAB , ACB = 700. Tính AB?
Giải:B = 1800 - (300 + 700) = 800. Ta có: 0 0 10.si 70n 9,542( ). sin sin sin 80 AB AC AB m A B
Ví dụ 2.15: Ứng dụng giải tam giác vào bài toán khác:
Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tòa tháp C, hướng nhìn của người đó tới tháp ngược với hướng đi của tàu một góc 600. Khi tàu đỗ ở ga B, người đó vẫn nhìn thấy tháp C, hướng nhìn của người đó tới tháp ngược với hướng đi của tàu một góc 450. Biết AB = 8km. Hỏi AC dài bao nhiêu?
Giải: Xem hình 2.47. Bài toán qui về giải ABC:
C = 1800 - 600 + 450) = 750. Theo định lí sin ta có 8sin 4 0 6( ) si 5 n sin sin 750 AC AB AC km B C C B A 600 450 Hình 2.10