8. Cấu trúc luận văn
2.1.2 Thiết kế tình huống dạy học khái niệm về góc trong không gian
a) Khái niệm 1: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
– Hoạt động tiếp cận khái niệm
(?) Chúng ta đã biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng. Vậy góc giữa hai đường thẳng trong không gian thì được xác định như thế nào ?
Hình 2.1 Hai đường thẳng trong không gian.
(!) Vận dụng khả năng khám phá của học sinh với mô hình tương đồng, giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa góc giữa hai véctơ trong không gian.
<!> Định nghĩa góc giữa hai véctơ trong không gian: “Trong không gian, cho u
và v
là hai véctơ khác véctơ không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB u
, AC v
. Khi đó ta gọi góc BAC (0o≤BAC≤ 180o) là góc giữa hai véctơ u
và v
trong không gian, kí hiệu là (u
, v
)” [25, trang 93]
a
Hình 2.2 Góc giữa hai véctơ trong không gian.
– Hoạt động hình thành khái niệm
(!) Việc nhắc lại định nghĩa góc giữa hai véctơ trong không gian, giúp học sinh khám phá ra cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
<!> Từ hình 2.2 học sinh sẽ thay đổi u
và v
bởi hai đường thẳng a và b, từ đó suy ra cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b.
Hình 2.3 Cách xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
<!> Trong không gian cho hai đường thẳng a, b bất kì. Từ một điểm O tùy ý ta vẽ hai đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với a và b. Góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’.
– Hoạt động phát biểu định nghĩa khái niệm
<!> “Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian chính là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b” [25, trang 95]
Hình 2.4 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
– Hoạt động củng cố khái niệm
(?) Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng.
<!> “Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong 4 góc được tạo thành. Như vậy nếu φ là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau thì
0o< φ ≤ 90o”
(?) Giáo viên đặt câu hỏi, học sinh trả lời để các em củng cố khái niệm: <!> Việc xác định góc giữa hai đường thẳng a và b không phụ thuộc vị trí chọn điểm O;
<!> Ta có thể chọn điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại;
<!> Nếu u
là véctơ chỉ phương của đường thẳng a, v
là véctơ chỉ phương của đường thẳng b và (u
,v
) = φ thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng φ nếu
0o≤ φ ≤ 90o và bằng 180o– φ nếu 90o≤ φ ≤180o .
– Hoạt động vận dụng khái niệm
(?) Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng khái niệm thông qua ví dụ:
Ví dụ 2.1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Hình 2.5 Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
1. Góc giữa hai đường thẳng AB’ và A’B’ là:
a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o
2. Góc giữa hai đường thẳng AB’ và BD là:
a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o
(!) Sử dụng công cụ đo góc của GeoGebra để kiểm tra kết quả.
b) Khái niệm 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – Hoạt động tiếp cận khái niệm
(?) Làm sao xác định được độ dốc của cầu thang bộ (trong trường học)?
Hình 2.6 Mô hình cầu thang bộ trong trường học.
φ h l A B H
<!> Học sinh có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dốc φ
bởi công thức tan h
l
Hình 2.7 Đo độ dốc của cầu thang bộ trong trường học.
(!) Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh xác định độ dốc φ một cách đơn giản bằng thước học sinh: đo chiều cao a và độ rộng b của bậc thang, khi đó
tan a
b
– Hoạt động hình thành khái niệm
(!) Hình 2.7 biểu diễn mặt cắt cầu thang, phương AB của cầu thang tương ứng đường thẳng d trong hình 2.8, còn mặt đất tương ứng với mặt phẳng (α) trong không gian.
(?) Làm thế nào để xác định góc giữa đường thẳng d với mặt phẳng (α) ?
Hình 2.8 Đường thẳng cắt mặt phẳng. φ h l φ b a A B H
<!> Thông qua hoạt động xác định góc φ giữa cạnh AB và AH (hình 2.7) và từ yêu cầu do giáo viên đặt ra (hình 2.8), học sinh sẽ khám phá ra được sự cần thiết phải xuất hiện một đường thẳng d'.
<!> Gọi d’ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (α). Góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng (α) là góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d’.
Hình 2.9 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
(?) Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu độ?
<!> 90o.
(?) Khi đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu độ?
<!> 0o.
– Hoạt động phát biểu định nghĩa khái niệm
(?) Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu đinh nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
<!> Học sinh phát biểu định nghĩa: “Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 90o;
Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).”
– Hoạt động củng cố khái niệm
(!) Như vậy, nếu d (α) thì hình chiếu của d lên (α) là chính nó, khi đó góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) bằng 0o; nếu d song song với (α) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) cũng bằng 0o.
(?) Khi d không vuông góc với (α). Hãy nêu cách xác định hình chiếu d’
của d lên (α)?
<!> Gọi O là giao điểm của d và (α). Lấy một điểm A trên d, gọi H là hình chiếu của A lên (α). Khi đó góc giữa d và (α) là φ = AOH.
(!) Nếu φ là góc giữa d và (α) thì 0o≤ φ ≤ 90o.
Hình 2.10 Hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng.
– Hoạt động vận dụng khái niệm
Ví dụ 2.2 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
Hình 2.11 Hình chóp S.ABCD.
1. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) là: a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o
2. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là: a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o
c) Khái niệm 3: Góc giữa hai mặt phẳng – Hoạt động tiếp cận khái niệm
(?) Chúng ta thấy rằng góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian; góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian đều có thể quy về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng. Vậy góc giữa hai mặt phẳng có thể quy về góc giữa hai đường thẳng không?
<!> Có thể.
(?) Nếu có thể thì hai đường thẳng đó có quan hệ như thế nào với hai mặt phẳng đã cho?
<!> Hai đường thẳng có thể nằm trên mặt phẳng, hai đường thẳng có thể song song với mặt phẳng, hai đường thẳng có thể vuông góc với mặt phẳng.
(!) Trường hợp 1: Giáo viên dùng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh:
Hai mặt phẳng (α) và (), hai đường thẳng m, n di động và lần lượt nằm trên mặt phẳng (α) và (), hai đường thẳng m', n' đi qua O và lần lượt song song với m, n.
Hình 2.12 Hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng.
(!) Sử dụng chức năng di chuyển hai đường thẳng m, n trên mặt phẳng (α) và (), vì m'//m và n'//n nên hai đường thẳng m', n' cũng di chuyển, kéo theo giá trị góc thay đổi.
(?) Yêu cầu học sinh nhận xét: Có thể sử dụng hai đường thẳng m, n để xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và () không?
<!> Không. Vì hai mặt phẳng (α) và () cố định thì góc giữa chúng không đổi, trong khi đó góc giữa hai đường thẳng m và n thay đổi.
(!) Trường hợp 2:Giáo viên dùng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh:
Hai mặt phẳng (α) và (), hai đường thẳng p, q di động và lần lượt song song với (α) và (), hai đường thẳng p', q' đi qua O và lần lượt song song với p, q.
Hình 2.13 Hai đường thẳng song song với hai mặt phẳng.
(!) Sử dụng chức năng di chuyển hai đường thẳng p, q. Vì p'//p và q'//q nên hai đường thẳng p', q' cũng di chuyển, kéo theo giá trị góc thay đổi.
(?) Yêu cầu học sinh nhận xét: Có thể sử dụng hai đường thẳng p, q để xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và () không?
<!> Không. Vì hai mặt phẳng (α) và () cố định thì góc giữa chúng không đổi, trong khi đó góc giữa hai đường thẳng p và q thay đổi.
(!) Trường hợp 3:Giáo viên dùng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh:
Hai mặt phẳng (α) và (), hai đường thẳng a, b di động và lần lượt vuông góc với (α) và (), hai đường thẳng a', b' đi qua O và lần lượt song song với a, b.
Hình 2.14 Hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng.
(!) Sử dụng chức năng di chuyển hai đường thẳng a, b. Khi a, b di chuyển, rõ ràng hai đường thẳng a', b' vẫn đứng yên, kéo theo giá trị góc không đổi.
(?) Yêu cầu học sinh nhận xét: Có thể sử dụng hai đường thẳng a, b để xác định góc giữa hai mặt phẳng (α) và () không?
<!> Được. Hai đường thẳng a, b tuy di chuyển nhưng có phương luôn luôn không đổi nên góc giữa chúng không đổi.
– Hoạt động hình thành khái niệm
(!) Từ những hoạt động trên, học sinh sẽ tự khám phá ra cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.
<!> Để xác định góc giữa hai mặt phẳng, ta tìm hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng. Số đo góc giữa hai mặt phẳng chính là số đo góc giữa hai đường thẳng ấy.
Hình 2.15 Hai mặt phẳng trong không gian.
– Hoạt động phát biểu định nghĩa khái niệm
(!) Hướng dẫn học sinh hướng tới định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng. (?) Yêu cầu học sinh phát biểu định nghĩa.
<!> “Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó”
– Hoạt động củng cố khái niệm
(!) Thông qua khái niệm trên, giáo viên có thể phát biểu khái niệm hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó là góc vuông, kí hiệu (α) (β).
(!) Học sinh khám phá cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau. (?) Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau thì góc giữa hai mặt phẳng đó được xác định như thế nào?
(!) Giáo viên dùng phần mềm GeoGebra biểu diễn hình ảnh: Hai mặt phẳng (α) và () cắt nhau theo giao tuyến t, hai đường thẳng a, b lần lượt vuông góc với (α) và (). Hai đường thẳng m, n lần lượt nằm trên hai mặt phẳng (α) và () và cùng vuông góc với giao tuyến t.
Hình 2.17 Hai mặt phẳng quay quanh giao tuyến.
(!) Sử dụng chức năng di chuyển để di chuyển mặt phẳng (α) và () quay quanh giao tuyến t.
(!) Hiển thị số đo góc giữa các cặp đường thẳng a, b và m, n (α là số đo góc giữa cặp đường thẳng m, n; β là số đo góc giữa cặp đường thẳng a, b).
Hình ảnh trên GeoGebra hiển thị: khi hai mặt phẳng (α) và () quay quanh giao tuyến t, góc giữa hai cặp đường thẳng a, b và m, n luôn bằng nhau.
(?) Yêu cầu học sinh giải thích tại sao hai giá trị α và βluôn bằng nhau? <!> Học sinh vẽ mặt cắt của mặt phẳng (a, b) trên hình 2.17.
Khi hai mặt phẳng (α) và () di chuyển thì hai đường thẳng m, n di chuyển (vì m, n lần lượt nằm trên (α) và ()), hai đường thẳng a, b cũng di chuyển theo (vì a, b lần lượt vuông góc với (α) và ()).
Tóm lại, trong suốt quá trình di chuyển, đường thẳng a luôn vuông góc với đường thẳng m, đường thẳng b luôn vuông góc với đường thẳng n.
Hình 2.18 Góc có cạnh tương ứng vuông góc.
<!> Từ mặt cắt hình 2.18 học sinh khám phá ra:
– Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng m và n
(góc có cạnh tương ứng vuông góc). Mà góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng (α) và ().
<!> Kết luận: Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trên từng mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến của chúng.
Hình 2.19 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau.
– Hoạt động vận dụng khái niệm
Ví dụ 2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh
AB = 3a, AC = 4a. SA vuông góc với đáy và SA = 12 5 a . O A M B a b n m β α O A M B a b n m β α a
Hình 2.20 Hình chóp S.ABC.
1. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) là:
a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o
2. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là:
a. 30o b. 45o c. 60o d. 90o