7. Cấu trúc của luận văn
1.5.2. Căn cứ vào đặc điểm toán học
Toán học không nghiên cứu một dạng riêng biệt nào của vận động vật chất, khi nghiên cứu nó gạt bỏ tất cả các tính chất có thẻ cảm thụ bằng giác quan của các sự vật, hiện tượng như: nặng, nhẹ, rắn, mềm, nóng, lạnh, màu sắc, chất liệu mà chỉ giữ lại cái chung tồn tại khách quan ở chúng là hình dạng (không gian) và quan hệ (số lượng) một cách thuần khiết. Như vậy, toán học có tính chất trừu tượng cao độ.
Đối với toán học, đặc điểm đầu tiên của trừu tượng là sự trừu tượng hóa. Sự trừu tượng hóa trong toán học diễn ra trên các khía cạnh khác nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, hình bình hành. Nhưng cũng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng đã đạt được trước đó, chẳng hạn những khái niệm nhóm, vành, trường, không gian vectơ.
Toán học có nguồn gốc thực tiễn, tính trừu tượng cao độ làm cho toán học có tính thực tiến phổ dụng có thể ứng dụng được nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống. Vì vậy, đặc điểm thứ hai của toán học là toán học có tính thực tiễn, toán học không phải là sản phẩm của tư duy thuần túy mà chỉ thể hiện tính độc lập tương đối của tư duy. Tính độc lập của tư duy trừu tượng luôn hướng đến cái phổ biến, cái quy luật phản ánh hiện thực khách quan. Do vậy mà các lý thuyết toán học dù trực tiếp hay gián tiếp nhất định phải tìm thấy ứng dụng trong thực tiễn.
Đặc điểm nổi bật thứ ba của toán học là gắn với lý tưởng hóa. Khi xây dựng các khái niệm toán học thì các nhà toán học đã sử dụng rộng rãi phương pháp lý tưởng hóa.
Đặc điểm nữa của toán học là sự trừu tượng hóa gắn với khái quát hóa làm cho các khái niệm toán học bao gồm nhiều sự vật, hiện tượng bề ngoài rất đa dạng. Trong sự phát triển của toán học, các bộ phận trước đây tồn tại riêng biệt như: số học, hình học, lượng giác, đại số ngày nay đã có sự thâm nhập lẫn nhau và thống nhất trên cơ sở một khái niệm chung. Như vậy, các nội dụng toán học ở THPT ít nhiều cũng sẽ chịu ảnh hưởng của các điểm cơ bản nêu trên của tri thức toán học. Đây là môi trường thuận lợi GV rèn luyện và phát triển TDPB cho HS trên cơ sở tổ chức các hoạt động giúp HS phân tích từ cái cụ thể để từng bước hình thành kiến thức toán học trừu tượng, khái quát.